張　偉，高　珊

(1.深圳市大疆創(chuàng)新科技有限公司，廣東　深圳　518057；2.廣州海格通信集團(tuán)股份有限公司，廣州　510663)

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一種固定基線單頻整周模糊度求解方法

張偉1，高珊2

(1.深圳市大疆創(chuàng)新科技有限公司，廣東深圳518057；2.廣州海格通信集團(tuán)股份有限公司，廣州510663)

摘要：針對(duì)最小二乘方法求解單頻多歷元數(shù)據(jù)模糊度浮點(diǎn)解時(shí)需進(jìn)行高階矩陣運(yùn)算，導(dǎo)致運(yùn)算量過(guò)大的問(wèn)題，提出了一種結(jié)合序貫平差和最小二乘模糊度去相關(guān)調(diào)整方法求解固定基線單頻整周模糊度的算法。文中分別闡述序貫平差算法和最小二乘模糊度去相關(guān)調(diào)整方法的原理，以及序貫平差求解模糊度浮點(diǎn)解和協(xié)方差陣、最小二乘模糊度去相關(guān)調(diào)整方法搜索整數(shù)解的過(guò)程，最后通過(guò)殘差比值和先驗(yàn)信息固定正確的模糊度。結(jié)果表明本方法計(jì)算量小，可以在實(shí)時(shí)嵌入式平臺(tái)中運(yùn)行，用低成本實(shí)現(xiàn)GPS高精度應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)晤l整周模糊度；最小二乘模糊度去相關(guān)調(diào)整方法；序貫平差；固定基線

0引言

全球定位系統(tǒng)(global positioning system，GPS)載波差分定位已經(jīng)在全球得到了廣泛應(yīng)用，包括測(cè)量測(cè)繪、地表檢測(cè)、精準(zhǔn)農(nóng)業(yè)、無(wú)人機(jī)、飛機(jī)精密進(jìn)近等多個(gè)行業(yè)和領(lǐng)域。目前載波差分定位主要采用雙頻接收機(jī)實(shí)現(xiàn)，較少使用單頻。

載波差分定位算法核心是解算整周模糊度，研究人員提出了許多方法，包括模糊度映射函數(shù)(ambiguity function method，AFM)技術(shù)[1]、最小二乘搜索(least squares search，LSS)技術(shù)[2-3]、快速模糊度解算方法(fast ambiguity resolution approach，F(xiàn)ARA)[4]、快速模糊度搜索濾波器(fast ambiguity search filter，F(xiàn)ASF)方法[5]、最小二乘模糊度去相關(guān)調(diào)整方法(least ambiguity decorrelation adjust，LAMBDA)[6]等，這些方法大多針對(duì)雙頻觀測(cè)量提出。雙頻組合觀測(cè)量波長(zhǎng)比單頻長(zhǎng)，模糊度搜索范圍小。但雙頻接收機(jī)價(jià)格比單頻接收機(jī)高，如何利用低成本單頻接收機(jī)實(shí)現(xiàn)載波差分定位是目前的一個(gè)研究熱點(diǎn)。

單頻載波差分定位的關(guān)鍵在于整周模糊度的解算，同樣可以使用LAMBDA方法，一般需要多個(gè)歷元數(shù)據(jù)才能求解。在處理多歷元數(shù)據(jù)時(shí)，傳統(tǒng)方法是用采用最小二乘計(jì)算浮點(diǎn)解，求解過(guò)程中存在高階矩陣相乘和求逆，只能通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行事后處理，無(wú)法在嵌入式平臺(tái)中實(shí)時(shí)計(jì)算，限制了單頻載波差分的應(yīng)用。本文采用序貫平差方法計(jì)算浮點(diǎn)解，對(duì)各歷元數(shù)據(jù)進(jìn)行間接平差處理，解決了高階矩陣運(yùn)算的問(wèn)題。LAMBDA搜索整周模糊度解后，同時(shí)采用比值檢驗(yàn)和先驗(yàn)信息對(duì)整周模糊度進(jìn)行確認(rèn)并固定模糊度。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證，證明算法可在嵌入式平臺(tái)中進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，對(duì)于固定基線模糊度求解具有良好效果。

