(1.蘭州理工大學(xué) 西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心，甘肅 蘭州 730050；

2.蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所，甘肅 蘭州 730050)

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非平穩(wěn)地震激勵下隔震曲線梁橋振動控制研究①

(1.蘭州理工大學(xué) 西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心，甘肅 蘭州 730050；

2.蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所，甘肅 蘭州 730050)

摘要：曲線梁橋由于其平面不規(guī)則性導(dǎo)致結(jié)構(gòu)在地震激勵下產(chǎn)生彎扭耦合效應(yīng)，使得隔震曲線梁橋的地震響應(yīng)更加復(fù)雜。目前常用的控制方法是將隔震技術(shù)與附加減震裝置相結(jié)合對曲線梁橋進行控制。本文將地震動考慮為一均勻調(diào)制非平穩(wěn)隨機過程，針對隔震曲線梁橋長周期、低頻率的特點，選取Clough-Pension平穩(wěn)地震動功率譜模型作為隨機地震動輸入模型，對無控(NON-C)、經(jīng)典線性最優(yōu)控制(COC)以及序列最優(yōu)控制算法(SOC)三種狀態(tài)下的曲線橋梁進行隨機響應(yīng)分析。通過建立曲線梁橋在隨機地震動作用下的運動方程，求出減震控制結(jié)構(gòu)的位移譜密度、加速度譜密度響應(yīng)及時變方差。分析結(jié)果表明：序列最優(yōu)控制算法(SOC)在使隔震層位移得到減小的同時，可以更有效地控制上部結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)，具有更好的控制效果。

關(guān)鍵詞：曲線梁橋； 最優(yōu)序列控制； 虛擬激勵法； 隨機響應(yīng)

0引言

目前對于曲線梁橋控制動力反應(yīng)研究較多采用確定性分析方法[1-4]。但是地震動是一個隨機過程，導(dǎo)致地震作用下減震結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)也必然為隨機過程，因此采用確定性的地震激勵不具有代表性，而采用隨機振動理論能更好地反映響應(yīng)的統(tǒng)計特性，求解得到的結(jié)果也更為合理[5]。

經(jīng)典最優(yōu)控制算法計算過程需要求解非線性RICCATI方程，而自由度數(shù)量太多的有限元模型會給求解帶來嚴(yán)重困難。作者針對經(jīng)典最優(yōu)控制算法的缺點，借鑒離散系統(tǒng)最優(yōu)控制的Bellman最優(yōu)法則，在每一個時間步長上建立目標(biāo)函數(shù)，推導(dǎo)出更為一般的序列最優(yōu)控制算法(SOC)，并應(yīng)用于隔震曲線梁橋的控制分析。

本文根據(jù)曲線梁橋受力特點，考慮隔震曲線梁橋上部結(jié)構(gòu)剛度中心與質(zhì)量中心不一致造成的平扭耦合的地震效應(yīng)，對隔震曲線梁橋建立雙質(zhì)點六自由度控制分析模型。選擇Clough-Pension 功率譜密度函數(shù)模型，并采用虛擬激勵法求解動力方程，通過MATLAB編程對無控(NON-C)、經(jīng)典線性最優(yōu)控制(COC)以及序列最優(yōu)控制算法(SOC)三種狀態(tài)下曲線橋梁的隨機地震響應(yīng)進行分析。

1隔震曲線梁橋模型的建立

1.1模型假設(shè)

首先將隔震曲線梁橋橋墩和上部結(jié)構(gòu)簡化為兩個模型系統(tǒng)，各具有兩個水平x、y自由度和一個圍繞質(zhì)量中心軸扭轉(zhuǎn)θ自由度，堆積質(zhì)量為m1、m2。橋墩與上部結(jié)構(gòu)為兩質(zhì)點非同軸質(zhì)量偏心結(jié)構(gòu)的分析模型，上下質(zhì)點分別表示曲線橋下部結(jié)構(gòu)和上部結(jié)構(gòu)(圖1)[6]。

圖1　曲線梁橋計算模型簡圖Fig.1　Computational model of the curved bridge

1.2運動方程的建立

取曲線橋上部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量中心處為坐標(biāo)原點，曲線梁橋動力方程可表示為：

(1)

(2)

