鄒孔慶，黃文鋒，王美芹，周煥林（合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，安徽合肥　230009）

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基于模態(tài)貢獻(xiàn)度系數(shù)的大跨度橋梁抖振響應(yīng)分析

鄒孔慶，黃文鋒，王美芹，周煥林
（合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，安徽合肥230009）

摘要：文章基于結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析及模態(tài)分析理論，推導(dǎo)了大跨度橋梁模態(tài)貢獻(xiàn)度系數(shù)和最優(yōu)時間步長計算公式，并編寫相應(yīng)的計算程序。針對普立特懸索橋的結(jié)構(gòu)特點，計算分析其模態(tài)貢獻(xiàn)度系數(shù)及相應(yīng)的優(yōu)化時間步長Δt，再將其引入普立特懸索橋在風(fēng)荷載作用下的抖振時域響應(yīng)分析。計算結(jié)果表明，采用優(yōu)化時間步長Δt＝0.05計算得到的各方向抖振響應(yīng)均沿平衡位置上下波動，順風(fēng)向比垂直向位移響應(yīng)大4倍左右。通過對比分析可知，采用優(yōu)化的時間步長使計算結(jié)果在精度和效率上得到很好的保證，為普立特懸索橋的抗風(fēng)分析提供了依據(jù)，可供同類結(jié)構(gòu)精細(xì)化的動力分析做參考。

關(guān)鍵詞：模態(tài)貢獻(xiàn)度系數(shù)；優(yōu)化時間步長；大跨度橋梁；抖振響應(yīng)

周煥林（1973-），男，安徽宿松人，博士，合肥工業(yè)大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師.

0　引　言

大跨度懸索橋為幾何形態(tài)比較復(fù)雜的空間結(jié)構(gòu)受力體系［1］，理論上，該類結(jié)構(gòu)具有無限多的自由度，因而具有無限多個模態(tài)，且各模態(tài)間存在耦連性。通常結(jié)構(gòu)動力分析中只取對結(jié)構(gòu)響應(yīng)貢獻(xiàn)度較大的有限個模態(tài)進(jìn)行計算，但卻很難準(zhǔn)確地確定臨界點頻率位置，從而難以確定在響應(yīng)計算中所參與的模態(tài)數(shù)。如果在計算中僅考慮較低階模態(tài)，會引發(fā)高階模態(tài)響應(yīng)的丟失問題，導(dǎo)致計算結(jié)果出現(xiàn)偏差并影響整體和局部響應(yīng)效果，若考慮太多的高階模態(tài)參與計算，使計算過程更加耗時和占用更多內(nèi)存。因此，合理準(zhǔn)確地確定參與模態(tài)數(shù)及相應(yīng)的臨界頻率是十分重要的，同時建立該臨界頻率與結(jié)構(gòu)動力分析的聯(lián)系是要解決的關(guān)鍵問題之一。

對大跨度橋梁結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)分析，常采用模態(tài)分析法和逐步積分法。前者采用了疊加原理，故只能適用于線性系統(tǒng)中，但是后者適用于分析任何體系結(jié)構(gòu)以及其非線性動力響應(yīng)問題。目前，大跨度橋梁結(jié)構(gòu)動力分析更側(cè)重于研究結(jié)構(gòu)的各種非線性行為，特別是分析在隨機(jī)且變化規(guī)律復(fù)雜的風(fēng)荷載作用下結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的非線性問題，故采用逐步積分法求解更加合適。

但該方法的計算精度與時間步長關(guān)聯(lián)密切，并且由于低通濾波的作用，如果時間步長太大將會過濾掉高階頻率對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的貢獻(xiàn)，如果時間步長太小將使計算過程耗時和占用內(nèi)存，因而需要確定最合理的時間步長。其值本身的確定不涉及結(jié)構(gòu)振型和頻率，但可根據(jù)結(jié)構(gòu)臨界頻率確定，從而可建立臨界頻率和動力分析的關(guān)系。而該臨界頻率可通過各階模態(tài)的貢獻(xiàn)度系數(shù)分析得到，最終使得結(jié)構(gòu)計算結(jié)果在精度和效率上均得到有效保障。

本文在結(jié)構(gòu)動力學(xué)及模態(tài)分析理論基礎(chǔ)上，推導(dǎo)得到橋梁結(jié)構(gòu)模態(tài)貢獻(xiàn)度系數(shù)和最優(yōu)時間步長的計算公式，并編寫了相應(yīng)的計算程序，再結(jié)合普立特懸索橋模態(tài)分析結(jié)果計算得到該橋梁的各階模態(tài)貢獻(xiàn)度系數(shù)，將確定的最優(yōu)時間步長應(yīng)用到該橋中，并利用逐步積分法進(jìn)行風(fēng)荷載作用下橋梁時域內(nèi)的抖振響應(yīng)計算分析，對采用不同時間步長的抖振響應(yīng)計算結(jié)果進(jìn)行了對比分析與討論。

