馮斌

摘 要：“探究與發(fā)現(xiàn)”課的教學目標定位是什么？從教師“教”的角度思考”該“教什么”？“怎么教”？本文作者在這些方面做了些探索與實踐，也得到了同行與專家們的認同. 本文以人教版選修2-3第一章中的拓展性欄目“探究與發(fā)現(xiàn)：‘楊輝三角中的一些秘密”一課為例，從教師“教”的角度與同行們交流一下這節(jié)知識拓展類選修課磨課過程中的所思所為.

關鍵詞：探究與發(fā)現(xiàn)；教什么；怎么教

背景：兩年一次的浙江省課堂教學評比活動在溫州中學舉行，本次評比活動的主題為：深化課改背景下的“高中數(shù)學教學模式變革”——知識拓展類選修課程教學研究，寧波的指定課題為人教版選修2-3第一章中的拓展性欄目“探究與發(fā)現(xiàn)：‘楊輝三角中的一些秘密”，并取得了第一名的佳績，筆者有幸在“浙江省疑難問題解決培訓”活動中做了點評. 本節(jié)課還代表浙江省參加了“第六屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)質課觀摩與評比”活動，并榮獲了大會最優(yōu)秀獎. 成績的背后離不開參賽選手寧波市鄞州區(qū)正始中學陳碧文老師自身的努力，更凝聚了專家團隊的集體智慧. 知識拓展類選修課程作為省級比賽課內容在我省屬于第一次，而且也沒有可以借鑒的資料，本文旨在從教師“教”的角度與同行們交流一下這節(jié)知識拓展類選修課磨課過程中我們的所思所為.

我們的思考

數(shù)學知識拓展類選修課程旨在改變學生以單純地接受教師傳授知識為主的學習方式，是以學生動手動腦，通過自主探索、合作交流為主要學習方式的學習研究活動. 從教師“教”的角度來講，我們思考的問題是教師該“教什么”與“怎么教”.

1. “教什么”的思考

課堂教學首先要考慮的是“教什么”的問題，即教學目標定位的科學性與合理性. 人教社章建躍老師的三個理解，即“理解教材、理解學生、理解教學”是解決“教什么”的制勝法寶. 通過對教材、學生、教學三方面的分析確定如下教學目標、教學重點、教學難點.

【教學目標】

從不同的角度，研究楊輝三角中所蘊含的規(guī)律，并用組合數(shù)表示；通過楊輝三角的研究，總結歸納出楊輝三角的研究方法，并拓展為對一般數(shù)陣的研究方法. 通過自主探究與合作交流，養(yǎng)成觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究問題、解決問題的學習習慣，以及勇于批判、敢于創(chuàng)新的精神.

【教學重點】

通過不同的角度研究得到楊輝三角的性質，并最終總結出一般數(shù)陣的研究方法.

【教學難點】

將楊輝三角的規(guī)律用組合數(shù)表示.

2. “怎么教”的思考

作為非高考內容的數(shù)學知識拓展類選修課，又是選自“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目，課堂教學的模式是探究式教學，《普通高中數(shù)學課程標準》明確指出：“數(shù)學探究是指學生圍繞某個數(shù)學問題，自主探究、學習的過程. 這個過程包括：觀察分析數(shù)學事實，提出有意義的數(shù)學問題，猜想、探究適當?shù)臄?shù)學結論或規(guī)律，給出解析或證明.” 探究學習充分體現(xiàn)了“以生為本”、“學為中心”的教學理念，讓學生不但學會，更重要的是會學、樂學. 那么，在學生探究與發(fā)現(xiàn)“楊輝三角 ”中的一些秘密過程中教師該做些什么呢，筆者認為可圍繞以下關鍵詞：引導、組織、幫助、提升.

引導：即導趣、導向、導法. 探究課題的引入力求激發(fā)學生的學習與探究的興趣，進而教學生如何觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，明確探究的任務，課題的探究過程中引導探究方向，引導學生掌握數(shù)學研究的一般方法，使學生積累數(shù)學的基本活動經(jīng)驗（包括實踐操作經(jīng)驗與思維活動經(jīng)驗）.

組織：搭建探究平臺，組織探究形式、明確探究任務，控制探究時間，提供展示平臺，并對巡視中發(fā)現(xiàn)的問題及時調整.

幫助：幫助學生明確探究的方向、策略，幫助學生糾正探究中的錯誤、解析疑點、評析難點.

