許宏飛，李群宏，寧 敏，商夢(mèng)媛

（廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530004）

一類分段非線性映射的混沌邊界分析

許宏飛，李群宏*，寧 敏，商夢(mèng)媛

（廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530004）

文章研究了一類具有非線性分支的分段映射的動(dòng)力學(xué)行為.該模型可能應(yīng)用到物理科學(xué)、工程和醫(yī)學(xué)方面，也有助于一些經(jīng)濟(jì)模型的研究.以μ為分岔參數(shù)得到系統(tǒng)的分岔圖，發(fā)現(xiàn)在系統(tǒng)的不變吸引區(qū)間內(nèi)，周期軌道的每個(gè)周期點(diǎn)都有一定的存在范圍，這造成分岔結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)迭代禁區(qū)現(xiàn)象.通過理論推導(dǎo)確定了周期軌道周期點(diǎn)的存在范圍和禁區(qū)邊界，進(jìn)一步通過禁區(qū)邊界得到了混沌區(qū)域與周期n軌道區(qū)域的邊界的表達(dá)式，應(yīng)用Lyapunov指數(shù)對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證.

分岔；禁區(qū)邊界；混沌邊界；分段非線性不連續(xù)映射；Lyapunov指數(shù)

近些年，分段不連續(xù)映射動(dòng)力系統(tǒng)在物理科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)和醫(yī)學(xué)等方面已經(jīng)有了大量的研究[1-8].但以往的研究大多只考慮系統(tǒng)的邊界碰撞分岔，對(duì)系統(tǒng)的加周期現(xiàn)象和周期疊加現(xiàn)象進(jìn)行理論分析和研究，對(duì)系統(tǒng)出現(xiàn)的混沌邊界的研究不多，尤其是對(duì)混沌區(qū)域與周期性區(qū)域邊界的研究較少.文獻(xiàn)[6]研究了一類具有可變禁區(qū)系統(tǒng)的不同類型的加周期分岔現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的周期性區(qū)域與混沌區(qū)域的邊界線剛好處于左右邊界碰撞分岔同時(shí)發(fā)生的區(qū)域.文獻(xiàn)[9]建立了RC開關(guān)電路的一維分段映射模型，研究了系統(tǒng)參數(shù)變化誘導(dǎo)出的混沌吸引子的崩潰.現(xiàn)在已經(jīng)證明，魯棒混沌區(qū)接近由包含無(wú)數(shù)條分岔曲線的加周期結(jié)構(gòu)組成的周期性區(qū)域，這些分岔曲線形成加波段現(xiàn)象，這些現(xiàn)象標(biāo)志著多波段混沌吸引子的發(fā)生[10].文獻(xiàn)[11]研究了TCP-RED離散反饋系統(tǒng)的周期穩(wěn)態(tài)經(jīng)過邊界碰撞分岔轉(zhuǎn)遷到混沌態(tài)的整個(gè)過程.文獻(xiàn)[12]研究了分段不連續(xù)映射模型，利用分岔解釋分段不連續(xù)映射誘導(dǎo)出的多波段混沌吸引子的結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[13]分析了分段不連續(xù)映射系統(tǒng)的整個(gè)混沌域的分岔結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的魯棒混沌吸引子嵌在兩個(gè)不同周期的周期性區(qū)域之間，給出了系統(tǒng)混沌吸引子的邊界表達(dá)形式.文獻(xiàn)[14]基于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的問題建立了一類分段不連續(xù)非線性映射模型，并分析了該系統(tǒng)的邊界碰撞分岔，給出了混沌區(qū)間的范圍.文獻(xiàn)[15]對(duì)如下不連續(xù)映射模型

進(jìn)行了討論.研究結(jié)果表明，系統(tǒng)存在加周期現(xiàn)象和混沌現(xiàn)象.文獻(xiàn)[16]將模型（1）的線性分支變?yōu)閒（x）=ax+μ，主要討論了常數(shù)項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)邊界碰撞分岔的影響，并對(duì)系統(tǒng)做了雙參數(shù)和三參數(shù)的分岔分析，但對(duì)混沌邊界沒有作相關(guān)研究.

