尤成，于福江，原野

（國家海洋環(huán)境預(yù)報(bào)中心國家海洋局海洋災(zāi)害預(yù)報(bào)技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081）

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基于相空間重構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)風(fēng)暴潮增水預(yù)測方法

尤成，于福江，原野

（國家海洋環(huán)境預(yù)報(bào)中心國家海洋局海洋災(zāi)害預(yù)報(bào)技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081）

摘要：風(fēng)暴潮增水的準(zhǔn)確預(yù)測對于國民生產(chǎn)、防災(zāi)減災(zāi)有重大意義。本文提出一種基于相空間重構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)風(fēng)暴潮增水預(yù)測方法，即使用單站風(fēng)暴潮增水?dāng)?shù)據(jù)重構(gòu)出與之相關(guān)的相空間，然后使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型擬合該相空間的空間結(jié)構(gòu)。將該模型用于庫克斯港風(fēng)暴潮增水預(yù)測,結(jié)果表明：該模型應(yīng)用在風(fēng)暴潮增水時(shí)間序列的預(yù)測中是合理、可行的,并具有較高的精度。此外，使用db10小波函數(shù)對原始余水位數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪處理可以顯著地提高模型的預(yù)測精度。

關(guān)鍵詞：相空間重構(gòu)；BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；風(fēng)暴潮增水預(yù)測；小波降噪

1　引言

Packard等[1]提出了重構(gòu)相空間的思想。隨后Takens等[2]提出嵌入定理，建立起觀測資料與動(dòng)力系統(tǒng)空間特征之間的橋梁，使得深入分析時(shí)間序列的背景和動(dòng)力學(xué)機(jī)制成為可能。Lyapunov指數(shù)、G-P關(guān)聯(lián)維算法、虛假近鄰法、Cao方法、自相關(guān)法、互信息法、C-C方法等對各種參數(shù)的計(jì)算，使得相空間重構(gòu)技術(shù)日趨成熟。Farmer等[3]第一次提出使用相空間重構(gòu)的方法預(yù)測時(shí)間序列。這個(gè)方法后來被稱作k-NN方法。許多學(xué)者討論K-NN方法中權(quán)重系數(shù)ωi該如何取值[4-6]。為了盡量避免k的選取引起預(yù)測誤差，Yankov等[7]以一組k取值不同的k-NN方法為成員，進(jìn)行集合預(yù)報(bào)，發(fā)現(xiàn)預(yù)報(bào)效果有一定的改進(jìn)。此外，人們在天氣預(yù)報(bào)、水文預(yù)報(bào)等方面應(yīng)用相空間重構(gòu)的理論進(jìn)行了研究取得了相當(dāng)?shù)某晒埛f超和劉玉珠[8]研究表明：基于相空間重構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)短期氣候預(yù)測方法有合理的精度，可以為短期氣候預(yù)測提供參考。Solomatine等[9]使用單變量局域方法預(yù)測風(fēng)暴潮，結(jié)果表明其預(yù)報(bào)精度明顯好于AR、ARIMA等線性模型。Velickov[10]進(jìn)一步使用多變量局域方法來預(yù)測風(fēng)暴潮，結(jié)果表明這種預(yù)測方法短期預(yù)報(bào)結(jié)果可以信賴。Siek等[11]使用PCA方法降低數(shù)據(jù)維度，提高了預(yù)報(bào)精度。Siek等[12]比較單變量k-NN方法、多變量k-NN方法以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)報(bào)風(fēng)暴潮增水的效果，結(jié)果表明：k-NN方法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型有相當(dāng)?shù)念A(yù)報(bào)精度，但k-NN方法預(yù)報(bào)極端事件的能力更強(qiáng)，此外與單變量k-NN方法相比，多變量k-NN方法在預(yù)報(bào)精度上并沒有明顯的改進(jìn)。但是K-NN方法在尋找臨近點(diǎn)時(shí)，經(jīng)常把相空間中臨近時(shí)刻的點(diǎn)當(dāng)作臨近點(diǎn)，使得預(yù)報(bào)結(jié)果精度降低。為了規(guī)避K-NN方法的這一缺陷，本文使用相空間重構(gòu)與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的方法來預(yù)測風(fēng)暴潮增水，并給出了該方法的最大預(yù)測期限。

2　基本原理和方法

2.1相空間重構(gòu)

根據(jù)Takens的嵌入定理[2]，在無噪聲情況下，觀察到的時(shí)間序列{xn}以向量

Xn=(xn,xn-τ,…,xn-(m-1)τ)（1）

的形式形成m維空間，只要嵌入維數(shù)m≥2d+1，動(dòng)力系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)可以完全打開，其中d是吸引子的分形維數(shù)，τ是延遲時(shí)間間隔。條件m≥2d+1是動(dòng)力系統(tǒng)重構(gòu)的充分不必要條件。狀態(tài)空間Rm中吸引子的幾何特征與原動(dòng)力系統(tǒng)的幾何特征等價(jià)，并且狀態(tài)空間中Xn→Xn+1的演化反映了原動(dòng)力系統(tǒng)的演化特征。類似于Takens的嵌入定理，只要嵌入維數(shù)充分大，存在映射G:Rm→Rm使得