提升：不同思路方法的提煉，讓學生感悟研究問題的思想方法、解決問題的策略，方法的優(yōu)化等.

課例的打磨點滴

本節(jié)課從試教到正式比賽歷時6個月，經(jīng)過幾番打磨，形成如下共識.

1. 引入探究課題

課題引入圍繞“聚神、激趣、點題、啟思”八字方針. 本節(jié)課通過簡要講解有關河圖、洛書的歷史知識引出數(shù)陣的概念，通過數(shù)陣的概念引出楊輝三角，提出本節(jié)課的研究課題“探究與發(fā)現(xiàn)‘楊輝三角中的一些秘密”. 通過這個引入環(huán)節(jié)，旨在體現(xiàn)數(shù)學的文化價值，激發(fā)學生的學習興趣，不僅引出研究課題，而且為后續(xù)探究其他數(shù)陣做好鋪墊.

2. 搭建探究平臺

（1）構建知識平臺

讓學生回顧已經(jīng)學習過的楊輝三角的性質，構建共同基礎，提供知識平臺.

教學片斷一：知識回顧環(huán)節(jié)

教師：楊輝三角在我們學習二項式系數(shù)的性質時已經(jīng)有所接觸. 那么，我們已經(jīng)學習過楊輝三角的哪些性質呢？我請一位同學來回答一下.

學生1：楊輝三角中每一個數(shù)都是二項式系數(shù).

教師：賈憲在他的《開方作法本源圖》中寫道：“左衺乃積數(shù)，右衺乃隅算，中藏者皆廉”. 用今天的話來講，就是說楊輝三角中的每一個數(shù)都是二項式系數(shù)，而二項式系數(shù)都可以寫成組合數(shù). 從而我們就可以把楊輝三角寫成以下的形式（課前已板書），其中第n行第r個數(shù)可以寫成an，r=C，這對我們今天的研究非常重要.

教師：還有嗎？

學生2：楊輝三角中每一個數(shù)都是兩肩上數(shù)之和.

教師：非常好！楊輝三角中每一個數(shù)都是兩肩上數(shù)之和，用組合數(shù)表示就是：

C+C=C，這個結論最早是由南宋時期的楊輝所發(fā)現(xiàn)的，所以稱之為楊輝恒等式.

還有其他性質嗎？

學生3：楊輝三角每一行數(shù)字之和是2的n次.

教師：很好，楊輝三角每一行之和為2n，用組合數(shù)來表示就是：

C+C+C+…+C+…+C+C=2n.

學生4：楊輝三角是左右對稱的：C=C.

教師：以上幾個性質，是我們已經(jīng)知道的. 接下來我們就要研究一下楊輝三角的其他性質了.

（2）提供導學案

為便于探究活動，教師給學生提供了導學案，內容包括：

①閱讀材料：楊輝三角的歷史

②搭建探究活動的支架：回顧楊輝三角；初探楊輝三角（提供了兩個楊輝三角：用數(shù)字表示的楊輝三角，用組合數(shù)表示的楊輝三角）；再探楊輝三角（提示：將楊輝三角擺放成直角三角形，談談你們組的發(fā)現(xiàn)）；三探楊輝三角（提示：將楊輝三角中的奇數(shù)涂黑，又會有怎樣的發(fā)現(xiàn)）；小結與收獲（通過本節(jié)課，你對數(shù)陣的研究有什么心得）；課后探索（查找資料，并閱讀華羅庚的《從楊輝三角說起》，看看楊輝三角中還有哪些我們沒發(fā)現(xiàn)的秘密；用我們今天所學的探究方法，研究萊布尼茨三角，你能從個數(shù)陣中發(fā)現(xiàn)哪些秘密呢）.

（3）提供技術支持

為便于學生展示探究成果，教師在課堂上借用了多媒體“交互式電子白板”.

3. 指明探究方向

“楊輝三角”中有很多秘密，有許多數(shù)學家都研究過，華羅庚先生在1964年2月就出版過《從楊輝三角談起》一書，教材內容只是“楊輝三角”秘密中的冰山一角. 一節(jié)課中對內容的廣度與深度把握非常關鍵，本節(jié)課對內容的取舍原則是在學生現(xiàn)有的知識與經(jīng)驗的基礎上，運用“最近發(fā)展區(qū)”理論對內容進行取舍：引導學生從二項式系數(shù)出發(fā)，聯(lián)想已學的組合數(shù)公式“C=C、C+C=C”，類比數(shù)列的有關問題如“通項、遞推、求和”，及從函數(shù)的角度去探究“楊輝三角”中的秘密.