本文主要研究文獻(xiàn)[16]中分段非線性映射系統(tǒng)分岔迭代結(jié)構(gòu)的禁區(qū)和系統(tǒng)出現(xiàn)的混沌的邊界.本文第1節(jié)通過理論分析系統(tǒng)的迭代表達(dá)式，得到系統(tǒng)的周期軌道中任意周期點(diǎn)的取值范圍，從而得到系統(tǒng)迭代點(diǎn)的禁區(qū)邊界曲線.第2節(jié)借助不連續(xù)映射的Lyapunov指數(shù)和分岔圖確定系統(tǒng)混沌區(qū)域與周期n軌道區(qū)域的邊界.在最后一節(jié)做出簡(jiǎn)要的結(jié)論.

1 周期點(diǎn)的禁區(qū)

本文主要研究的模型為分段非線性映射，即

其中a＞1，0＜b＜1，0＜c＜1，μ＞-1.這里的x′代表映射的值，不代表x的導(dǎo)數(shù).當(dāng)a+μ=c時(shí)，系統(tǒng)（2）為連續(xù)非線性映射，當(dāng)a+μ≠c時(shí)，系統(tǒng)（2）為不連續(xù)非線性映射.記所研究的參數(shù)空間為

不連續(xù)點(diǎn)x=1將狀態(tài)空間分割為兩個(gè)區(qū)域

1.1 不動(dòng)點(diǎn)分析

性質(zhì) 當(dāng)(a,b,μ,c)∈P時(shí)，系統(tǒng)（2）的迭代點(diǎn)在(-∞,]內(nèi)隨著迭代次數(shù)單調(diào)遞減，在(,1]內(nèi)隨著迭代次數(shù)單調(diào)遞增.

證明 設(shè)x0為迭代的初始點(diǎn)，在S1區(qū)域內(nèi)迭代k次，則xk=f(xk-1),(k≥1)，經(jīng)遞推可得

當(dāng)(a,b,μ,c)∈P時(shí)，有a＞1，由于為S1區(qū)域內(nèi)容許不動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)x0≤時(shí)，xk≤xk-1；當(dāng)1≥x0>時(shí)，xk>xk-1；即系統(tǒng)（2）的迭代點(diǎn)在(-∞,]內(nèi)單調(diào)遞減，在(,1]內(nèi)單調(diào)遞增.因此，S1區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)經(jīng)過有限次迭代一定會(huì)到達(dá)S2區(qū)域內(nèi).

1.2 禁區(qū)分析

周期點(diǎn)的禁區(qū)表示周期軌道的周期點(diǎn)不存在的區(qū)間.若用Rk表示非線性函數(shù)g（x）迭代k次，用L表示線性函數(shù)（fx）迭代一次，形成的周期k+1解的符號(hào)序列記為RkL.

選取參數(shù)a=1.6,b=0.1,c=0.8,-0.4≤μ≤1得到全局分岔圖.圖1為添加了迭代禁區(qū)邊界線的全局分岔圖.觀察圖1容易得到，在μ>-0.2區(qū)域存在周期3軌道區(qū)域，周期4軌道區(qū)域，且在周期3軌道區(qū)域與周期4軌道區(qū)域之間夾有周期7軌道區(qū)域，也存在更復(fù)雜的周期n軌道區(qū)域.還觀察到在直線x=f(g(1))和直線x=g(f(1))之間沒有迭代點(diǎn)，直線x=g(f(g(1)))和直線x=g2(f(1))之間也為空白區(qū)域；同時(shí)還發(fā)現(xiàn)這些禁區(qū)邊界線將分岔結(jié)構(gòu)分割為若干“長(zhǎng)帶”.若每一組禁區(qū)邊界線都相交，即分岔結(jié)構(gòu)的“長(zhǎng)帶”之間沒有空白區(qū)域，迭代點(diǎn)鋪滿整個(gè)不變吸引區(qū)間，也就是說(shuō)每一個(gè)μ所對(duì)應(yīng)的這組參數(shù)，系統(tǒng)（2）有無(wú)數(shù)個(gè)迭代點(diǎn)，這是不可能形成周期軌道的，此時(shí)系統(tǒng)（2）應(yīng)該出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.由以上分析可得，系統(tǒng)（2）禁區(qū)邊界線的交點(diǎn)應(yīng)該落在周期n軌道區(qū)域與混沌區(qū)域的邊界線上.下一節(jié)，通過Lyapunov指數(shù)譜來(lái)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論.