Xn+1=G(Xn)[13]（2）

本文使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來擬合G(·)。

2.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本原理

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全稱是誤差反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Back Propagation）。它具有結(jié)構(gòu)簡單、工作狀態(tài)穩(wěn)定、易于硬件實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。BP算法通過輸入、輸出數(shù)據(jù)樣本集，根據(jù)誤差反向傳遞的原理對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練。其學(xué)習(xí)過程包括信號的正向傳播和誤差的反向傳播兩個(gè)階段。

正向傳播中輸入信息從輸入層經(jīng)隱層逐層計(jì)算各單位輸出值：

對輸出層：

對隱藏層：

式中：xi表示輸入層節(jié)點(diǎn)，σk是隱藏層節(jié)點(diǎn)，yj表示輸出層節(jié)點(diǎn)，vij是輸出層到隱藏層之間的權(quán)重，ωjk是隱藏層到輸出層之間的權(quán)重。

反向傳播過程中輸出誤差的同時(shí)，逐層向前算出隱層各個(gè)單元的誤差，并以此誤差修正前層的值。直到誤差達(dá)到要求，網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程結(jié)束。

2.3相空間重構(gòu)與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的風(fēng)暴潮增

水預(yù)測方法

相空間重構(gòu)理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有2個(gè)結(jié)合點(diǎn)[8]，首先它們都適合處理非線性復(fù)雜系統(tǒng)問題；其次，根據(jù)相空間重構(gòu)預(yù)測模型式（3），可以發(fā)揮神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)、自學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，選擇訓(xùn)練樣本訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，模擬G(·)，從而進(jìn)行預(yù)測。具體步驟如下：

第一步：收集驗(yàn)潮站的潮位數(shù)據(jù)并減去潮汐部分，得到逐小時(shí)的余水位數(shù)據(jù){xi, i=1,2,...,n}；

第二步：使用db10小波對余水位數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪；

第四步：建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)輸入數(shù)據(jù)之間時(shí)間相差τ個(gè)時(shí)間點(diǎn)，即將xn,xn-τ,…,xn-(m-1)τ作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入。輸出為預(yù)測時(shí)間點(diǎn)的預(yù)測值，即xn+1；

第五步：訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在確定網(wǎng)格的輸入輸出結(jié)構(gòu)后，選擇學(xué)習(xí)樣本構(gòu)成訓(xùn)練集，對網(wǎng)格進(jìn)行訓(xùn)練，直到達(dá)到誤差要求為止；

第六步：網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練成功后，選取預(yù)測時(shí)間點(diǎn)，應(yīng)用前面建立的模型進(jìn)行預(yù)測。

3　算例分析與討論

北海地區(qū)，尤其是荷蘭、丹麥以及德國北部沿海地區(qū)特別容易受到風(fēng)暴潮的侵襲。庫克斯港位于黑爾戈蘭灣內(nèi)，易北河河口處，是一座重要的漁業(yè)港口。本文選取庫克斯港1981年1月1日—1983 年12月20日的逐小時(shí)潮位數(shù)據(jù)進(jìn)行相空間重構(gòu)以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，使用1983年12月21日—1984年1月23日的逐小時(shí)潮位數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。冬季是北海地區(qū)風(fēng)暴潮頻發(fā)的季節(jié)，僅1983年12月21日—1984年1月23日就有6次增水超過1 m的風(fēng)暴潮過程，以及一次較強(qiáng)的減水過程。其中最劇烈的一次風(fēng)暴潮過程引起了將近2 m的增水。

3.1數(shù)據(jù)處理

首先使用t_tide潮汐分析工具包從庫克斯港潮位數(shù)據(jù)中提取潮汐信號，然后從潮位數(shù)據(jù)中減去潮汐部分得到逐小時(shí)的余水位時(shí)間序列。根據(jù)史珍等[14]研究表明：數(shù)值較大的高頻噪音對混沌系統(tǒng)的可預(yù)報(bào)性有顯著的影響。所以本文使用db10小波函數(shù)對余水位數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪處理。圖1表明降噪之后的余水位數(shù)據(jù)基本上保留了原始余水位中風(fēng)暴潮增水的信息。

3.2風(fēng)暴潮增水時(shí)間序列的相空間重構(gòu)