4. 組織探究活動

“自主、合作、交流”是新課程標準下倡導的一個學生重要的學習方式，已被一線教師們接受和采納，但要避免假探究. 本節(jié)課根據(jù)學生的學情采用的是教師引導下的學生自主探究與合作交流相結合的探究方式，4人一小組，探究活動的流程：獨立思考—小組合作—展示成果—師生互動—總結提升，其中“獨立思考”與“小組合作”時間大概15分鐘左右.

5. 引導探究策略

教師的引導主要讓學生體會研究數(shù)陣的方法：取數(shù)的方法、研究的內容、研究的方法.

（1）取數(shù)的方法（“形”的角度）：①借鑒蘇軾的《題西林壁》，從“橫看”、“側看”（45°，30°）、“整體” 、“局部”等四個角度取數(shù). ②改變楊輝三角的擺放形狀，如變“等腰三角形”為“直角三角形”等.

（2）研究的內容（“數(shù)”的角度）：①類比數(shù)列的有關問題，如“通項、遞推、求和”. ②聯(lián)想特殊的數(shù)列，如高階等差數(shù)列、斐波那契數(shù)列等. ③聯(lián)系函數(shù)的性質，如，“對稱性”、“奇偶性”、“增減性”、“最值”等.

（3）研究的方法：為降低探究難度，提高學習興趣，根據(jù)學情教師提出要求：“用數(shù)字表示的楊輝三角尋找規(guī)律，用組合數(shù)表示的楊輝三角總結和論證規(guī)律”，學生采?。骸坝^察—歸納—猜想—驗證—證明”的探究問題步驟，合情推理與演繹推理相結合. 同時教師還滲透實事求是的科學態(tài)度，提醒學生猜想不一定正確，如學生猜想的結論“第n項看做一個數(shù)，猜想這個數(shù)是11n-1”是錯誤的.

6. 展示探究成果

由于課堂時間的限制，教師通過巡視，有選擇地挑選幾個組上臺展示探究成果，并追問探究的思路.

教學片斷二：小組成果展示環(huán)節(jié)

（第一組）學生1：將梯形中5個數(shù)相加就是下面隔行的數(shù)（如圖1）.

C+C+C+C+C=C.

思路：因為楊輝三角的每一個數(shù)都是肩上兩數(shù)之和，我們就在想，是不是可以進一步向上推導？

教師：從已知的結論中挖掘出新的內容，非常好！

（第二組）學生2：我們組發(fā)現(xiàn)每一斜行前n個數(shù)加起來都是下面一行的第n個數(shù)

C+C+C+C+…+C=C.

推導到一般情形：C+C+C+…+C=C（n>r）.

思路：我們是從求和的角度來研究的，既然橫的一行相加存在規(guī)律，那么斜的一行相加看是不是也可以得到一些結論？

教師：采用類比方法進行研究，類比是研究數(shù)學問題的常用方法之一.

（第三組）學生3：楊輝三角中每一行數(shù)的平方和都是楊輝三角中的數(shù)

（C）2+（C）2+…+（C）2=C.

思路：既然楊輝三角每一行的和存在規(guī)律，那么每一行的平方和是不是也有規(guī)律呢？

（第四組）學生4：將楊輝三角30°角斜行加起來得到數(shù)列1，1，2，3，5，8，13， 21，34，55，89，144，…每一項都是前兩項之和.

思路：通過教科書上的提示得到的.

教師：查找資料也是一種非常好的學習方式，這個數(shù)列恰好是斐波那契數(shù)列.

（第五組）學生5：我們發(fā)現(xiàn)單純用數(shù)字的角度去看的話，每一行都是11的次數(shù)冪.第一行11的0次冪，第二行11的1次冪，第三行121是11的2次冪，我們驗算了一下，11的3次冪正好是第四行1331，因此我們猜測將楊輝三角第n行數(shù)字依次寫下來是11的n-1次冪.

教師：11的1次冪為11，11的2次冪為121，11的3次冪為1331，好像確實是這樣.那么我們一起來幫他們驗算一下11的4次冪.

學生眾：14641.