1整數(shù)最小二乘問(wèn)題

載波差分定位的雙差觀測(cè)方程為[7]

y=Bb+Aa+e

(1)

式(1)中，y為m×1階雙差載波相位觀測(cè)量，b為p×1階基線矢量，a為n×1階雙差模糊度且為整數(shù)(a∈Zn)，B為基線矢量的m×p階設(shè)計(jì)矩陣，A為模糊度的m×n階設(shè)計(jì)矩陣，e為觀測(cè)噪聲。固定基線時(shí)基線矢量保持不變，此時(shí)p=3。方程中的基線矢量和雙差模糊度為待定參數(shù)。

式(1)的解算步驟分為3步[8-10]：

2)搜索模糊度整數(shù)解，按照一定的判決準(zhǔn)則獲取最優(yōu)解；

3)模糊度整數(shù)解固定后求解基線矢量。

模糊度整數(shù)解的估計(jì)準(zhǔn)則為[11]：

(2)

式(2)為整數(shù)的最小二乘非標(biāo)準(zhǔn)誤差模型，整數(shù)模糊度解法稱之為整數(shù)最小二乘方法，整數(shù)搜索算法是其中的關(guān)鍵。

2模糊度浮點(diǎn)解計(jì)算

假設(shè)每個(gè)歷元的觀測(cè)衛(wèi)星保持不變，共計(jì)n+1顆衛(wèi)星，構(gòu)造n個(gè)雙差模糊度。對(duì)于單歷元而言，共計(jì)n個(gè)方程，待定參數(shù)n+3， 顯然單歷元無(wú)法解出待定參數(shù)，需要采用多歷元解算。多歷元數(shù)據(jù)的浮點(diǎn)解可以用最小二乘或序貫平差求解，兩者的計(jì)算量存在差異。以下將闡述兩種算法的原理和計(jì)算過(guò)程，并分析兩者的計(jì)算量。

2.1浮點(diǎn)解計(jì)算過(guò)程

對(duì)于固定基線的多歷元載波雙差方程，假定衛(wèi)星保持不變，待定參數(shù)為n+3。 歷元數(shù)為g，A矩陣和B矩陣的行數(shù)m=g×n， m≥n時(shí)式(1)為滿秩最小二乘問(wèn)題，可用標(biāo)準(zhǔn)方程求解。標(biāo)準(zhǔn)方程為

(3)

本文采用序貫平差的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，將觀測(cè)量歷元分成多組，按順序分別做相關(guān)間接平差，達(dá)到整體平差的效果，計(jì)算量分散在各個(gè)歷元。具體方法為

1)選取兩個(gè)歷元的觀測(cè)量計(jì)算初始解，此時(shí)有2n個(gè)方程，只需滿足2n≥n+3， 即n≥3， 按式(3)就可以計(jì)算出浮點(diǎn)解和協(xié)方差，實(shí)際應(yīng)用中一般要求n≥5；

2)計(jì)算出初始解后，每獲取一組新的歷元觀測(cè)數(shù)據(jù)，采用序貫平差的方式更新浮點(diǎn)解和協(xié)方差陣。

浮點(diǎn)解和協(xié)方差陣的更新依據(jù)序貫平差的原理進(jìn)行，具體為[12]

(4)

(5)

按間接平差濾波原理得到的遞推解為

(6)

式(6)中，

(7)

(8)

(9)

引入符號(hào)

(10)

則遞推結(jié)果整體表示為

(11)

誤差估計(jì)為

(12)

式(11)中，各矩陣行數(shù)和列數(shù)的最大值均為n+3。在計(jì)算初始解之后，每個(gè)歷元按照式(11)更新浮點(diǎn)解和協(xié)方差陣，計(jì)算量保持不變，嵌入式系統(tǒng)可負(fù)荷。浮點(diǎn)解和協(xié)方差陣計(jì)算之后，每個(gè)歷元再用LAMBDA方法求解模糊度整數(shù)解。

2.2計(jì)算量分析

為簡(jiǎn)化分析，最小二乘和序貫平差中的權(quán)陣取單位陣，乘法運(yùn)算時(shí)其計(jì)算量不予考慮。

(13)