相空間重構(gòu)的關(guān)鍵是參數(shù)的選擇，F(xiàn)raser等[15]提出利用互信息函數(shù)的第一極小值來確定延遲時(shí)間t。本文使用楊志安等[16]提出的等間距分格子法來計(jì)算互信息函數(shù)并以此確定延遲時(shí)間。計(jì)算結(jié)果見圖1。從圖1中可以看出無論把時(shí)間序列的值域等分成300份、400份、500份或600份，互信息都在t=7處取得第一最小值。本文采用Cao[17]提出的方法計(jì)算嵌入維數(shù)m，計(jì)算結(jié)果見圖2。從圖2中可以看出當(dāng)嵌入維數(shù)m大于或等于9時(shí)，E1沒有顯著變化。于是取m=9。

3.3 BP網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)

采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測時(shí)，網(wǎng)絡(luò)輸入層神經(jīng)元為10個(gè)，輸出層神經(jīng)元為10個(gè)。為了避免因?yàn)閿?shù)據(jù)間數(shù)量級差別而造成網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差較大，首先對輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為[0,1]區(qū)間的值，這里采用如下歸一化公式：

圖1　1981年10月3日—12月7日逐小時(shí)余水位數(shù)據(jù)及其降噪之后的數(shù)據(jù)

圖2　將時(shí)間序列的值域分別等分成300份（線a）、400份（線b）、500份（線c）以及600份（線d），求得的互信息與延遲時(shí)間的函數(shù)圖

圖3　E1與維度的函數(shù)圖

3.4預(yù)測結(jié)果分析

本文選取庫克斯港1981年1月1日—1983年12月20日降噪之后逐小時(shí)余水位數(shù)據(jù)進(jìn)行相空間重構(gòu)以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練。圖4給出了庫克斯港1983年12月21日—1984年1月23日余水位3 h預(yù)報(bào)值，及其預(yù)測誤差。從圖中可以看出：預(yù)測值與觀測值對應(yīng)得很好，并且預(yù)測誤差基本上控制在± 6 cm以內(nèi)。由此可見：基于相空間重構(gòu)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型能較好地反映該序列內(nèi)在的運(yùn)動(dòng)機(jī)理，揭示動(dòng)力系統(tǒng)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和非線性特征。此外，從表1可以看出：使用降噪之后的數(shù)據(jù)，可以明顯提高該模型的預(yù)測精度。

圖4　1983年12月21日—1984年1月23日庫克斯港逐小時(shí)余水位數(shù)據(jù)與誤差

表1　基于原始和降噪之后的余水位數(shù)據(jù)模型，1983年12月21日—1984年1月23日庫克斯港預(yù)報(bào)值對應(yīng)的平均絕對誤差

3.5模型最大預(yù)測時(shí)限估計(jì)

為了定量地估計(jì)該方法的最大預(yù)測時(shí)限，本文根據(jù)Chen等[18]提出的具體算法來計(jì)算非線性Lyapunov指數(shù)（NLLE）。1 h預(yù)測值xi與其對應(yīng)的真實(shí)值x'i的差的絕對值為，t時(shí)刻之后絕對誤差為，大量平均計(jì)算得到的NLLE為，絕對誤差。根據(jù)丁瑞強(qiáng)等[19]的研究表明：當(dāng)t達(dá)到一定時(shí)刻，誤差達(dá)到飽和，系統(tǒng)的初始信息丟失，預(yù)測失去意義，于是最大預(yù)測期限可以定量地確定。實(shí)際操作時(shí)，把ln(err(t))達(dá)到飽和值的98%時(shí)的t當(dāng)作相空間的最大預(yù)測期限。

計(jì)算結(jié)果（見圖5）表明基于相空間重構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)風(fēng)暴潮增水預(yù)測方法在庫克斯港站的最大預(yù)測期限是26 h。

圖5　預(yù)測誤差的自然對數(shù)與預(yù)測時(shí)間的函數(shù)圖（水平虛線：誤差飽和值的98%）

4　結(jié)論

本研究使用單站風(fēng)暴潮增水?dāng)?shù)據(jù)重構(gòu)出與之相關(guān)的相空間，并使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型擬合該相空間的空間結(jié)構(gòu)以便用于余水位預(yù)測研究。結(jié)果表明：

（1）基于相空間重構(gòu)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在風(fēng)暴潮增水的短期預(yù)測中表現(xiàn)出良好的預(yù)測能力，這表明該模型能較好地反映該序列內(nèi)在的運(yùn)動(dòng)機(jī)理，揭示動(dòng)力系統(tǒng)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和非線性特性；

（2）使用db10小波對原始余水位數(shù)據(jù)降噪之后可以顯著地提高模型的預(yù)測精度；

（3）利用非線性Lyapunov指數(shù)計(jì)算出基于相空間重構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)風(fēng)暴潮增水預(yù)測方法在庫克斯港站的最大預(yù)測期限是26 h。

參考文獻(xiàn)：

[1] Packard N H, Crutchfield J P, Farmer J D, et al. Geometry from a time series[J]. Physical Review Letters, 1980, 45(9): 712-716.