教師：11的5次冪是多少呢？

學生眾：11的5次冪為161051.

教師：太可惜了，這是一個多么美好的結論啊，問題出在哪兒呢？我們一起來看一下，同學們，我們11的4次冪是如何計算的??？我們是通過1331×11計算得到的. 從這里我們會發(fā)現(xiàn)，14641其實是兩個1331錯位相加得到的. 那么11的5次冪是不是也是由兩個14641錯位相加得到？而在這個過程中，出現(xiàn)了一個問題，大家發(fā)現(xiàn)了沒有？

學生眾：進位了！

教師：非常好. 產(chǎn)生了進位就會出現(xiàn)問題，所以我們是不是只需要把這個結論改一改，將楊輝三角中每一行數(shù)字錯一位疊加所得到的結果是11的若干次方.

其實我們在研究過程中，不要被自己的慣有思維所約束，比如，我們可以從數(shù)的奇偶性角度去研究數(shù)：

①當我將楊輝三角中的奇數(shù)涂黑.大家看，是不是會得到一個有趣的圖形？其中第2的k次行均為奇數(shù)，奇數(shù)行的下面一行除兩端之外均為偶數(shù).

②將楊輝三角中的奇數(shù)用線段連接起來，就可以得到一個有趣的三角形——謝爾賓斯基三角，對謝爾賓斯基三角進行拓展，得到：謝爾賓斯基塔、謝爾賓斯基地毯、謝爾賓斯基海綿，我們就誕生了一門新的數(shù)學分支——分形數(shù)學. （多媒體展示優(yōu)美圖案）

又比如，我們?yōu)槭裁匆欢ㄒ褩钶x三角放成等邊三角的形式呢？有些人就不這么認為，他把楊輝三角擺放成直角三角，也得到了一些有趣的結論，留給同學們課后探究.

7. 總結探究收獲

本環(huán)節(jié)通過教師的引導，讓學生從知識與方法兩個側面總結本節(jié)課的收獲，并由教師做必要補充.

教學片斷三：總結提升環(huán)節(jié)

教師：接下來，我們來總結一下.通過這節(jié)課，你收獲了些什么？

學生1：通過這節(jié)課的研究，我們發(fā)現(xiàn)了楊輝三角的很多秘密. 比如，楊輝三角每一斜行都是一個特殊的數(shù)列（高階等差數(shù)列），并且這些數(shù)列的和又是下一行中的數(shù). 楊輝三角每一橫行的平方和也是楊輝三角中的數(shù). 通過30°的斜行求和，還可以得到斐波那契數(shù)列.

教師：總結得很好！當然，我們這節(jié)課不僅僅是研究楊輝三角，我們更需要通過對楊輝三角的研究，學會對數(shù)陣的研究方式. 那么通過這節(jié)課，你們對數(shù)陣的研究又有哪些心得呢？

學生2：從楊輝三角的研究中，我發(fā)現(xiàn)數(shù)陣可以從橫的、斜的、豎的這幾個角度去看，也可以局部看、整體看.

學生3：從楊輝三角的研究中，得到數(shù)陣研究的內容可以類比數(shù)列，從通項、遞推、求和這幾方面入手.

教師：很好！我們發(fā)現(xiàn)可以從橫看、側看、豎看這幾個角度去研究數(shù)陣. 既然數(shù)陣與數(shù)列的概念如此相似，我們也可以借鑒數(shù)列的研究內容，從數(shù)陣中的通項、遞推、求和，以及數(shù)陣中所蘊含的特殊數(shù)列這幾個角度來研究數(shù)陣.

教師：通過今天的研究，我們已經(jīng)把楊輝三角的秘密都找到了嗎？（學生：沒有）當然沒有，我在課堂的開始就講過，賈憲用它手算高次方根，那么它是如何計算的呢？牛頓的微積分與它有一定的關聯(lián)，關聯(lián)在哪呢？我希望大家課后查找資料，并閱讀華羅庚先生的《從楊輝三角說起》，去尋找這些答案，看看楊輝三角中還有哪些我們沒發(fā)現(xiàn)的秘密. 有興趣的同學還可以運用我們今天所學的探究方法，研究萊布尼茨三角，你能從個數(shù)陣中發(fā)現(xiàn)哪些秘密呢？

當然，教學過程的打磨還包括板書設計、時間分配、視頻制作等，這里就不一一贅述了.