1　模態(tài)柔度矩陣

橋梁結(jié)構(gòu)線性n維多自由度系統(tǒng)受迫振動的動力學(xué)方程表達(dá)式為：

其中，K、C、M分別為橋梁的n×n階等效剛度、阻尼和質(zhì)量矩陣；δ（t）、.δ（t）、¨δ（t）分別為橋梁響應(yīng)的n維位移、速度和加速度列向量；P（t）為橋梁結(jié)構(gòu)n維激振力矩陣。

對（1）式進(jìn)行拉普拉斯變換，假設(shè)初始的位移、速度及加速度均為0，可得：

相應(yīng)地，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

當(dāng)s＝j(luò)ω時，（3）式可轉(zhuǎn)化［2］為：

進(jìn)一步，令ω＝0，則（4）式變?yōu)椋?/p>

根據(jù)模態(tài)分析理論，（3）式可表示為：

其中，Φi為第i階模態(tài)向量；λi為第i階模態(tài)特征值，λi＝ω2

i；ω為圓頻率；N為結(jié)構(gòu)總模態(tài)數(shù)；Mi為第i階模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量比例系數(shù)；*為變量的復(fù)共軛對。

從理論上講，對于有限個模態(tài)數(shù)，傳遞函數(shù)滿足收斂條件。因此，由（5）式、（6）式可得結(jié)構(gòu)的柔度矩陣為：

由于橋梁結(jié)構(gòu)動力特性分析中參與的模態(tài)一般為實數(shù)值，結(jié)構(gòu)柔度矩陣可表示為：

其中，MAi為比例系數(shù)，可根據(jù)結(jié)構(gòu)有限元模型計算獲取。一般來說，當(dāng)前N階結(jié)構(gòu)模態(tài)對結(jié)構(gòu)柔度的貢獻(xiàn)度大于一定比例（如95%）時，即可較好地逼近結(jié)構(gòu)的真正柔度。

從而可得單位荷載向量作用下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的表達(dá)式為：

其中，F(xiàn)為施加于柔度矩陣f的單位荷載向量。

2　模態(tài)貢獻(xiàn)度系數(shù)及最優(yōu)時間步長的確定

橋梁結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)度系數(shù)為單個模態(tài)引起的結(jié)構(gòu)位移所占結(jié)構(gòu)總位移的比重，反映了結(jié)構(gòu)各模態(tài)行為對總體動力行為的貢獻(xiàn)。即單個模態(tài)貢獻(xiàn)行為越大，其對結(jié)構(gòu)整體振動的貢獻(xiàn)度越大，反之越小。從而，結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)的模態(tài)貢獻(xiàn)度系數(shù)［3］可定義為：

根據(jù)結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析的逐步積分法，可確定進(jìn)行結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析所需的最優(yōu)化時間步長Δt為：

因此，將（10）式代入（11）式、（12）式可以得到當(dāng)Δt取10倍最高界限頻率的倒數(shù)時所對應(yīng)的最優(yōu)化時間步長，從而可保證得到比較合理的結(jié)構(gòu)響應(yīng)計算精度和效率。

3　普立特懸索橋模態(tài)分析

利用有限元分析軟件ANSYS建立了云南普立特懸索橋的三維結(jié)構(gòu)有限元模型，主要由主纜、吊索、主塔、加勁主梁及橋墩等組成，其空間有限元模型如圖1所示。整個模型共有908個節(jié)點、869個單元，其中主纜單元164個、吊索單元102個、主塔和橋墩單元336個、主梁單元152個，其他均為質(zhì)量元。

圖1　全橋有限元模型

主梁采用空間魚刺模型，剛性魚骨刺橫梁和主塔通過主纜連接橫梁。主纜和吊索采用link8單元模擬，主塔和橋墩采用beam4單元模擬，加勁主梁采用beam4單元模擬，主梁與主塔的連接采用彈簧-阻尼單元combin14和mass21，該全橋空間有限元模型如圖1所示。全橋所采用的邊界條件為：兩橋塔底部完全固結(jié)、主纜在兩側(cè)錨定固結(jié)、塔頂固結(jié)。