根據(jù)矩陣相乘的運(yùn)算量計(jì)算方法，式(3)的浮點(diǎn)加法和乘法運(yùn)算次數(shù)均為g×(n3+7n2+12n)+(n+3)2。 式(3)還包括一次對(duì)n+3階矩陣求逆的運(yùn)算。

用相同方法分析序貫平差的運(yùn)算量，g=2時(shí)序貫平差和最小二乘計(jì)算量相等。g>2時(shí)浮點(diǎn)加法運(yùn)算次數(shù)為6n3+36n2+66n+34， 浮點(diǎn)乘法運(yùn)算次數(shù)為6n3+36n2+62n+27。 序貫平差計(jì)算過(guò)程中還包括一次n階矩陣求逆的運(yùn)算。

由以上分析可知，當(dāng)變量保持不變時(shí)，傳統(tǒng)最小二乘的運(yùn)算量和歷元數(shù)成正比，而序貫平差的運(yùn)算量保持不變，當(dāng)歷元數(shù)大于5時(shí)，序貫平差的運(yùn)算量開(kāi)始小于最小二乘。

3LAMBDA方法求解整數(shù)解

模糊度的整數(shù)解按照估計(jì)準(zhǔn)則式(2)來(lái)進(jìn)行搜索，即求χ2(α)的最小值。需要在離散空間中模糊度計(jì)算χ2(α)求取最小值，沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)解法。首先需要將整數(shù)解空間Zn縮小到一個(gè)子空間，且該子空間包含整數(shù)解。該子空間可以表示為[13]

(14)

3.1基本原理

LAMBDA算法基本原理為[13-14]：

1)a∈Zn， 尋找n×n階矩陣Z， 滿足：a為整數(shù)時(shí)，z=ZTa也為整數(shù)；z為整數(shù)時(shí)，a=(ZT)-1z也為整數(shù)。此條件等價(jià)于[8]：Z中所有元素為整數(shù)，且det(Z)=±1；

2)對(duì)原始矩陣做如下變換：

(15)

(16)

搜索空間變換為

(17)

3.2搜索空間的確定

4整周模糊度確認(rèn)

整周模糊度求解的最后一個(gè)步驟是模糊度確認(rèn)，主要功能是從可能的整周模糊度整數(shù)解中選取最優(yōu)解，并驗(yàn)證其正確性。如果固定的模糊度錯(cuò)誤，基線解將一直錯(cuò)誤。

最常用的一種檢驗(yàn)方法是比例檢驗(yàn)法[14]，通過(guò)次小殘差平方和與最小殘差平方和的比值來(lái)檢驗(yàn)，即

(18)

式(15)中，Ω2為次小殘差平方和，Ω1為最小殘差平方和，τ為閾值。ratio大于τ認(rèn)為最優(yōu)解正確。

τ的取值很關(guān)鍵，文獻(xiàn)[15]建議取2，但在實(shí)際應(yīng)用中太小，應(yīng)按照實(shí)際情況進(jìn)行取值。

單頻載波差分定位用幾個(gè)歷元來(lái)確定整周模糊度較難實(shí)現(xiàn)，正確的模糊度應(yīng)具有重復(fù)性，因此可以通過(guò)多歷元驗(yàn)證模糊度的正確性，即序列有效性檢驗(yàn)。由于采用序貫平差算法，隨著歷元數(shù)的增多，理論上系統(tǒng)噪聲會(huì)降低，因此正確模糊度的ratio值從整體上而言隨著歷元的增多而增大。如果連續(xù)一段時(shí)間內(nèi)，搜索到的最優(yōu)模糊度相同，ratio值均大于閾值，且整體上隨著歷元數(shù)的增多而增大，即可以認(rèn)為該組模糊度是正確的模糊度解。

基線矢量的先驗(yàn)信息也可用于模糊度檢驗(yàn)。在短距離定向時(shí)，可以知道基線長(zhǎng)度的大概范圍。正確的模糊度解對(duì)應(yīng)的基線長(zhǎng)度需要滿足該范圍，不滿足則認(rèn)為不是正確解[16]。

