王翠 帥莉

一、 兒童建模學(xué)習(xí)的提出

在力學(xué)小學(xué)國(guó)家級(jí)十二五規(guī)劃課題“基于學(xué)科特質(zhì)的研究性課堂的深化研究”的中期匯報(bào)中，成尚榮先生曾提出：我們的教育應(yīng)該指向兒童的深度學(xué)習(xí)?！吧疃葘W(xué)習(xí)”寓意頗深，其最終目的是讓兒童擁有深刻的思維品質(zhì)，持久的學(xué)習(xí)力。數(shù)學(xué)從本質(zhì)而言，是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的，是在不斷的抽象、概括模式化的過(guò)程中發(fā)展和豐富的，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出“強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解。”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入到“建?！钡囊饬x上，才真正走進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“腹地”?；诖耍覀兲岢隽肆W(xué)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)主張“兒童建模學(xué)習(xí)”。

二、 兒童建模學(xué)習(xí)的內(nèi)涵

提起數(shù)學(xué)建模，很多人第一反應(yīng)是初高中的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，也常常會(huì)有人疑問(wèn)：小學(xué)能建模嗎？其實(shí)我們力學(xué)小學(xué)研究的兒童建模學(xué)習(xí)，并不是指狹義的建模競(jìng)賽，而是廣義的數(shù)學(xué)建模，是基于兒童視角，聚集數(shù)學(xué)本質(zhì)，不斷讓學(xué)生經(jīng)歷從具體事例或現(xiàn)實(shí)原型出發(fā)，逐步抽象、概括建立起某種模型并進(jìn)行解釋和運(yùn)用，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解和感受，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力。

三、 兒童建模學(xué)習(xí)的定位

第一，研究的對(duì)象是兒童。兒童在不同的發(fā)展階段有不同的思維特點(diǎn)，所以?xún)和W(xué)習(xí)是基于兒童的認(rèn)知特點(diǎn)，基于兒童的生活經(jīng)驗(yàn)，基于兒童的思維方式的。我們研究的兒童建模學(xué)習(xí)，需要從兒童的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，通過(guò)適切的問(wèn)題展示，引領(lǐng)兒童進(jìn)入數(shù)學(xué)的深度思維，從而到達(dá)兒童的“最優(yōu)發(fā)展區(qū)”。

第二，目標(biāo)指向兒童的深度學(xué)習(xí)。力學(xué)小學(xué)提出的兒童建模學(xué)習(xí)的目標(biāo)指向兒童的深度學(xué)習(xí)，指向兒童數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思維等素養(yǎng)的提升，指向發(fā)展兒童的學(xué)力。我們以“兒童建模學(xué)習(xí)”為突破口，讓兒童理解并形成數(shù)學(xué)的思維，逐步經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)兒童建模的意識(shí)，讓兒童經(jīng)歷建模的過(guò)程，形成建模的思想。在此過(guò)程中，兒童個(gè)體通過(guò)不斷自我構(gòu)建，學(xué)會(huì)猜想、抽象、運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決生活問(wèn)題，舉一反三等，這樣在小學(xué)階段就能積淀豐厚的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為初高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)甚至是終生學(xué)習(xí)都奠定思維的基礎(chǔ)。

四、 兒童建模學(xué)習(xí)的操作途徑

1.利用已有經(jīng)驗(yàn)，讓兒童建模學(xué)習(xí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。美國(guó)教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾也說(shuō)過(guò)，影響學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀態(tài)去進(jìn)行兒童建模學(xué)習(xí)。所以，有效的教學(xué)活動(dòng)必須是基于學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)展開(kāi)的自主探究的過(guò)程。

進(jìn)行《認(rèn)識(shí)面積》教學(xué)時(shí)，在學(xué)生通過(guò)摸一摸、比一比、找一找、說(shuō)一說(shuō)等活動(dòng)認(rèn)識(shí)面積的含義后，我設(shè)計(jì)了讓學(xué)生比較平面圖形面積大小的教學(xué)環(huán)節(jié)。

