【摘 要】 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的習(xí)得與建構(gòu)，總是基于豐富而深刻的數(shù)學(xué)體驗(yàn)基礎(chǔ)上的.數(shù)學(xué)概念教學(xué)要注重三原則：感知要忌淺倡深，深入體驗(yàn)；抽象要忌快倡慢，漸進(jìn)概括；鞏固要忌聽倡做，實(shí)踐反思.從而實(shí)現(xiàn)在深度體驗(yàn)中建構(gòu)數(shù)學(xué)概念.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)概念；教學(xué)原則；案例分析

高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)有些現(xiàn)象很令人擔(dān)憂：教師重解題技巧，輕概念生成，追求概念教學(xué)最小化和習(xí)題講解最大化；學(xué)生認(rèn)為概念學(xué)習(xí)單調(diào)乏味而不重視它，對(duì)基本概念死記硬背、不求甚解，只是機(jī)械記憶.后果表現(xiàn)為學(xué)生在沒有真正理解概念的情況下匆忙去解題，使得他們只會(huì)模仿教師解決某些典型例題的題型和掌握某些特定的解法，一旦遇到新的情況、新的題目就束手無策，進(jìn)而導(dǎo)致教師和學(xué)生為了提高成績(jī)，陷入無休止的題海之中.造成這種現(xiàn)象的主要原因，在于學(xué)生僅僅知道數(shù)學(xué)概念本身，并未理解概念的形成過程，對(duì)概念引出的必要性、概念的本質(zhì)及其功能沒有深刻的認(rèn)識(shí).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握，對(duì)一些核心的概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步理解.由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn)，注意體現(xiàn)基本概念的來龍去脈.在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體實(shí)例抽象數(shù)學(xué)概念的過程，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì).”學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念總是基于自我體驗(yàn)基礎(chǔ)上.學(xué)生只有獲得豐富而深刻的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，數(shù)學(xué)思考才有具體的經(jīng)驗(yàn)支撐，數(shù)學(xué)概念才能得以有效建構(gòu).下面結(jié)合案例說明數(shù)學(xué)概念教學(xué)的三原則.

1 感知——忌淺倡深，深入體驗(yàn)

學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)概念的建立，離不開感性經(jīng)驗(yàn)的獲得，數(shù)學(xué)感知也就成了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的首要環(huán)節(jié).而學(xué)生對(duì)感性經(jīng)驗(yàn)的積累，源于對(duì)數(shù)學(xué)素材感知的深淺程度.匆促、膚淺的簡(jiǎn)單化感知，不利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的觸摸、積累.只有深入挖掘數(shù)學(xué)素材，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地從事觀察、操作、比較、思考等深度的數(shù)學(xué)活動(dòng)，才能積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而觸及數(shù)學(xué)概念本質(zhì).

案例1 人教A版《數(shù)學(xué)2》“3.1直線的傾斜角與斜率”（第一課）的教學(xué)片斷.

在介紹完傾斜角這個(gè)概念之后，我們需要引入另一個(gè)新概念——斜率，如何引入呢？教材中是直接規(guī)定的.“我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率”.如果在實(shí)際教學(xué)中也這樣引入的話，學(xué)生會(huì)提出這樣的質(zhì)疑：為何要用正切值，而不能用正弦或余弦呢？面對(duì)這樣的提問，有的老師會(huì)說這是統(tǒng)一規(guī)定；有的老師相對(duì)民主些，逐一驗(yàn)證為何正弦或余弦不好，但總給人“亡羊補(bǔ)牢”之嫌.

其實(shí)，完全可以通過設(shè)計(jì)下面兩個(gè)小問題引入斜率的概念.

問題1 請(qǐng)?jiān)谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出下列方程所表示的直線.

師：?jiǎn)栴}2中的三條直線有何不同？

生：傾斜角不同，分別是45°，60°，135°.

師：大家發(fā)現(xiàn)了什么？

生：?jiǎn)栴}1中x前的系數(shù)恰好是問題2中對(duì)應(yīng)的傾斜角的正切值.

師：這會(huì)是偶然現(xiàn)象嗎？（此時(shí)，教師可利用“幾何畫板”演示當(dāng)傾斜角變化時(shí)，直線傾斜角的正切值與直線x前的系數(shù)始終保持一致）

師：看來，直線傾斜角的正切值與直線方程息息相關(guān)，那么我們不妨用直線傾斜角α的正切值來刻畫直線的傾斜程度，并給它取個(gè)名字，叫做直線的斜率.

