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例談高中數(shù)學(xué)建模的常見類型

蔡勇全

(四川省資陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校，641300)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出高中數(shù)學(xué)教學(xué)“要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”,要“開展‘?dāng)?shù)學(xué)建?！钡膶W(xué)習(xí)活動(dòng)”,“促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),提高實(shí)踐能力”.可見,數(shù)學(xué)建模已被提高到一定的高度,但是學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中,最難的是如何分析出實(shí)際問(wèn)題所涉及到的數(shù)學(xué)模型.下面就高中數(shù)學(xué)建模中的常見模型予以舉例說(shuō)明,供大家參考.

一、函數(shù)模型

例1根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,我國(guó)能源生產(chǎn)自1985年以來(lái)發(fā)展速度很快,下面是我國(guó)能源生產(chǎn)總量(折合億噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：1985年8.6億噸,1990年10.4億噸,1995年12.9億噸.有關(guān)專家預(yù)測(cè)，到2005年我國(guó)能源生產(chǎn)總量將超過(guò)20億噸.試給出一個(gè)簡(jiǎn)單模型,說(shuō)明有關(guān)專家的預(yù)測(cè)是否合理.

分析這是一個(gè)能源總量隨著年份變化的定量分析問(wèn)題,可以考慮用“函數(shù)”作模型.

解為方便起見,把已知 的三組數(shù)據(jù)(1 985,8.6),(1 990,10.4),(1 995,12.9)變換為(0,8.6),(5,10.4),(10,12.9),用圖象或代數(shù)方法易見不適合用一次函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)擬合，試選用二次函數(shù)擬合.令相應(yīng)的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c,以變換后的三組數(shù)據(jù)代入，得

所以y=0.014x2+0.29x+8.6,對(duì)應(yīng)于2005,取x=20,代入此函數(shù)關(guān)系式得y=20,這說(shuō)明有關(guān)專家的預(yù)測(cè)合理.

二、方程模型

例2某顧客第一次在商店買x件商品花去y元,第二次再去買該商品時(shí),發(fā)現(xiàn)這種商品已降價(jià),且120件正好降80元,因此這一次他比第一次多買10件,共花去20元.若該顧客第一次至少花去10元,那么他第一次至少買商品多少件?

分析容易看出,這個(gè)問(wèn)題涉及方程，可用“方程”模型.

解之得x≥5或x≤-30(舍去),所以該顧客第一次至少買5件商品.

三、不等式模型

例3汽車在行駛過(guò)程中,由于慣性作用,剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住,我們稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析事故的一個(gè)重要因素,在一個(gè)限速40 km/h以內(nèi)的彎道上,甲、乙兩輛汽車相向而行,發(fā)現(xiàn)情況不對(duì),甲、乙兩司機(jī)同時(shí)剎車,但還是碰車了.事發(fā)后現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲車的剎車距離略超過(guò)12 m,乙車的剎車距離略超過(guò)10 m,又知甲、乙兩種車型的剎車距離S(m)與車速x(km/h)之間分別有如下關(guān)系:S1=0.1x+0.01x2;S2=0.05x+0.005x2，問(wèn)超速行駛應(yīng)負(fù)主要責(zé)任的是誰(shuí)?

分析要弄清主要責(zé)任者,應(yīng)需分析行駛速度,要弄清速度問(wèn)題,就要運(yùn)用剎車距離函數(shù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),構(gòu)建一元二次不等式.

解S1=0.1x1+0.01x21>12,S2=0.05x2+0.005x22>10分別求解得:x1>30,或x1<-40(舍去);x2>40或x2<-50(舍去).經(jīng)比較知乙車超過(guò)限速,應(yīng)負(fù)主要責(zé)任.

四、數(shù)列模型

例4某地區(qū)位于沙漠邊緣地帶,人與自然進(jìn)行了長(zhǎng)期頑強(qiáng)的斗爭(zhēng),到2000年底,全地區(qū)的綠化率已達(dá)到30%,從2001年開始,預(yù)計(jì)將會(huì)出現(xiàn)以下變化,原有沙漠面積的16%栽上樹,并成為綠洲;同時(shí),原有綠洲面積的4%又被侵蝕為沙漠,問(wèn)至少經(jīng)過(guò)多少年的努力,才能使全地區(qū)的綠洲面積超過(guò)60%?(年數(shù)取整數(shù),lg 2≈0.301 0)

分析這里涉及兩個(gè)量的“連環(huán)關(guān)系”,分別用兩個(gè)數(shù)列的遞推公式去表示即可.設(shè)經(jīng)過(guò)n年后綠洲面積為an+1,沙漠面積為bn+1,根據(jù)題意能較容易找出遞推公式.

五、三角模型

例5如圖1,某城市有一條公路從正西方通過(guò)市中心O后轉(zhuǎn)向東北方OB,現(xiàn)要修筑一條鐵路L,L在OA上設(shè)一站A,在OB上設(shè)一站B,鐵路在AB部分為直線段,現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10千米,問(wèn)把A、B分別設(shè)在公路上離市中心O多遠(yuǎn)處,才能使AB最短,并求其最短距離.

分析此題因?yàn)樯婕暗阶钪?并與直角三角形有關(guān),可以建立“三角”模型來(lái)研究.

解過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,則OD=10.設(shè)∠DAO=α,則

AD=10cotα,DB=10cot(45°-α),

所以AB=AD+DB

=10[cotα+cot(45°-α)]

六、幾何模型

例6A、B、C是我方三個(gè)炮兵陣地,A地在B地的正東,相距6千米,C地在B地的北偏西30°,相距4千米,P地為敵炮兵陣地,某時(shí)刻A地發(fā)現(xiàn)敵炮兵陣地的某種信號(hào),由于B、C兩地比A地距P地遠(yuǎn),因此4秒后,B、C兩地才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)(該信號(hào)的傳播速度為每秒1千米),A炮位若炮擊P地,求炮擊的方位角.

分析由題意知,點(diǎn)P與點(diǎn)A、B的距離相距4千米,即|PB|-|PA|=4,依此可建立“雙曲線”模型.

①

②