對于大跨度懸索橋而言，自重剛度是由恒載作用所產(chǎn)生的主纜初始應(yīng)力所提供的。故在計算普立特懸索橋動力特性時，先計算恒載作用下的非線性靜力響應(yīng)［4］，驗證結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)時的幾何位置是否合理，并為模態(tài)分析計算提供最終的結(jié)構(gòu)剛度。然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行橋梁結(jié)構(gòu)模態(tài)分析，得到普立特懸索橋前10階自振頻率及振型見表1所列。

普立特懸索橋的基本周期為8 s左右，表現(xiàn)為主梁側(cè)向漂移和反對稱豎彎，頻率主要分布在0.12～1 Hz內(nèi)，其分布較為密集，同時橋塔振動為主的振型出現(xiàn)較晚，如橋塔反對稱側(cè)彎發(fā)生在0.84 Hz的第31階，故橋梁結(jié)構(gòu)動力特性主要表現(xiàn)在前幾階振型。

表1　懸索橋自振頻率及振型特性

4　普立特懸索橋全橋體系貢獻(xiàn)度系數(shù)分析

該橋柔度貢獻(xiàn)度大于95%所需的模態(tài)總數(shù)以及總貢獻(xiàn)度見表2所列。

表2　模態(tài)總數(shù)及其總貢獻(xiàn)度

從表2可看出，前60階模態(tài)可很好地反映該橋主梁豎向撓曲和扭轉(zhuǎn)以及塔墩橫向撓曲、縱向撓曲振動特性，而主梁橫向撓曲振動需要考慮到74階模態(tài)。該橋主梁豎、橫向撓曲和扭轉(zhuǎn)模態(tài)貢獻(xiàn)度系數(shù)分布如圖2所示。

從圖2可知，該橋主梁豎彎撓曲剛度集中分布于少數(shù)幾階的振動模態(tài)中，而主梁橫向撓曲、扭轉(zhuǎn)剛度則離散分布于多階振動模態(tài)中。

圖2　主梁體系模態(tài)貢獻(xiàn)度系數(shù)

5　橋梁結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析

采用Deodatis的諧波合成法模擬云南普立特大橋處的空間脈動風(fēng)場［5］，脈動風(fēng)速時程模擬及檢驗結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖3　主梁跨中點模擬順風(fēng)向、豎風(fēng)向風(fēng)速時程

圖4　主梁跨中點豎風(fēng)向脈動模擬結(jié)果檢驗

采用基于準(zhǔn)定常理論的抖振力計算公式［6］，將風(fēng)速時程轉(zhuǎn)化為作用于橋梁上的等效抖振力時程，該過程在Matlab軟件中實現(xiàn)了生成數(shù)據(jù)文本，并考慮了節(jié)點的等效迎風(fēng)面積。再利用ANSYS的APDL進(jìn)行二次開發(fā)即可實現(xiàn)循環(huán)加載［7］。計算所采用的主梁氣動分力系數(shù)由節(jié)段模型風(fēng)洞實驗得出，結(jié)果如圖5所示。

結(jié)構(gòu)的自激力分析采用ANSYS自帶MATRIX27單元輸入其氣動剛度矩陣和氣動阻尼矩陣的參數(shù)實現(xiàn)［6］，各參數(shù)表達(dá)式見文獻(xiàn)［8］。在計算中應(yīng)分別考慮-12°～12°共25種工況，本文僅對0°工況進(jìn)行分析。結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)根據(jù)近似Raileigh阻尼模型公式并結(jié)合模態(tài)分析計算可得：α＝0.000 93，β＝0.019 23。

圖5　普立特懸索橋氣動三分力系數(shù)

將得到的抖振力時程施加于該橋的有限元模型上，并考慮自激力的影響，編寫其相應(yīng)的循環(huán)加載批量數(shù)據(jù)和結(jié)果后處理程序，計算時間取1 000 s，得到該橋梁的抖振響應(yīng)如圖6所示。

圖6　不同時間步長下主梁跨中點抖振位移時程響應(yīng)

計算過程中考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性因素，對云南普立特大橋而言，幾何非線性的影響因素主要來源于纜索的垂度效應(yīng)、結(jié)構(gòu)初應(yīng)力和結(jié)構(gòu)大變形。本文采取的措施是在ANSYS中打開幾何大變形開關(guān)（nlgeon，on）、應(yīng)力剛化（stess stiffening）及更變坐標(biāo)（upcood，1，on）。動力響應(yīng)采用Newmark逐步積分方法對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行抖振時域分析，根據(jù)上述理論推導(dǎo)出該橋梁結(jié)構(gòu)最優(yōu)化時間步長為0.05 s，本文設(shè)置積分時間步長分別為0.25、0.05 s，此時的結(jié)構(gòu)抖振時域分析結(jié)果如圖6所示。