[2] Takens F. Detecting strange attractors in turbulence[M]//Rand D, Young L S. Dynamical Systems and Turbulence, Warwick. Berlin Heidelberg: Springer, 1981: 366-381.

[3] Farmer J D, Sidorowich J J. Predicting chaotic time series[J]. Physical Review Letters, 1987, 59(8): 845-848.

[4]吳耿鋒,周佩玲,儲閱春,等.基于相空間重構(gòu)的預(yù)測方法及其在天氣預(yù)報(bào)中的應(yīng)用[J].自然雜志, 1999, 21(2): 107-110.

[5] McNames J, Suykens J A K, Vandewalle J. Winning entry of the K. U. Leuven time-series prediction competition[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 1999, 9(8): 1485-1500.

[6]向小東,郭耀煌.基于混沌吸引子的時(shí)間序列預(yù)測方法及其應(yīng)用[J].西南交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2001, 36(5): 472-475.

[7] Yankov D, DeCoste D, Keogh E. Ensembles of nearest neighbor forecasts[M]//Fürnkranz J, Scheffer T, Spiliopoulou M. Machine Learning: ECML 2006. Berlin Heidelberg: Springer, 2006: 545-556.

[8]張穎超,劉玉珠.基于相空間重構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)月降水量預(yù)測方法[J].計(jì)算機(jī)仿真, 2014, 31(1): 352-355.

[9] Solomatine D P, Rojas C J, Velickov S, et al. Chaos theory in predicting surge water levels in the North Sea[C]//Proceedings of the 4th International Conference on Hydroinformatics. Iowa, USA, 2000.

[10] Velickov S. Nonlinear dynamics and chaos with applications to hydrodynamics and hydrological modelling[M]. CRC Press, 2004.

[11] Siek M, Solomatine D, Velickov S. Multivariate chaotic models vs neural networks in predicting storm surge dynamics[C]// Proceedings of IEEE International Joint Conference on Neural Networks, 2008. IJCNN 2008. Hong Kong: IEEE, 2008: 2112-2119.

[12] Siek M, Solomatine D P. Nonlinear chaotic model for predicting storm surges[J]. Nonlinear Processes in Geophysics, 2010, 17(5): 405-420.

[13]王海燕,盧山.非線性時(shí)間序列分析及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社, 2006.

[14]史珍,丁瑞強(qiáng),李建平.隨機(jī)誤差對混沌系統(tǒng)可預(yù)報(bào)性的影響[J].大氣科學(xué), 2012, 36(3): 458-470.

[15] Fraser A M, Swinney H L. Independent coordinates for strange attractors from mutual information[J]. Physical Review A, 1986, 33(2): 1134-1140.

[16]楊志安,王光瑞,陳式剛.用等間距分格子法計(jì)算互信息函數(shù)確定延遲時(shí)間[J].計(jì)算物理, 1995, 12(4): 442-448.

[17] Cao L Y. Practical method for determining the minimum embedding dimension of a scalar time series[J]. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1997, 110(1-2): 43-50.

[18] Chen B H, Li J P, Ding R Q. Nonlinear local Lyapunov exponent and atmospheric predictability research[J]. Science in China Series D: Earth Sciences, 2006, 49(10): 1111-1120.

[19]丁瑞強(qiáng),李建平.誤差非線性的增長理論及可預(yù)報(bào)性研究[J].大氣科學(xué), 2007, 31(4): 571-576.

Storm surge prediction method of neural network based on phase space reconstruction

YOU Cheng, YU Fu-jiang, YUAN Ye
(Key Laboratory of Research on Marine Hazards Forecasting, National Marine Environmental Forecasting Center, Beijing 100081 China)

Abstract：Accurate prediction of storm surge is significantly meaningful to the national production and disaster prevention and mitigation. The storm surge prediction model of BP neural network based on phase space was purposed in this paper, through combining reconstruction phase space with BP neural network. A phase space is reconstructed with the storm surge data and fitted with BP neural network model. The model is used to predict storm surge in Cuxhaven. The result of calculation shows the model is feasible, reasonable and highly precise. The prediction accuracy can been markedly improved through data de-noising.

Key words：phase space reconstruction; BP neural network; storm surge prediction; wavelet de-noising

作者簡介：尤成（1990-），男，碩士，主要從事基于相空間重構(gòu)的預(yù)測方法研究。E-mail: puguan@yeah.net

基金項(xiàng)目：杭州灣海洋災(zāi)害精細(xì)化預(yù)報(bào)系統(tǒng)（2013BAB04B02）。

收稿日期：2015-01-16

中圖分類號：P731.23

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-0239（2016）01-0059-06