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挖掘數(shù)學本質游刃數(shù)學解題
——從高三數(shù)學習題評講課說起

秦志偉

(江蘇省天一中學，214101)

高三復習階段,免不了有很多的數(shù)學習題評講課．習題評講課上,教師首先要解決本班學生在這些習題上出現(xiàn)的主要問題,其次要通過這些習題,對零碎的知識點加以梳理和整合,以期學生的學科知識能趨于系統(tǒng)化．隨著復習的深入,學生對基礎知識的掌握日趨牢固,對知識的系統(tǒng)化理解日趨完善,在此階段,筆者認為,教師的教學側重點可以傾向于數(shù)學問題的優(yōu)化解決、問題的本質探尋和問題的多角度解決．這樣做,一方面能持續(xù)引起學生的學習興趣,另一方面能引導學生注重對數(shù)學問題的本質進行探究，從而提升學生的思維品質．

筆者結合本人高三教學習題評講課上的幾個案例,以期說明數(shù)學問題的更好解決有賴于對數(shù)學問題的本質探尋．

一、數(shù)學解題有賴于充分理解數(shù)學概念

生2:我的思路跟生1差不多,只是我是建系之后用坐標算的．

教師此時結束討論,對三個學生都加以肯定,尤其肯定生3的做法,繼而強調數(shù)學的學習尤其要注重對數(shù)學概念的理解．

我們發(fā)現(xiàn)這個題目本身不難,但是它有評講的價值,因為借助于這個題目我們的教學能達成多個目的．首先,復習了向量問題的兩種基本的解決思路——基底法和坐標法;其次,利用向量數(shù)量積的定義能大大優(yōu)化算法;最后,通過這個具體的例子,讓學生意識到充分理解數(shù)學概念,有利于挖掘數(shù)學的本質．

上習題課前,教師首先應評估題目的價值,評估的依據不是正確率也不是難度,而是這個題目能給學生帶來什么樣的啟示．題目,僅僅是一個載體,它應承載著搭建系統(tǒng)化的知識網絡、啟迪學生更有效的思考和傳遞教師的良好倡導等使命．教師利用題目,引導學生對數(shù)學概念加以充分理解就是一個不錯的導向．數(shù)學,本身就是一門注重概念的學科,數(shù)學的建構完全依賴于一個一個明確的概念．所以,對數(shù)學概念的充分理解往往能從本質上抓住解決數(shù)學問題的關鍵所在．

二、數(shù)學解題有賴于深刻領悟數(shù)學思想

課上兩位同學在黑板上展示了各自的解法:

生4:設{an}的公差為d,由題意，知

(*)

教師讓其余學生對黑板上的兩種解法進行評價，學生一致認為生5的整體換元法簡潔．教師不失時機的指出數(shù)列基本量的相對性保證了這種整體換元的可行性，學生表示很認同．

這個問題的解決,整體化思想的使用固然巧妙,但深層次的原因則是基底化思想的使用．確定一個等差數(shù)列需要兩個量,可以是基本量也可以是其他量,等差數(shù)列的問題可以轉化為用兩個基本量來表示,也可以轉化為用其他兩個量來表示(案例2中用了a1,a10這兩個量)．利用這種相對性,生5的方法就不難想到了，這種思想與向量基底的不唯一性是相通的,我們姑且將其叫做基底化思想．

習題課上讓不同的學生展示不同的解法,通過對解法的比較,學生能深刻感受到問題的解決是如何被優(yōu)化的,以及優(yōu)化的深層原因正是對數(shù)學思想方法的深刻領悟．數(shù)學,是一門注重理性思維的學科,其中的數(shù)學思想方法更是理性思維的精華所在,而數(shù)學的本質也往往與這些思想方法相結合,所以,很多情況下深刻領悟數(shù)學思想與發(fā)掘數(shù)學本質是一致的．數(shù)學思想方法的教學不可能一蹴而就,它應該始終貫穿于數(shù)學的教學之中.尤其在習題課上,教師更應該不失時機的利用具體的習題,讓學生切實感受到運用思想挖掘本質的過程．

三、數(shù)學解題有賴于積極轉變數(shù)學視角

這個習題是上一節(jié)課的思考題,教師用實物投影的方式展示了兩位學生的解法．

y2-4y+1≤0，

教師對兩種解法均給予高度肯定,并追問求雙變量函數(shù)的最值還有哪些常用處理手段,由此引出這節(jié)習題課的一個主題．

這個案例是習題課上就一個主題討論前的引例.之所以選擇它,一方面是作為作業(yè)的反饋,肯定了學生的變現(xiàn),另一方面這兩種方

法都有一個共同點,即實現(xiàn)了兩個變量a,θ的分離,這樣就有便于我們逐個變量分析、研究．更深層次的目的,是為了引發(fā)學生就雙變量函數(shù)最值問題的解決方法的討論．

我們常常要求學生解題要靈活,學生的靈活性不僅依賴于其全面的知識體系，更依賴于其發(fā)散的思維．習題評講課就可以借助典型題目,通過一題多解,以期概括一類問題的解決方法并啟迪學生發(fā)散的思維．對數(shù)學的理解本身就有不同的方式,比如一條直線,我們既可以從形上來認識它,也可以通過它的方程來研究它;比如一個代數(shù)式,我們既可以賦予其一定的幾何意義,也可以通過函數(shù)來研究它．問題的本質只有一個,但我們可以用不同的方式來理解本質,這樣就會形成不同的解決方法．經常有針對性的在習題評講課上設計一題多解,可以幫助學生從不同的角度理解數(shù)學的本質,從而找到最優(yōu)化的方法,同時也啟迪其發(fā)散思維．

數(shù)學問題的完美解決有賴于對數(shù)學問題本質的挖掘,而數(shù)學本質的挖掘又有賴于對數(shù)學概念的充分理解、對思想方法的深刻領悟以及積極地轉變數(shù)學視角．教師充分利用習題評講課,通過一個個具體例子,采取不同的教學方式,如討論、展示或比較等,與學生一起經歷挖掘本質的過程．如此,能使高三習題評講課真正走上高效之路;如此,既能在高三階段持續(xù)激發(fā)學生學習的興趣,也能啟迪更深刻和更發(fā)散的思維．