吳林強(qiáng)， 王　舟， 劉章軍

(1.三峽大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院，湖北 宜昌 443002； 2.三峽大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

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全非平穩(wěn)地震作用的結(jié)構(gòu)隨機(jī)反應(yīng)與可靠度分析①

吳林強(qiáng)1， 王舟1， 劉章軍2

(1.三峽大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院，湖北 宜昌 443002； 2.三峽大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

摘要：在平穩(wěn)地震動(dòng)過程的Clough-Penzien功率譜基礎(chǔ)上，采用林家浩非均勻調(diào)制函數(shù)建立全非平穩(wěn)地震動(dòng)過程的演變功率譜。根據(jù)我國現(xiàn)行的《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》進(jìn)行全非平穩(wěn)地震動(dòng)演變功率譜的參數(shù)識(shí)別研究。應(yīng)用非平穩(wěn)隨機(jī)過程模擬的譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法，生成建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)所用地震動(dòng)的代表性樣本集合。通過代表性樣本集合的二階統(tǒng)計(jì)值及地震反應(yīng)譜與目標(biāo)值的擬合比較，驗(yàn)證本文方法的有效性。最后結(jié)合概率密度演化方法，進(jìn)行以層間位移角為控制準(zhǔn)則的結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析與抗震可靠度計(jì)算。

關(guān)鍵詞：地震動(dòng)； 全非平穩(wěn)； 概率密度演化方法； 結(jié)構(gòu)； 隨機(jī)反應(yīng)； 可靠度

0引言

地震地面運(yùn)動(dòng)具有很強(qiáng)的隨機(jī)性，目前工程抗震中廣泛使用的地震動(dòng)輸入模型大多是強(qiáng)度非平穩(wěn)地震動(dòng)過程，不能反映地震動(dòng)的頻率非平穩(wěn)特性。如何生成具有強(qiáng)度和頻率全非平穩(wěn)的地震動(dòng)加速度過程，一直是地震動(dòng)隨機(jī)模型研究的難點(diǎn)和熱點(diǎn)。目前模擬強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)過程的主要方法有譜表示、小波分析、Hilbert-Huang變換和Wigner-Ville分布等。在譜表示方法中，Shinozuka等[1]利用三角級(jí)數(shù)法和演變功率譜模擬非平穩(wěn)地震動(dòng)過程；Liang等[2]根據(jù)演變譜理論導(dǎo)出了非平穩(wěn)地震動(dòng)過程模擬的一個(gè)譜表示方法；張翠然等[3]基于Priestley演變譜理論，提出擬合目標(biāo)演變譜生成強(qiáng)度和頻率全非平穩(wěn)地震動(dòng)時(shí)程的迭代方法。譜表示法理論完善、算法簡單，但計(jì)算工作量大。小波分析通過一系列可伸縮和平移的小波基函數(shù)，從而達(dá)到對(duì)信號(hào)時(shí)頻局部化分析的目的[4]。但小波基函數(shù)限定的長度會(huì)造成信號(hào)的能量泄漏，因而難以對(duì)信號(hào)作精確的時(shí)頻分析。Hilbert-Huang變換[5]建立在經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和Hilbert譜分析基礎(chǔ)上，具有清晰的物理意義，但其端點(diǎn)數(shù)據(jù)發(fā)散效應(yīng)尚未解決。Wigner-Ville分布[6]通過瞬時(shí)譜能夠?qū)⒌卣饎?dòng)的能量分布表示在聯(lián)合的時(shí)域中進(jìn)行人工地震動(dòng)的合成，但它最主要的缺陷是交叉干擾的存在和在某些頻段內(nèi)有負(fù)的能量。如何合理、有效地描述強(qiáng)度和頻率全非平穩(wěn)地震動(dòng)過程，并從代表性樣本集合的角度研究地震動(dòng)隨機(jī)過程，是目前工程隨機(jī)動(dòng)力學(xué)研究的一個(gè)新途徑。