其中：

(3)

式中：m1、m2分別為下部結(jié)構(gòu)和上部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量;J1、J2分別為下部結(jié)構(gòu)和上部結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動慣量[7]；ri為回轉(zhuǎn)半徑；Xmi、Ymi分別為下部結(jié)構(gòu)和上部結(jié)構(gòu)質(zhì)心相對于參考軸的坐標(biāo);Kxx、Kyy分別為結(jié)構(gòu)在x、y向的平動剛度，取隔震橋梁結(jié)構(gòu)為剪切型;Kxθ、Kyθ分別為結(jié)構(gòu)x、y向的平扭剛度，并考慮上部結(jié)構(gòu)與下部結(jié)構(gòu)質(zhì)心與剛心的偏心距及上部結(jié)構(gòu)與下部結(jié)構(gòu)質(zhì)心之間的偏心距;Kθθ為結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣。

(4)

式中：Kx1、Ky1和Kx2、Ky2分別表示下部結(jié)構(gòu)和上部結(jié)構(gòu)的平移剛度；Kxθ12、Kyθ12分別表示僅m2發(fā)生x向、y向單位位移時，在m1所需施加的繞z軸的力矩；Kθθ12表示m1不動，僅m2發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時，在m1所需施加的繞z軸的力矩;Kxθ11，Kxθ22，Kxθ21，Kyθ11，Kyθ22，Kyθ21，Kθθ11，Kθθ22，Kθθ21表示含義以此類推[8]。

阻尼矩陣[C]采用分區(qū)瑞利阻尼模型，阻尼矩陣可分解為

(5)

式中:[Cr]為體現(xiàn)非比例阻尼的余項阻尼矩陣;Cbr=(αb-αs)mb+(βb-βs)kb;[C0]代表經(jīng)典瑞利阻尼矩陣;αs、βs、αb、βb分別為下部結(jié)構(gòu)和隔震系統(tǒng)的瑞利阻尼比例系數(shù)。

(6)

式中：ξs，ξb分別為下部結(jié)構(gòu)和隔震系統(tǒng)的瑞利阻尼比例系數(shù)；ωi、ωj為結(jié)構(gòu)的第i,j階圓頻率[9]。

1.3序列最優(yōu)控制算法

目前時域內(nèi)結(jié)構(gòu)最優(yōu)控制算法大多是對問題做了簡化的，作者推出的序列最優(yōu)控制算法吸收了幾種常見算法的優(yōu)點，并對現(xiàn)有算法進行改進，將控制目標(biāo)函數(shù)化解到每個時間步長上，推導(dǎo)出更為一般的最優(yōu)控制算法，并用狀態(tài)轉(zhuǎn)移的數(shù)值方法加以實現(xiàn)[10-12]。

最優(yōu)控制力模型可根據(jù)作者提出的狀態(tài)反饋序列最優(yōu)控制算法，構(gòu)造雙向地震作用下的二次型控制目標(biāo)函數(shù)為

(7)

(8)

式中：下標(biāo)“∑(j-1)”代表直到第(j-1)個步長上(過去時刻)脈沖影響的總和，將式(8)代入式(7)后，構(gòu)造Lagrange函數(shù)，則原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束問題。

因為當(dāng)前時刻的脈沖只影響當(dāng)前時刻和未來時刻的響應(yīng)，對過去時刻的響應(yīng)沒有影響，因此把純粹包含過去時刻脈沖影響的控制目標(biāo)函數(shù)分離開來，引用最優(yōu)控制理論的泛函極值條件，可得到結(jié)構(gòu)最優(yōu)控制的一般表達式：

(9)

(10)

式中：tA為當(dāng)前時刻;式(9)、(10)的定義域為 [tA,tf]。

序列最優(yōu)控制算法同時包含了每個瞬刻的結(jié)構(gòu)響應(yīng)和外部地震激勵的影響，因此除了數(shù)值方法的固有計算誤差外，從概念上講本文算法是精確解。

2曲線梁橋隨機地震響應(yīng)求解

2.1隨機地震動模型

均勻調(diào)制模型為一個確定性強度包線函數(shù)與一個平穩(wěn)隨機過程的乘積，即f(t)=g(t)X(t)。式中g(shù)(t)為確定性強度包線函數(shù);X(t)為平穩(wěn)隨機過程。g(t) 采用Jennings提出的一個非平穩(wěn)強度包線函數(shù)的形式：

