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構(gòu)造雙函數(shù)巧解一類不等式問題

魏正清

(甘肅省臨澤第一中學(xué)，734200)

一、 不等式恒成立問題

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),若不等式lnx+3ex3≤2x4+mx恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍(e是自然對數(shù)的底數(shù)).

解(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間是(e,+∞)(過程略).

再令g(x)=3ex2-2x3(x>0).由g′(x)=6ex-6x2>0,得0

注這種方法可行的關(guān)鍵是所構(gòu)造的函數(shù)f(x),g(x)滿足(f(x)+g(x))max=f(x)max+g(x)max,否則將有(f(x)+g(x))max

二、 不等式有解問題

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;

解(1)略.

∴f(x)min+g(x)min≤-1,

三、實(shí)數(shù)取值范圍問題

例3已知函數(shù)f(x)=ax-lnx.

(1)是否存在正實(shí)數(shù)a,使f(x)的最小值是3?若存在求出a的值,若不存在,請說明理由;

(2)若存在實(shí)數(shù)x使x2-xlnx+ex-mx=0成立，求正數(shù)m的取值范圍.

由(1)知f(x)=x-lnx在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減.

從而f(x)mim=f(1)=1,函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1,+∞).

∴f(x)min+g(x)min≤m,即m≥e+1.

四、 不等式證明問題

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

∴f(x)+g(x)>f(x)min+g(x)min

=2e-2e=0，