如果能獲取偽距觀測(cè)量，可以進(jìn)行偽距差分定位。偽距差分定位結(jié)果的誤差一般在4 m內(nèi)，可以用偽距差分計(jì)算的基線矢量同載波差分計(jì)算的基線矢量比較，兩者的誤差超過(guò)一定范圍則認(rèn)為該整數(shù)解錯(cuò)誤。

5仿真實(shí)驗(yàn)

通過(guò)三組實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證算法正確性和算法性能，包括4 m短基線定向?qū)嶒?yàn)、500 m基線靜態(tài)實(shí)時(shí)差分定位(real-time kinematic，RTK)解算實(shí)驗(yàn)以及3 000 m基線靜態(tài)RTK實(shí)驗(yàn)。

定向?qū)嶒?yàn)設(shè)備為定位定向接收機(jī)，可采集GPS L1頻點(diǎn)數(shù)據(jù)，運(yùn)行平臺(tái)為數(shù)字信號(hào)處理器(digital signal processor，DSP)。接收機(jī)的兩個(gè)天線固定放置，距離約4 m，接收機(jī)輸出L1頻點(diǎn)觀測(cè)數(shù)據(jù)和基線解算結(jié)果，數(shù)據(jù)頻度為1 Hz。接收機(jī)5 min內(nèi)定向成功則復(fù)位，未成功等待定向成功后復(fù)位。復(fù)位次數(shù)共計(jì)1 436次，輸出基線矢量結(jié)果的歷元數(shù)共計(jì)267 907組。

采用天寶公司GPS數(shù)據(jù)后處理軟件解算觀測(cè)數(shù)據(jù)，得到基線長(zhǎng)度為4.056 m，基線矢量為(-3.105 m，-2.077 m，1.579 m)，方位角為64.974°。和后處理軟件計(jì)算結(jié)果比較，定位定向接收機(jī)計(jì)算的直角坐標(biāo)系下軸向誤差均在0.02 m內(nèi)，基線長(zhǎng)度誤差在0.01 m內(nèi)，方位角誤差在0.1°以內(nèi)。誤差曲線如圖1所示。

圖1　短基線定向基線矢量誤差

1 436組觀測(cè)數(shù)據(jù)均計(jì)算出正確的整周模糊度，從可以進(jìn)入模糊度解算的歷元開(kāi)始算起，最長(zhǎng)的模糊度固定時(shí)間為470 s。整周模糊度固定時(shí)間的統(tǒng)計(jì)如表1所示。

表1　4 m基線模糊度固定時(shí)間統(tǒng)計(jì)

RTK實(shí)驗(yàn)是在某樓頂架設(shè)基準(zhǔn)站，基準(zhǔn)站信息和觀測(cè)數(shù)據(jù)通過(guò)電臺(tái)發(fā)射?；鶞?zhǔn)站接收的頻點(diǎn)包括GPS L1/L2。流動(dòng)站的電臺(tái)接收到基準(zhǔn)站數(shù)據(jù)后發(fā)送給GPS L1/L2雙頻接收機(jī)。接收機(jī)觀測(cè)數(shù)據(jù)和基準(zhǔn)站數(shù)據(jù)采集后進(jìn)行后處理仿真。首先采集1 h的GPS雙頻數(shù)據(jù)供天寶后處理軟件解算基線矢量，1 h之后流動(dòng)站接收機(jī)每采集6 min數(shù)據(jù)后復(fù)位一次。由于時(shí)間所限，500 m基線實(shí)驗(yàn)共復(fù)位61次，3 000 m基線共復(fù)位58次。

500 m基線天寶后處理軟件解算得到基線長(zhǎng)度為498.086 m，基線矢量為(-61.409 m，-249.464 m，426.716 m)。和天寶后處理結(jié)果比較，本文算法的軸向誤差在0.03 m內(nèi)，基線長(zhǎng)度誤差在0.03 m內(nèi)。誤差曲線如圖2所示。

圖2　500 m基線誤差

500 m基線整周模糊度固定時(shí)間的統(tǒng)計(jì)如表2所示。

表2　500 m基線模糊度固定時(shí)間統(tǒng)計(jì)

3 000 m基線天寶后處理軟件解算得到基線長(zhǎng)度為2 945.623 m，基線矢量為(1 831.651 m，1 554.291 m，-1 704.679 m)。和天寶后處理結(jié)果比較，本文算法的軸向誤差在0.05 m內(nèi)，基線長(zhǎng)度誤差在0.05 m內(nèi)。誤差曲線如圖3所示。