（1）認(rèn)識(shí)基本的比較方法

a.觀察法

師：圖形王國(guó)里有四個(gè)圖形寶寶，你知道幾號(hào)圖形的面積最大？幾號(hào)圖形的面積最小嗎？

生： ④號(hào)圖形面積最大，最小的是①號(hào)圖形。

師：一眼就看出來(lái)了。有時(shí)我們可以直接用觀察的方法進(jìn)行圖形的大小比較。板書(shū)：觀察。

b.重疊法

②號(hào)、③號(hào)圖形，也請(qǐng)你們來(lái)觀察一下，它們誰(shuí)的面積比較大？（不能一眼就看出）有什么好辦法？

生：重疊一下后發(fā)現(xiàn)③號(hào)的面積比②號(hào)的面積大。

小結(jié)：當(dāng)圖形的大小比較接近時(shí)，我們可以用重疊的方法進(jìn)行比較。板書(shū)：重疊。

（2）自主探索面積的比較方法

師：這兒還有兩個(gè)圖形寶寶，你還能比較出他們的大小嗎？

同桌兩人合作，看哪一對(duì)同桌能想出好辦法。為了給同學(xué)們一些提示和幫助，老師給大家提供了一些工具：剪刀、小圓片、透明方格紙。如果你覺(jué)得有用的話，你可以用它們，使用剪刀要注意安全，你也可以用你自己身邊的材料。

生1：重疊后，剪拼。

生2：數(shù)圓片。

生3：數(shù)方格。

“學(xué)習(xí)”不是簡(jiǎn)單的信息積累，而是新舊知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的相互作用引發(fā)的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的重組。有效的學(xué)習(xí)是學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)體系在一定環(huán)境中由內(nèi)而外的“生長(zhǎng)”，是以學(xué)習(xí)者原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)來(lái)實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)。

在認(rèn)識(shí)面積概念時(shí)，學(xué)生通過(guò)手掌與數(shù)學(xué)書(shū)封面重疊大小時(shí)已經(jīng)積累了面積比較的初步經(jīng)驗(yàn)，已經(jīng)接受了“全等形等積”和“面積的可加性”的思想滲透，而在學(xué)習(xí)了“觀察法”和“重疊法”以后，學(xué)生又已經(jīng)建構(gòu)了面積比較的初步方法。教師在準(zhǔn)確把握了學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)后，組織學(xué)生比較正方形和長(zhǎng)方形的面積大小，此時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)原有的觀察法、測(cè)量法都不能解決問(wèn)題，產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，此時(shí)教師適時(shí)提供豐富的材料（直尺、剪刀、透明方格紙、小圓片等），這是引導(dǎo)學(xué)生深入研究的無(wú)聲語(yǔ)言。教師沒(méi)有直接告知面積方法的比較，而是給學(xué)生充足的空間去獨(dú)立思考、展開(kāi)探索、形成自己的想法。學(xué)生在所提供材料的幫助下，動(dòng)手操作、自主探究，展現(xiàn)出有模有樣的科學(xué)研究過(guò)程。

在充分尊重兒童、倡導(dǎo)個(gè)性發(fā)展的環(huán)境下，學(xué)生充分交流展示自己的想法，而這幾種方法又展現(xiàn)了學(xué)生不同的思維水平：剪拼后重疊的方法是學(xué)生基于觀察、重疊方法的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上選擇的比較策略；數(shù)圓片的方法和數(shù)方格的方法是用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)去測(cè)量面積大小，這是基于學(xué)生認(rèn)識(shí)厘米所積累的用統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)去度量的思維經(jīng)驗(yàn)；而最后一種用面積公式的孩子的思維方式相對(duì)固化，可能由父母告知或提前預(yù)習(xí)得到面積公式，但是對(duì)于面積概念的理解并不透徹。在這一系列活動(dòng)中，學(xué)生逐步建構(gòu)起比較面積大小的思考過(guò)程，通過(guò)系統(tǒng)體驗(yàn)和學(xué)習(xí)，形成了良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.利用幾何直觀，讓兒童建模學(xué)習(xí)

