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高二數(shù)學(xué)測(cè)試

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

1.命題“?x>1,x2>1”的否定是______.

2.等軸雙曲線的兩漸近線的夾角為______.

3. “x>3”是“x≥2”的______條件(從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”中選一個(gè)填空)

4.橢圓mx2+y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則實(shí)數(shù)m的值為______.

7.已知圓C經(jīng)過A(5,2),B(-1,4)兩點(diǎn),且圓心在x軸上,則圓C的方程為______.

9.已知圓x2+y2=4上存在兩點(diǎn)到點(diǎn)(m,m)(m>0)的距離為1,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______.

10.如圖,A,A′,B分別是橢圓頂點(diǎn),從橢圓上一點(diǎn)P向x軸作垂線,垂足為左焦點(diǎn)F,且AB∥OP,則橢圓的離心率為______.

11.已知拋物線y2=4x上一點(diǎn)P在y軸上的射影為N,動(dòng)點(diǎn)M在直線y=x+2上,則PM+PN的最小值為______.

12.已知等邊三角形ABC邊長為4,動(dòng)點(diǎn)P滿足PA2+PB2=12,則線段PC長度的取值范圍是______.

14.已知M,N為y軸正半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P(異于原點(diǎn)O)為x軸上的一個(gè)定點(diǎn).若以MN為直徑的圓與圓(x-3)2+y2=4相外切,且∠MPN的大小恒為定值,則線段OP的長為______.

二、解答題(本大題共6小題,共90分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

15.(本小題滿分14分)已知命題p:方程x2+y2+2ax+a=0表示圓;命題q:方程ax2+2y2=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.若p∧q為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(1)弦AB的長; (2)?F2AB的面積.

17.(本小題滿分14分)已知直線l過定點(diǎn)P(1,0)且與圓C:(x-2)2+(y-2)2=4相交于A、B兩點(diǎn).

(2)求當(dāng)?ABC的面積最大時(shí)直線l的方程.

18.(本小題滿分16分)如圖(1),一座拋物線型拱橋,水面離拱頂8 m,水面寬16 m.如圖(2),一艘船的寬度為12 m,船的甲板與水面距離為1 m,船上兩根高為am的桅桿垂直于船的甲板,且到甲板左右兩邊的距離均為2 m. 現(xiàn)船正面正對(duì)橋洞(船截面的中軸線與拋物線對(duì)稱軸重合時(shí))通過該拱橋.

(1)當(dāng)a=3時(shí),該漁船是否能安全通過該拱橋?

(2)若該漁船能安全通過該拱橋,求a的最大值.

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知直線l:x=1與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn),點(diǎn)M為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),直線PM,QM與x軸分別交于點(diǎn)R,S,求證:|OR|·|OS|為常數(shù)(O為原點(diǎn)),并求出這個(gè)常數(shù).

(1)求橢圓C的方程;

(2)如圖,點(diǎn)M,N為橢圓C上相異的兩點(diǎn),其中點(diǎn)M在第一象限,且直線AM與直線BN的斜率互為相反數(shù).

① 證明:直線MN的斜率為常數(shù);

② 求四邊形AMBN面積S的取值范圍.

參考答案

一、填空題

二、解答題

15.命題p等價(jià)于“a<0或a>1”,

命題q等價(jià)于“0

∵p∧q為假命題,

∴a≤1或a≥2.

根據(jù)幾何意義,CM⊥l,所以CM所在直線方程為y=-x+4.

=2sin∠ABC.

① 當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),不符題意,舍去；

② 當(dāng)直線l斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),則

18.(1)以拱頂為原點(diǎn)、水平方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系,拋物線過點(diǎn)(8,-8),則拋物線方程為x2=-8y.

當(dāng)a=3,正面通過橋洞時(shí),點(diǎn)C坐標(biāo)為(4,-4),點(diǎn)F點(diǎn)坐標(biāo)為(6,-7).

對(duì)于拋物線,當(dāng)x=4時(shí),y=-2>-4,所以C點(diǎn)能安全通過,

根據(jù)對(duì)稱性,點(diǎn)A、E均能安全通過,所以,該漁船能安全通過該拱橋.

(2)由(1)可得,當(dāng)x=4時(shí),y=-2,所以a的最大值為-2-(-7)=5.

答 (1)當(dāng)a=3時(shí),該漁船能安全通過該拱橋;

(2)若該漁船能安全通過該拱橋,a的最大值為5.

19.(1)根據(jù)題意,AF1+AF2=6,AF1=2AF2,所以AF1=4,AF2=2.

(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),

令y=0,則點(diǎn)P橫坐標(biāo)為

所以|OR|·|OS|

|OR|·|OS|=9.

(2)①∵直線AM與直線BN斜率互為相反數(shù),

∴設(shè)直線AM方程為x=my+2,

記A、B到直線MN的距離分別為dA、dB,則

x2+2bx+2b2-2=0,

SAMBN=S?AMN+S?BMN