(11)

式中：t1、t2和c分別表示主震段的首、末時間和衰減函數(shù);T為主震的持續(xù)時間[13]。

平穩(wěn)隨機過程X(t)由功率譜唯一確定，本文的研究對象是隔震體系，選用Clough-Penzion建議的表達式，即地震動的單邊功率譜可表示為

(12)

(13)

(14)

式中:S0為譜強度因子；ξs、ωg分別為地基土的阻尼比和卓越頻率;ξc、ωc兩參數(shù)的配合可模擬地震動低頻能量的變化[14]。

該模型為雙過濾白噪聲，相當(dāng)于使白噪聲信號經(jīng)過兩個單自由度的線性濾波器，能解決Kanai-Yaijmi模型過分強調(diào)低頻的缺陷。

2.2虛擬激勵法求解

將式(1)轉(zhuǎn)化成狀態(tài)空間表達式：

(15)

(16)

(17)

3實例計算

3.1工程背景

某立交匝道上一聯(lián)圓曲線連續(xù)梁橋，跨徑為3×20 m，曲率半徑R為50 m，圓心角θ為69°，主梁采用單箱單室箱梁。為簡化分析，采用獨柱式圓形橋墩，直徑1.5 m，墩高為5 m，橋墩墩底固結(jié)，每個墩頂布置圓形鉛芯橡膠支座。結(jié)構(gòu)的阻尼比下部結(jié)構(gòu)ξs為0.05，隔震層的水平阻尼比ξb為0.15，上部結(jié)構(gòu)質(zhì)心處為整體坐標(biāo)系原點。

每個橋墩位置處切向和徑向各設(shè)置一組理想智能控制器來連接墩臺和主梁，最大阻尼力2 000 kN，如圖2所示。采用狀態(tài)反饋序列最優(yōu)控算法對結(jié)構(gòu)進行控制，設(shè)控制器能夠?qū)崟r提供所需的控制力，且不計時滯和自身動力效應(yīng)。

圖2　曲線梁橋平面Fig.2　Plan of the curved bridge

3.2隨機響應(yīng)分析

取非平穩(wěn)隨機過程強度包線函數(shù)參數(shù)t1=2.3，t2=16.2，c=0.98，T=20 s。以設(shè)防烈度Ⅷ度為例，按照雙過濾白噪聲模型， 推算“大震”的基巖單邊譜強度分別為S0=2×0.024 92 m2/s-3。場地選用Ⅱ類場地土設(shè)計，地震分組按第一分組考慮，低頻過濾器參數(shù)ωg=15.7，ξg=0.72，取ξc=ξg，ωc=0.15ωg，得到的輸入地震動加速度的功率譜密度如圖3所示[16-17]。

圖3　地震動加速度功率譜Fig.3　Seismic acceleration power spectrum

按照上述平穩(wěn)過濾白噪聲激勵下的隨機狀態(tài)反應(yīng)分析的過程描述，用MATLAB進行編程分析，分別求出隔震曲線梁橋在無控和有控狀態(tài)下的功率譜和均方值。

圖4和圖5分別為曲線梁橋上部結(jié)構(gòu)在無控(NON-C)、經(jīng)典線性最優(yōu)控制(COC)以及序列最優(yōu)控制算法(SOC)三種狀態(tài)下位移功率譜密度和加速度功率譜密度的對比圖。

由圖4、圖5可以看出，相同控制能量下，三種狀態(tài)下位移功率譜密度和加速度功率譜密度峰值均位于曲線梁橋一階自振頻率附近。與無控狀態(tài)相比，兩種控制算法的位移功率譜密度和加速度功率譜密度

圖4　上部結(jié)構(gòu)位移功率譜密度Fig.4　The displacement power spectral density of superstructure

圖5　上部結(jié)構(gòu)加速度功率譜密度Fig.5　The acceleration power spectral density of　　　 superstructure