幾何直觀憑借圖形的直觀性特點(diǎn)將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，使抽象思維同形象思維結(jié)合起來(lái)，充分展現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，突破數(shù)學(xué)理解上的難點(diǎn)。其實(shí)，幾何直觀是數(shù)形結(jié)合思想的更好體現(xiàn)。通過(guò)圖形的直觀性質(zhì)來(lái)闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化、相互滲透，為兒童數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)開(kāi)辟了一條重要的途徑。

【案例】四年級(jí)《乘法分配律》

（1）出示老大的菜地圖。

①提問(wèn)：兩塊地的面積和是多少？

②列綜合算式計(jì)算兩塊地的總面積。

③交流列分開(kāi)算和合起來(lái)算兩種不同思路的算式。

④比較得數(shù)，建立等式：（6+2）×9=6×9+2×9

（2）研究老二菜地的總面積。

①會(huì)列綜合算式計(jì)算嗎？寫(xiě)在作業(yè)紙上。

②學(xué)生匯報(bào)算式。（相機(jī)板書(shū)）

③追問(wèn)：都是像這樣分開(kāi)算的？為什么不合起來(lái)算了？

（3）研究老三菜地的總面積。

學(xué)生獨(dú)立列式。

問(wèn)：這次為什么又能合起來(lái)算呢？建立等式：（8+3）×6=8×6+3×6

追問(wèn)：孩子們，回憶一下剛才我們解題的過(guò)程，想一想，老大、老三菜地的總面積既可以分開(kāi)算又可以合起來(lái)算，根本原因是什么？

師：哦，原來(lái)是有相同的邊，那在乘法算式中就是有相同的？（數(shù)）乘數(shù)

（4）類(lèi)比展開(kāi)，體驗(yàn)感悟

①舉例驗(yàn)證

②師：孩子們，觀察這兩道等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？那像這樣的等式，你還能舉出一些嗎？請(qǐng)你在作業(yè)紙上寫(xiě)一寫(xiě)。

用乘法的意義解釋規(guī)律

師：剛才我們的小朋友是用計(jì)算的方法證明了兩邊的式子是相等的，想想我們前面學(xué)習(xí)的乘法知識(shí)，你能試著解釋一下嗎？

（5）揭示規(guī)律，理解意義

①談話：你能把這樣的規(guī)律用自己的方式表示出來(lái)嗎？

②學(xué)生嘗試表達(dá)，然后交流展示。（學(xué)生有的用文字表示，有的用圖形表示，有的用字母表示）

③小結(jié)：數(shù)學(xué)上我們一般用小寫(xiě)字母表示（a+b）×c=a×c+b×c，這里的c可以表示算式中的哪些數(shù)？

像這樣，用兩個(gè)數(shù)的和乘第三個(gè)數(shù)，就等于這兩個(gè)數(shù)分別乘第三個(gè)數(shù)，再把它們的積相加。這就是我們今天研究的——乘法分配律。

運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，歷來(lái)都是教學(xué)上一塊難啃的硬骨頭。我們課前進(jìn)行了前測(cè)，發(fā)現(xiàn)了一些問(wèn)題：第一，學(xué)生大多數(shù)能感知乘法分配律是什么，但為什么總是難以運(yùn)用相對(duì)規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)和概括？第二，多數(shù)學(xué)生能夠根據(jù)乘法分配律的外形結(jié)構(gòu)特征完成一定的填空、連線，并形成初步的認(rèn)識(shí)，但真正運(yùn)用時(shí)怎么就漏洞百出呢？其實(shí)，乘法分配律的學(xué)習(xí)和學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的運(yùn)算律相比，表達(dá)形式復(fù)雜，有2種運(yùn)算符號(hào)、3個(gè)數(shù)參與；原有知識(shí)不容易同化，學(xué)生已有的混合運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)無(wú)法與新知建立聯(lián)系，不容易找準(zhǔn)新知學(xué)習(xí)的切入點(diǎn)。