由圖6可以看出，主梁跨中節(jié)點的順風(fēng)向、垂直向以及扭轉(zhuǎn)向位移均沿平衡位置上下波動，順風(fēng)向位移響應(yīng)比垂直向位移響應(yīng)大4倍左右。在采取不同的時間步長進(jìn)行積分計算后可知，在垂直向位移響應(yīng)中兩者計算的結(jié)果相差不大，這是由于振動模態(tài)在該方向的貢獻(xiàn)度主要集中在前幾階。在順風(fēng)向位移響應(yīng)中0.05 s比0.25 s小5%左右，這與在該方向振動模態(tài)的貢獻(xiàn)度分布于較多的階數(shù)有關(guān)。

而在扭轉(zhuǎn)向位移響應(yīng)中，后者比前者大15%左右，這是由于扭轉(zhuǎn)方向上振動模態(tài)貢獻(xiàn)度系數(shù)較大的模態(tài)階數(shù)主要分布在較高階頻率中。雖然從響應(yīng)計算結(jié)果來看，兩者均能很好地描述結(jié)構(gòu)的整體變形，但要更加精確地分析局部構(gòu)件變形的性質(zhì)，高頻成分就不可忽略。

6　結(jié)　論

本文針對普立特懸索橋的結(jié)構(gòu)特點，研究了該橋模態(tài)貢獻(xiàn)度系數(shù)的問題，并利用逐步積分法的Newmark-β方法進(jìn)行了隨機(jī)脈動風(fēng)作用下結(jié)構(gòu)的抖振響應(yīng)計算時域分析，得到如下結(jié)論：

（1）結(jié)構(gòu)模態(tài)貢獻(xiàn)度系數(shù)可綜合反映結(jié)構(gòu)各模態(tài)剛度對總體貢獻(xiàn)度的大小。從貢獻(xiàn)度系數(shù)分布中可得各振動模態(tài)分布的疏密程度，主梁豎彎撓曲剛度集中分布于少數(shù)幾階的振動模態(tài)中，而主梁橫向撓曲、扭轉(zhuǎn)剛度則分布于多階振動模態(tài)中。

（2）利用逐步積分法確定橋梁結(jié)構(gòu)抖振響應(yīng)，采用最優(yōu)化方法確定了其最優(yōu)時間步長為0.05 s。同時考慮了2種不同時間步長下計算得到的抖振響應(yīng)的差異，證明了采取最優(yōu)時間步長對結(jié)構(gòu)的分析與計算是十分必要的，可為其他結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的準(zhǔn)確計算提供參考。

（3）普立特懸索橋抖振響應(yīng)計算結(jié)果表明，該橋主梁跨中節(jié)點的順風(fēng)向、垂直向以及扭轉(zhuǎn)向位移均沿平衡位置上下波動，其中，順風(fēng)向位移響應(yīng)比垂直向位移響應(yīng)大4倍左右，扭轉(zhuǎn)向的位移響應(yīng)很弱。

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（責(zé)任編輯閆杏麗）

Time domain analysis of buffeting response of long-span bridge based on modal contribution coefficients

ZOU Kong-qing，HUANG Wen-feng，WANG Mei-qin，ZHOU Huan-lin
（School of Civil and Hydraulic Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

Abstract：Based on the structural dynamics analysis method and modal analysis theory，the modal contribution coefficients and optimal time step for long-span bridge are derived.For Pulite Bridge，the modal contribution coefficients and optimal time step Δt of this bridge are first obtained based on its structural characteristics.Then the buffeting response of this bridge under wind loading in time domain is further calculated by using them.The results show that when optimal time step Δt equals to 0.05，the buffeting response of this bridge varies around equilibrium position for each direction，and the buffeting response in along wind direction is about four times larger than that in vertical direction.Through the comparison with other time step，it can be known that the calculation with optimal time step Δt can give good results in accuracy and efficiency.This research can provide a basic reference for the delicate wind-resistant analysis of Pulite Bridge and other similar bridges.

Key words：modal contribution coefficient；optimal time step；long-span bridge；buffeting response

作者簡介：鄒孔慶（1990-），男，安徽亳州人，合肥工業(yè)大學(xué)碩士生；

基金項目：國家自然科學(xué)青年基金資助項目（51408174）；安徽省自然科學(xué)青年基金資助項目（1408085QE95）；中國博士后科學(xué)基金第54批面上資助項目（2013M540511）和中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目（2013HGBH0037）

收稿日期：2014-12-01；修回日期：2015-02-02

doi：10.3969/j.issn.1003-5060.2016.01.023

中圖分類號：U448.25

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-5060（2016）01-0122-06