評(píng)析 案例中，教師提出問題，通過學(xué)生思考、交流，加深了對(duì)“直線的斜率”概念的理解，逐步領(lǐng)悟其內(nèi)涵，把握其本質(zhì). 這樣的方式引入斜率的概念，自然、流暢，學(xué)生感知深刻，理解深入，把握本質(zhì).

2 抽象——忌快倡慢，漸進(jìn)概括

從具體的感性經(jīng)驗(yàn)中抽象出理性的數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的一大飛越，是概念教學(xué)的核心環(huán)節(jié).而抽象概括數(shù)學(xué)概念，是學(xué)生不斷地比較、剔除非本質(zhì)因素，逼近概念本質(zhì)的漸進(jìn)過程.因此，抽象數(shù)學(xué)概念要忌快倡慢，要放慢教學(xué)節(jié)奏，引導(dǎo)學(xué)生多層多角度地對(duì)數(shù)學(xué)素材做出觀察、比較、概括，參與概念的形成過程，深刻揭示抽象定律的特定內(nèi)涵.

案例2 “函數(shù)概念”的教學(xué)片斷.

師：下列問題中各含有哪些變量，它們之間的關(guān)系是用什么方式表達(dá)的？

生：①中含有兩個(gè)變量，分別是炮彈距地面的高度h（單位：m）及時(shí)間t（單位：s），它們之間的關(guān)系是用解析式表達(dá)的；②中含有兩個(gè)變量，分別是南極上空臭氧層空洞面積及相應(yīng)年份，它們之間的關(guān)系是用圖像表達(dá)的；③中含有兩個(gè)變量，分別是我國(guó)城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)及相應(yīng)年份，它們之間的關(guān)系是用表格表達(dá)的.

師：現(xiàn)在，我們來分析上述各題中兩個(gè)變量的關(guān)系的特點(diǎn).如①中，只要給定了時(shí)間t（0≤t≤26）的任意一個(gè)值，就唯一地確定了炮彈距地面的高度h的值；②中，只要給定了年份（1979～2001）的任意一個(gè)值，就唯一地確定了南極上空臭氧層空洞面積；③中，只要給定了年份（1991～2001）的任意一個(gè)值，就唯一地確定了我國(guó)城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù).即一個(gè)變量每取一個(gè)確定的值，另一個(gè)變量也相應(yīng)地唯一確定一個(gè)值.這時(shí)，我們把后者叫前者的函數(shù).

一般地，設(shè)集合A是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集，對(duì)A內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，按照確定的對(duì)應(yīng)法則f，都有唯一的實(shí)數(shù)值y與它對(duì)應(yīng)，則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做集合A上的一個(gè)函數(shù).

好，現(xiàn)在根據(jù)函數(shù)的定義，判斷下列給出的對(duì)應(yīng)法則，是否是實(shí)數(shù)集R到R的一個(gè)函數(shù)：

生：……

師：好，同學(xué)們學(xué)會(huì)了根據(jù)函數(shù)的概念判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)法則給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否確定一個(gè)函數(shù).現(xiàn)在請(qǐng)大家舉出三個(gè)函數(shù)的實(shí)例.

……

評(píng)析 案例中，對(duì)函數(shù)概念的教學(xué)不只是讓學(xué)生死記硬背函數(shù)概念的定義，也不僅僅關(guān)注對(duì)函數(shù)表達(dá)式、定義域、值域的討論，而是通過選取具體事例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對(duì)函數(shù)概念的實(shí)際背景的感知與抽象概括的過程，并在概念的抽象概括過程中合理設(shè)置問題情景，使學(xué)生體會(huì)函數(shù)所反映的實(shí)際事物的變化規(guī)律，經(jīng)歷函數(shù)概念的抽象概括過程，同時(shí)，通過讓學(xué)生自己舉出函數(shù)的實(shí)例，辨別真假例子，較好地對(duì)函數(shù)概念實(shí)施“過程性教學(xué)”，不但使學(xué)生較為深刻地理解函數(shù)概念的內(nèi)涵，有效地促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解，而且也從中學(xué)會(huì)了抽象概括的思想方法.