鑒于這樣的認(rèn)識(shí)，我們進(jìn)行了多次的磨課，從“數(shù)學(xué)建?！钡囊暯菍?duì)這一傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行新的詮釋與表達(dá)：本課以“有一條邊相等的兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和”的素材為載體，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體問(wèn)題到類(lèi)比推理，再到建立模型、解釋模型的過(guò)程，充分感受模型思想。在其后的豐富拓展中不斷賦予模型“生長(zhǎng)”的力量，讓乘法分配律的模型既根植于圖形，又不拘泥于圖形，使得用字母表達(dá)的乘法分配律有了“豐腴”之美。

3.利用動(dòng)手操作，讓兒童建模學(xué)習(xí)

兒童空間建模學(xué)習(xí)的形成是經(jīng)歷“具體——半具體、半抽象——抽象”的階段，而在這三個(gè)階段的過(guò)渡中，需要教師在教學(xué)中提供“梯子”。操作就是學(xué)生建模學(xué)習(xí)中的“梯子”，其對(duì)學(xué)生積累構(gòu)建直觀模型的經(jīng)驗(yàn)具有不可替代的作用。

【案例】《認(rèn)識(shí)長(zhǎng)正方形》

師：長(zhǎng)方形對(duì)邊相等嗎？四個(gè)角都是直角嗎？還需要驗(yàn)證我們的猜想。

同桌合作驗(yàn)證后交流：你是用什么方法驗(yàn)證的？得出了什么結(jié)論？

隨機(jī)處理以下環(huán)節(jié)：

a.長(zhǎng)方形邊的特征

（1）量：你量出的結(jié)果分別是多少？說(shuō)明什么？（指名多人匯報(bào)）

小結(jié)：盡管大家手中的長(zhǎng)方形大小不同，但是通過(guò)測(cè)量我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)邊都相等。

（2）折：除了用量一量來(lái)驗(yàn)證長(zhǎng)方形對(duì)邊相等的特征，還有其他的方法嗎？

學(xué)生介紹折的方法：

小結(jié)：通過(guò)量一量，折一折，我們驗(yàn)證了長(zhǎng)方形對(duì)邊相等這個(gè)特征。

b.角的特征

方法1：用直角一個(gè)一個(gè)去比一比，發(fā)現(xiàn)了長(zhǎng)方形有四個(gè)角，而且都是直角。

方法2：先把四個(gè)角重疊在一起，再用直角直接比一下就可以了！

師：你能想辦法驗(yàn)證正方形的四條邊都相等嗎？

生1：我折的方法和長(zhǎng)方形一樣，先把正方形上下對(duì)折，再左右對(duì)折，發(fā)現(xiàn)它上下邊相等，左右邊也相等。所以，正方形的四條邊相等。

師：這只能說(shuō)明正方形對(duì)邊相等，怎樣折才能驗(yàn)證這兩條相鄰的邊也相等？

生2：再把它斜著對(duì)折，上邊和左邊重合，所以上邊=左邊，下邊和右邊重合，所以下邊=右邊（如下圖）這樣一折，我們就能得出鄰邊也相等了，正方形的四條邊都相等。