圖3　3 000 m基線誤差

3 000 m基線整周模糊度固定時(shí)間的統(tǒng)計(jì)如表3所示。

表3　3 000 m基線模糊度固定時(shí)間統(tǒng)計(jì)

對(duì)三組試驗(yàn)的原始觀測(cè)值進(jìn)行后處理仿真，比較序貫平差和標(biāo)準(zhǔn)最小二乘解算浮點(diǎn)解的運(yùn)算時(shí)間，對(duì)比結(jié)果如表4。

表4　序貫平差和最小二乘解算浮點(diǎn)解時(shí)間比較

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，序貫平差計(jì)算浮點(diǎn)解的計(jì)算量較穩(wěn)定，歷元數(shù)5個(gè)以上時(shí)，最小二乘的計(jì)算量超過(guò)序貫平差，且計(jì)算量和歷元數(shù)呈正比。模糊度固定時(shí)間和基線長(zhǎng)度呈正比，主要原因是距離增加導(dǎo)致兩點(diǎn)之間信號(hào)傳播空間誤差的相關(guān)性降低，需要更長(zhǎng)的時(shí)間進(jìn)行固定?；€解算誤差和基線距離呈正比，原因可能是天寶后處理軟件采用雙頻去電離層組合求解基線，而單頻差分無(wú)法完全消除電離層誤差，導(dǎo)致誤差增大。

6結(jié)束語(yǔ)

單頻載波差分定位具有成本低，系統(tǒng)組建簡(jiǎn)便的特點(diǎn)，在某些領(lǐng)域具有較高的應(yīng)用價(jià)值。本文采用序貫平差方法計(jì)算整周模糊度浮點(diǎn)解，LAMBDA方法求解整周模糊度整數(shù)解，并利用ratio方法和基線矢量的先驗(yàn)信息對(duì)模糊度進(jìn)行固定，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法可行。該方法具有求解速度快、計(jì)算量小、適用于實(shí)時(shí)嵌入式系統(tǒng)等特點(diǎn)，可應(yīng)用于靜態(tài)定向和靜態(tài)RTK等領(lǐng)域。

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A Single Frequency Ambiguity Calculation Algorithm in Fixed Baseline

ZHANGWei1，GAOShan2

(1.DaJiang Innovation Technology Co.，Ltd.，Shenzhen 518057，China；2.Guangzhou Haige Communications Group Incorporated Company，Guangzhou 510663，China)

Abstract：Generally，the fixed baseline’s single frequency integer ambiguity resolution calculated by multiple epoch data，the first step is to calculate the ambiguity float solution-traditionally use least squares method.When dealing with multiple epoch data，this method requires high-order matrix operations，leading to excessive computation.Aiming this problem，the paper proposes a new algorithm of fixed baseline single frequency multi-epoch ambiguities resolution that be combined with sequential adjustment and the LAMBDA method.Each epoch data indirect adjust by sequential adjustment algorithm in sequence.Therewith，the float ambiguities and their variance covariance matrix computed.The LAMBDA method provides the integer least-squares estimate for the ambiguities.In the last，using ratio method and auxiliary information fix the precise integer ambiguities.The result indicate this method is a small amount of calculation and can run in real time embedded platform，and with low cost to achieve high precision GPS application.

Key words：single frequency integer ambiguity；LAMBDA；sequential adjustment；fixed baseline

中圖分類號(hào)：P228

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095-4999(2016)-01-0088-06

作者簡(jiǎn)介：第一張偉(1983—)，男，江西贛州人，工程師，主要從事衛(wèi)星導(dǎo)航高精度定位研究。

收稿日期：2015-06-01

引文格式：張偉，高珊.一種固定基線單頻整周模糊度求解方法[J].導(dǎo)航定位學(xué)報(bào)，2016，4(1)：88-93.(ZHANG Wei，GAO Shan.A Single Frequency Ambiguity Calculation Algorithm in Fixed Baseline[J].Journal of Navigation and Positioning，2016，4(1)：88-93.)DOI：10.16547/j.cnki.10-1096.20160117.