3 鞏固——忌聽倡做，實(shí)踐反思

認(rèn)知建構(gòu)學(xué)認(rèn)為，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體.對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，除了學(xué)生本人，任何人都無法代替.學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的鞏固，并不是簡(jiǎn)單地依賴教師重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)、反復(fù)提醒所能及的，而是學(xué)生通過自身對(duì)概念的實(shí)踐運(yùn)用中加以反思而建構(gòu)的.相對(duì)于顯性的知識(shí)技能而言，內(nèi)隱的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累、數(shù)學(xué)方法的習(xí)得、數(shù)學(xué)思想的聚成，都離不開學(xué)生的親自“做”.因此，在數(shù)學(xué)概念的鞏固練習(xí)中，僅讓學(xué)生聽老師的指令機(jī)械訓(xùn)練是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，而應(yīng)忌聽倡做，放手讓學(xué)生在做中積累經(jīng)驗(yàn)，反思調(diào)整，進(jìn)而深化鞏固數(shù)學(xué)概念.

案例3 “函數(shù)的零點(diǎn)”的教學(xué)片斷.

在學(xué)生得出，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上存在零點(diǎn)，必須滿足“連續(xù)”和“異號(hào)”，兩個(gè)條件后，教師提出問題：如果這兩個(gè)條件即“連續(xù)”和“異號(hào)”，現(xiàn)有一個(gè)或兩個(gè)條件不成立，那么函數(shù)還是否存在零點(diǎn)？

學(xué)生經(jīng)過畫圖象，舉反例，反復(fù)驗(yàn)證，他們發(fā)現(xiàn)函數(shù)可能有零點(diǎn)，一些學(xué)生還主動(dòng)上黑板畫出了圖象（如圖1～3.圖1是不滿足“異號(hào)”，圖2是不滿足“連續(xù)”，圖3是兩個(gè)條件都不滿足）.

同時(shí)，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)也可能不存在零點(diǎn)，并舉出反例畫出圖象，恕不贅述.大家感受到“連續(xù)”和“異號(hào)”這兩個(gè)條件是函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)的充分條件.接著教師提出問題：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)，那么一定只有一個(gè)嗎？

學(xué)生們紛紛表示“不一定”，并有幾個(gè)學(xué)生上黑板畫出了（圖4～6）圖象.

教師再提出問題：如果有且只有一個(gè)零點(diǎn)的話，還需要滿足什么條件嗎？

學(xué)生經(jīng)過討論，最后得到要滿足3個(gè)（充分）條件：（1）函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）f（a）f（b）<0；（3）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào).

評(píng)析 案例中，在學(xué)生得出，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上存在零點(diǎn)，必須滿足“連續(xù)”和“異號(hào)”，兩個(gè)條件后，教師通過“如果這兩個(gè)條件即‘連續(xù)和‘異號(hào)，現(xiàn)有一個(gè)或兩個(gè)條件不成立，那么函數(shù)還是否存在零點(diǎn)？”、“如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)，那么一定只有一個(gè)嗎？”、“如果有且只有一個(gè)零點(diǎn)的話，還需要滿足什么條件嗎？”的引導(dǎo)，不僅使學(xué)生舉出了正例，而且也讓學(xué)生舉出了反例.這樣，從概念的形成（具體）到明確概念（一般），再到舉出實(shí)例（具體）形成一個(gè)完整的概念認(rèn)知過程，有利于學(xué)生理解概念，防止死記硬背.

當(dāng)然，“做”數(shù)學(xué)不僅要重視由因及果的數(shù)學(xué)結(jié)論的運(yùn)用，還要重視由果探因的數(shù)學(xué)背景探究.因此，在概念的鞏固練習(xí)中，不僅要讓學(xué)生參與解題，還要重視讓學(xué)生參與構(gòu)題.

總之，學(xué)生總是基于深刻的數(shù)學(xué)體驗(yàn)而建構(gòu)的.在教學(xué)中，教師要從幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)入手，倡導(dǎo)深入感知，漸進(jìn)抽象，實(shí)踐鞏固，讓學(xué)生在深度體驗(yàn)中深刻建構(gòu)數(shù)學(xué)概念.

作者簡(jiǎn)介 趙緒昌，男，1963年生，主任，四川宣漢人， 中學(xué)特級(jí)教師，四川省學(xué)術(shù)和技術(shù)帶頭人，蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)和國(guó)務(wù)院政府特殊津貼獲得者，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究和中小學(xué)教育科學(xué)研究.