生3：我還有更簡(jiǎn)單的折法。把這張長(zhǎng)方形紙對(duì)折兩次，四條邊重合在一起，說(shuō)明四條邊都相等。

上述教學(xué)中學(xué)生經(jīng)歷了動(dòng)手操作驗(yàn)證“特征”的全過(guò)程，不僅收獲了關(guān)于長(zhǎng)方形特征的相關(guān)知識(shí)，建立了一個(gè)問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)模型，操作前通過(guò)討論驗(yàn)證的方法，提高操作的有效性，從而建立了問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)模型；交流時(shí)略有側(cè)重，重點(diǎn)探討“邊的特征”，首先是量，學(xué)生感悟到要通過(guò)大量的例證才能得出長(zhǎng)方形對(duì)邊相等，這是一次不完全歸納的經(jīng)歷，構(gòu)建歸納的模型思想；把一個(gè)長(zhǎng)方形對(duì)折，觀察到對(duì)邊重疊在一起，就能推理出長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等，為學(xué)生積累了一定的推理經(jīng)驗(yàn)。在驗(yàn)證正方形四條邊相等時(shí)，絕大多數(shù)同學(xué)都會(huì)運(yùn)用驗(yàn)證長(zhǎng)方形邊特征的原有經(jīng)驗(yàn)——沿著兩條邊對(duì)折，此時(shí)教師洞悉了探究中學(xué)生的難點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生思考：怎樣折才能驗(yàn)證鄰邊相等？進(jìn)而研究出最為簡(jiǎn)便的方法：斜著對(duì)折兩次，將四條邊全部重合在一起。在探究的過(guò)程中，教師著力幫助學(xué)生提升原有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，將它納入到新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，借助幾何直觀，通過(guò)“同化”和“順應(yīng)”，架構(gòu)了探究經(jīng)驗(yàn)與數(shù)形結(jié)合思想的快速通道。數(shù)學(xué)模型的建立不是最終目的，而讓學(xué)生形成一種模型意識(shí)，建立思維方法，反過(guò)來(lái)再去解決問(wèn)題，讓學(xué)生理解并形成數(shù)學(xué)的思維、促進(jìn)數(shù)學(xué)的理解、促進(jìn)自我的數(shù)學(xué)建構(gòu)，這種數(shù)學(xué)化的思想才是根本的目的。

4.利用知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，讓兒童建模學(xué)習(xí)

學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)看上去是零散的，但其實(shí)知識(shí)之間都是由結(jié)構(gòu)脈絡(luò)的，是有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系的，所以教師的教學(xué)一定不能只立足于學(xué)生每個(gè)小知識(shí)點(diǎn)的掌握，要有大空間意識(shí)，要將知識(shí)串聯(lián)在一起，讓兒童真正形成建模思想。

【案例】五上平面圖形的復(fù)習(xí)

首先，要求學(xué)生回憶和歸納各個(gè)平面圖形的面積公式的推導(dǎo)過(guò)程及聯(lián)系。讓學(xué)生通過(guò)自己的努力構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖。

通過(guò)教師引導(dǎo)，學(xué)生形成合理、完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖：

在知識(shí)整理過(guò)程中，教師通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的整理把握，重視對(duì)隱形的數(shù)學(xué)建模的感悟與體驗(yàn)，使學(xué)生能觸類(lèi)旁通，舉一反三，并學(xué)會(huì)將知識(shí)遷移。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生明白長(zhǎng)方形是最基本的平面圖形，其他平面圖形面積公式都可以通過(guò)剪拼、轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形進(jìn)行推導(dǎo)，而提醒的面積推導(dǎo)公式更是有很多種。

學(xué)生回憶面積公式推導(dǎo)過(guò)程，在尋找知識(shí)之間聯(lián)系的過(guò)程中逐漸形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，不僅實(shí)現(xiàn)了對(duì)舊知的重組和構(gòu)建，同時(shí)還滲透了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，從而使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了圖形的變化規(guī)律，對(duì)平面圖形面積的計(jì)算這一模型有了深刻的認(rèn)識(shí)。

作為小學(xué)來(lái)講，數(shù)學(xué)建模并非遙不可及，也并非揠苗助長(zhǎng)。從數(shù)學(xué)學(xué)科的價(jià)值和本質(zhì)入手，對(duì)數(shù)學(xué)建模進(jìn)行深度的思考和剖析，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、“創(chuàng)造”數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力和素養(yǎng)，是一種方法，是一種思想，更是一種觀念，一種意識(shí)！

（王翠、帥莉，南京市力學(xué)小學(xué)，210013）

責(zé)任編輯：顏瑩