周小微??

很多數(shù)學(xué)問題存在一些不確定的因素，不能用統(tǒng)一的方法去研究、解決，這時(shí)，我們就需要將研究的對象或過程進(jìn)行分類，即將一個(gè)母項(xiàng)分成若干子項(xiàng)，然后，對每一類子項(xiàng)分別加以研究，得出相應(yīng)的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果得到整個(gè)問題的解答，這種解決問題的思想叫做分類討論.

引發(fā)分類討論的因素有：（1）有些概念本身就包含多種情況，比如絕對值、直線與平面所成的角、直線的傾斜角等；（2）有些性質(zhì)、公式在不同條件下有不同的結(jié)論，或者定理、公式、法則有范圍、條件的限制，如等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式；指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等；（3）含有參數(shù)的問題，參數(shù)不同范圍的取值導(dǎo)致不同的結(jié)果；（4）有些問題比較復(fù)雜，它包含了多種情況，如題目的條件、結(jié)論不確定，圖形位置、數(shù)量大小不確定等.

解決分類討論的一般方法是：（1）確定分類討論的對象；（2）對所討論的對象進(jìn)行合理分類（分類時(shí)要做到不漏不重、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、分層不越級）；（3）逐類討論，即對各類問題進(jìn)行討論，逐步解決，各個(gè)擊破；（4）歸納總結(jié)，即將各類情況歸類、整合，得出綜合結(jié)論.

下面我們通過幾個(gè)典型例題來剖析如何求解分類討論問題.

例1已知函數(shù)f（x）=（x-a）2ex在x=2時(shí)取得極小值.

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）是否存在區(qū)間[m，n]，使得f（x）在該區(qū)間上的值域?yàn)閇e4m，e4n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由.

解：（1）f′（x）=ex（x-a）（x-a+2），

由題意知f′（2）=0，解得a=2或a=4.

當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）=exx（x-2），

易知f（x）在（0，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)，符合題意；

當(dāng)a=4時(shí)，f′（x）=ex（x-2）（x-4），

易知f（x）在（0，2）上為增函數(shù)，在（2，4）上為減函數(shù)，不符合題意.

所以，滿足條件的a=2.

（2）因?yàn)閒（x）≥0，所以m≥0.

①若m=0，則n≥2，因?yàn)閒（0）=4

設(shè)g（x）=（x-2）2xex（x≥2），則g′（x）=[x2-4x2+（x-2）2x]ex≥0，

所以g（x）在[2，+∞）上為增函數(shù).

由于g（4）=e4，即方程（n-2）2en=e4n有唯一解為n=4.

②若m>0，則2[m，n]，即n>m>2或0

（Ⅰ）n>m>2時(shí)，f（m）=（m-2）2em=e4mf（n）=（n-2）2en=e4n，

由①可知不存在滿足條件的m，n.

（Ⅱ）0

設(shè)h（x）=x（x-2）2ex（0

則h′（x）=（x3-x2-4x+4）ex

=（x+2）（x-1）（x-2）ex，

h（x）在（0，1）遞增，在（1，2）遞減，由h（m）=h（n）得0

此時(shí)（m-2）2em<4e

綜上所述，滿足條件的m，n值只有一組，且m=0，n=4.

評注：一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響進(jìn)行分類討論，本題如果按參數(shù)得變化來分類，情形較為復(fù)雜，但是通過函數(shù)的值域得到n>m≥0，簡化了討論（分類情形較少）.

例2已知圓M：x2+（y-2）2=1，設(shè)點(diǎn)B，C是直線l：x-2y=0上的兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是t，t+4，點(diǎn)P在線段BC上，過點(diǎn)P作圓M的切線PA，切點(diǎn)為A.經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓的圓心為D，當(dāng)t變化時(shí)，求線段DO長的最小值.

解：設(shè)P（s，s2），t≤s≤t+4，

∵AP為切線，則AM⊥AP，

∴△AMP為直角三角形，

∴過A，P，M三點(diǎn)的圓的圓心D即為斜邊PM的中點(diǎn)，

D（s2，s+44）.

OD=（s2-0）2+（s+44-0）2=5s216+s2+1，

配方有

OD=516（s+45）2+45，其中t≤s≤t+4.又BC是直線上變化的線段，點(diǎn)（-45，-25）不一定在線段BC上；而從OD表達(dá)式上看，何處取最小值取決于-45與區(qū)間[t，t+4]的關(guān)系.無論是前者或后者，都有三種情況，故須分類討論（以下過程略）.

ODmin=516（t+245）2+45，t≤-245，255，-245

評注：由圖形的位置、形狀變化引發(fā)的討論，常常有下列情形：二次函數(shù)對稱軸位置的變化；函數(shù)問題中區(qū)間的變化；函數(shù)圖象形狀的變化；直線由斜率、截距引起的位置變化；圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化等.

例3若不等式mx2+mx+2>0，對一切實(shí)數(shù)x恒成立，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：解此題時(shí)，要注意m=0，討論時(shí)不能遺漏.

當(dāng)m≠0時(shí)，知f（x）=mx2+mx+2是關(guān)于x的二次函數(shù)，要使其值恒大于0，此時(shí)，其圖象開口向上，且與x軸沒有交點(diǎn)，故m>0且Δ<0.

當(dāng)m=0時(shí)，顯然函數(shù)不是二次的，需要另行處理.

解：（1）當(dāng)m≠0時(shí)，mx2+mx+2>0，對于一切x恒成立時(shí)有：

m>0，Δ=m2-8m<0解得m>0Δ=m2-8m<0

解得：0

（2）當(dāng)m=0時(shí)，原不等式化為2>0，顯然成立.

綜合（1）、（2）可得m∈[0，8）.

評注：不等式ax2+bx+c>0成立的充要條件為a>0Δ<0或a=b=0c>0.

討論時(shí)，不要被表達(dá)式形式所迷惑，遺漏討論“假二次”的情況.

例4函數(shù)f（x）=x2-2ax+1在區(qū)間[-1，1]上的最小值記為g（a）.

（1）求g（a）的解析式；

（2）求g（a）的最大值.

解：（1）f（x）=x2-2ax+1=（x-a）2+1-a2.

當(dāng)a≤-1時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)增，g（a）=f（x）min=f（-1）=2+2a；

當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)減，g（a）=f（x）min=f（1）=2-2a；

當(dāng)-1

綜上g（a）=2-2a，a≥1，1-a2，-1

（2）a≥1時(shí)，g（a）=2-2a單調(diào)減，g（a）max=g（1）=0；

-1

a≤-1時(shí)，g（a）=2+2a單調(diào)增，g（a）max=g（-1）=0.

綜上g（a）的最大值為1.

在解分類討論問題時(shí)我們要注意以下兩點(diǎn)：（1）要合理選取分類標(biāo)準(zhǔn)，厘清主次，準(zhǔn)確分類并進(jìn)行討論.分類不明確、分類重復(fù)或遺漏是常見的錯(cuò)誤；（2）還應(yīng)該注意到，有時(shí)通過變換研究問題的角度，可以使分類討論的過程簡化或避免討論.

（作者：周小微，江蘇省江安高級中學(xué)）