圖1 全局分岔圖Fig.1 Global bifurcation diagram

2 混沌邊界

Lyapunov指數(shù)是判別一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)做周期運(yùn)動(dòng)還是混沌運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要物理量.根據(jù)系統(tǒng)（2），其Ly?apunov指數(shù)λ為

由（9）式可以得到系統(tǒng)（2）的Lyapunov指數(shù)圖.為了便于比較，我們將兩幅圖繪制在同一坐標(biāo)下，見圖2（a）.

圖2（a）是禁區(qū)邊界曲線與Lyapunov指數(shù)圖合并圖，圖中最下方為L(zhǎng)yapunov指數(shù)曲線，圖2（b）為圖2（a）Lyapunov指數(shù)圖的放大圖.由圖2（a）知，在直線μ=μ0的左側(cè)，Lyapunov指數(shù)大于零，在右側(cè)，Lyapunov指數(shù)小于零，因此豎直線μ=μ0即為混沌區(qū)域與周期n軌道區(qū)域的分界線.圖2（a）的虛線由上到下分別是：

實(shí)線由上到下分別是：

邊界線x=f(g(1))與x=g(f(1))相交，x=g(f(g(1)))與x=g2(f(1))相交，等等.經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)每一組禁區(qū)邊界線gi(f(1))和gi-1(f(g(1))),i=1,2,…,k都相交且交點(diǎn)都落在直線μ=μ0上；因此，禁區(qū)邊界線的交點(diǎn)可以確定直線μ=μ0.由式（8）可得：

圖2 (a)禁區(qū)邊界曲線與Lyapunov指數(shù)圖合并圖,(b)Lyapunov指數(shù)圖Fig.2(a)Combination of forbidden boundary curve and Lyapunov exponent diagram;(b)Lyapunov exponent diagram

（10）式即為混沌區(qū)域與周期n軌道區(qū)域的分界線解析式，注意這里計(jì)算得到的是兩個(gè)μ值，具體的選擇需要參照做分岔圖時(shí)μ所取的范圍.因?yàn)檫x取的參數(shù)為a=1.6,b=0.1,c=0.8,-0.4≤μ≤1，所以圖1中混沌區(qū)域與周期n軌道區(qū)域的邊界線為μ=-0.2092.

3 結(jié)論

本文針對(duì)具有非線性右側(cè)分支的分段一維映射模型（2）展開研究.在系統(tǒng)（2）的不變吸引區(qū)間內(nèi)，討論了周期軌道各周期點(diǎn)的存在范圍.得到了分岔圖中分岔結(jié)構(gòu)的迭代禁區(qū)的邊界線.對(duì)禁區(qū)邊界線進(jìn)行理論分析發(fā)現(xiàn)，分段映射系統(tǒng)的禁區(qū)邊界線的交點(diǎn)落在混沌區(qū)域與周期n軌道區(qū)域的分界線上.進(jìn)而給出了混沌區(qū)域邊界線的解析表達(dá)式.采用Lyapunov指數(shù)譜驗(yàn)證了該結(jié)論的可靠性.

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責(zé)任編輯：吳興華

Analysis of the Chaotic Boundary in a Class of Piecewise Nonlinear Mapping

XU Hongfei，LI Qunhong*，NING Min，SHANG Mengyuan
（School of Mathematics and Information Sciences，Guangxi University，Nanning530004，China）

In this paper the dynamical behaviors of a class of discontinuous one-dimensional mappings with a nonlinear branch are studied.This kind of models can be used in physical science,engineering,and medical science,and is also help?ful to the study of economics models.Takingμas a bifurcation parameter to draw the bifurcation diagram of the system,we find that in the invariant attracting region of the system there is an existence range for each point of the periodic orbit,and it leads to iteration forbidden region appearing in the bifurcation structure.By theoretical derivation,the article determines the existence ranges of the periodic orbits and the boundary of the forbidden region,obtains the boundary expression of the chaot?ic region and the period-norbits region by the boundary of the forbidden region,and finally verifies the analytic results by the Lyapunov exponents.

bifurcation；forbidden boundary；chaotic boundary；piecewise nonlinear mapping；Lyapunov exponent

O 317；O 193

：A

：1674-4942（2016）04-0363-06

10.12051/j.issn.1674-4942.2016.04.002

2016-09-17

廣西自然科學(xué)基金（2013GXNSFAA019017，2014GXNSFBA118024）

*通訊作者