峰值都大大降低。序列最優(yōu)控制算法(SOC)降低x向位移和加速度功率譜峰值的效果更為明顯。

圖6和圖7分別為曲線梁橋上部結(jié)構(gòu)在無控(NON-C)、經(jīng)典線性最優(yōu)控制(COC)以及序列最優(yōu)控制算法(SOC)三種狀態(tài)下位移和加速度時變方差響應(yīng)對比圖。

圖6　上部結(jié)構(gòu)位移時變方差Fig.6The displacement time varying variance of superstructure

圖7　上部結(jié)構(gòu)加速度時變方差Fig.7　The acceleration time varying variance of superstructure

由圖6、圖7可以看出，與無控狀態(tài)相比，兩種控制算法的位移和加速度時變方差響應(yīng)都有明顯的降低。無論位移還是加速度的時變方差響應(yīng)，序列最優(yōu)控制算法(SOC)的效果更為明顯，尤其在降低上部結(jié)構(gòu)加速度時變方差響應(yīng)上且有更明顯的優(yōu)勢。

4結(jié)論

本文對隔震曲線梁橋在無控(NON-C)、經(jīng)典線性最優(yōu)控制(COC)以及序列最優(yōu)控制算法(SOC)三種狀態(tài)下的隨機反應(yīng)進行了研究。研究結(jié)果表明：同無控結(jié)構(gòu)相比，采用控制算法譜密度的響應(yīng)及時變方差均明顯的降低，表明兩種算法都有很好的控制效果;在同等控制能量的條件下，序列最優(yōu)控制算法(SOC)降低結(jié)構(gòu)加速度功率譜響應(yīng)的效果更為明顯，可以同時使上部結(jié)構(gòu)的響應(yīng)得到更有效的控制。

序列最優(yōu)控制算法不需要求解Riccati方程，計算量小，沒有預(yù)先對目標(biāo)函數(shù)引用近似簡化，僅有將地震波轉(zhuǎn)化為一系列脈沖和采用狀態(tài)轉(zhuǎn)移的數(shù)值算法的本身誤差。因此序列最優(yōu)控制算法(SOC)從概念上更合理,可以取得更理想的減震效果。

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Vibration Control of Isolated Curved Girder Bridges under Nonstationary Seismic Excitation

LI Xi-mei1,2, DU Yong-feng1,2

(1.WesternEngineeringResearchCenterofDisasterMitigationinCivilEngineering,LanzhouUniv.ofTech.,Lanzhou730050,Gansu,China; 2.InstituteofEarthquakeProtectionandDisasterMitigation,LanzhouUniv.ofTech.,Lanzhou730050,Gansu,China)

Abstract：With the continuous development of structural seismic isolation technology, the use of seismic-isolation-device bridge designs is growing. The combination of isolation and additional damping devices is a commonly used method for controlling curved-beam bridges. Analyses of vibration control for research in the evaluation of seismic dynamic response have primarily focused on deterministic excitation, but deterministic earthquake excitation is not representative. In this study, we consider ground motion to be a uniformly modulated nonstationary random process and investigate long periods of low-frequency characteristics. Moreover, we select the Clough-Pension steady vibration power spectral model as a random vibration input for isolated curved bridges. To address the limitations of the classical optimal control algorithm, we derive vibration control equations using a sequential optimal control (SOC) algorithm. We then analyze the random responses of a curved bridge under three conditions: noncontrol, classical linear optimal control, and SOC algorithm. By establishing a curved beam bridge vibration equation of motion for random actions, we determine the displacement vibration control structure of the spectral density, acceleration spectral density response, and time variance. Analysis results show that the SOC algorithm can reduce the displacement of the isolation layer and more effectively control the seismic response of the upper structure, thus yielding a better control effect. The SOC algorithm has higher control performance and achieves better damping control.

Key words：curved bridges; sequential optimal control; pseudo excitation method; random response

DOI:10.3969/j.issn.1000-0844.2016.01.0103

中圖分類號:TU352.1； U441+.3

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號:1000-0844(2016)01-0103-06

作者簡介：李喜梅(1979-)，女，講師，主要從事橋梁減隔震及振控制研究。E-mail:mei611@163.com。

基金項目：甘肅省青年科技基金計劃(148RJYA008)；蘭州理工大學(xué)建工77基金(TMK-TJ-1001)

收稿日期：①2015-07-17

李喜梅1,2， 杜永峰1,2