本文擬采用林家浩提出的指數(shù)衰減型非均勻調(diào)制函數(shù)[7-8]，結(jié)合平穩(wěn)地震動(dòng)過程的Clough-Penzien功率譜模型[9]，建立強(qiáng)度和頻率全非平穩(wěn)地震動(dòng)過程的演變功率譜模型，并根據(jù)我國現(xiàn)行的《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50011-2010)[10]，進(jìn)行演變功率譜模型的參數(shù)識(shí)別研究；同時(shí)采用文獻(xiàn)[11]非平穩(wěn)地震動(dòng)過程模擬的譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法，生成建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)所用地震輸入的代表性樣本集合；最后應(yīng)用該方法生成的代表性樣本集合;結(jié)合最近的概率密度演化方法[12-13]，進(jìn)行一個(gè)框架結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)實(shí)例分析與抗震可靠度計(jì)算。

1非平穩(wěn)過程的譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法

根據(jù)大量的地震記錄統(tǒng)計(jì)，地震動(dòng)的均值為零，因此設(shè)零均值的非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程為Xg(t)，則非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程模擬的譜表示[11]：

式中：ωk=kΔω,Δω為離散的頻率步長；N為截?cái)囗?xiàng)數(shù)；SXg(t,ω)為雙邊的演變功率譜密度函數(shù)，滿足SXg(t,ω0)=SXg(t,0)=0的條件。

在式(1)中，Xk與Yk(k=1,2,…,N)為標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量，即：

(2)

式中：E[·] 表示數(shù)學(xué)期望；δjk為Kronecker-delta記號(hào)。

式(1)由于截?cái)囗?xiàng)數(shù)N而引起的均方相對(duì)誤差為：

(3)

式中：ωu=NΔω為截?cái)囝l率；T為地震動(dòng)過程的持續(xù)時(shí)間。

(4)

2非平穩(wěn)地震動(dòng)概率模型的建立

2.1演變功率譜

在平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)過程模型中，金井清譜[15]考慮了地表土層特性對(duì)地震動(dòng)頻譜特征的影響，具有明確的物理意義，是目前地震工程中應(yīng)用較為廣泛的地震動(dòng)隨機(jī)模型。然而金井清譜也夸大了地震地面運(yùn)動(dòng)的低頻含量，不能反映基巖地震動(dòng)的頻譜特性,同時(shí)在零頻處不滿足位移和速度是有界的條件。為此，許多學(xué)者對(duì)金井清譜進(jìn)行了修正。本文選用Clough和Penzien提出的雙過濾白噪聲模型[9]，其功率譜密度函數(shù)為：

(5)

式中:ωf、ξf分別為第二過濾層的卓越圓頻率和阻尼比，文獻(xiàn)[16]建議取ωf=0.1ωg，ξf=ξg；ωg、ξg分別為地表土的卓越圓頻率和阻尼比，一般ωg可按ωg=2π/Tg計(jì)算，其中Tg為規(guī)范的特征周期,ξg可采用文獻(xiàn)[16]建議的取值；S0為譜強(qiáng)度因子，反映地震動(dòng)強(qiáng)弱程度，可表示為[11]：

(6)

對(duì)于全非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)過程模型，其非平穩(wěn)主要表現(xiàn)在地震動(dòng)強(qiáng)度和頻率特性都隨時(shí)間發(fā)生變化。全非平穩(wěn)地震動(dòng)過程的演變功率譜一般可表示為：

(7)

其中:S(ω)是平穩(wěn)地震動(dòng)過程的功率譜密度函數(shù)，如式(5)所示;A(t,ω)為非均勻調(diào)制函數(shù)，本文選取林家浩提出的指數(shù)衰減型非均勻調(diào)制函數(shù)[7]：

(8)

式中:U(t,ω)為指數(shù)衰減型調(diào)制函數(shù);ωa和ta是為了將ω和t分別無量綱化而引入的頻率與時(shí)間參數(shù)，原則上可以任選，本文建議ωa=ωg，ta=T，其中T為地震動(dòng)過程的持續(xù)時(shí)間。

根據(jù)文獻(xiàn)[8]可知，η0越大高頻成分就衰減越快，當(dāng)η0=0，即U(t,ω)=1，調(diào)制函數(shù)就退化為均勻調(diào)制情況。因此，可將η0稱作調(diào)頻因子，將U(t,ω)稱作調(diào)頻函數(shù)，而將g(t)稱作調(diào)幅函數(shù)，當(dāng)然U(t,ω)也起一些調(diào)幅作用。調(diào)幅函數(shù)g(t)建議選取[17]：

(9)

其中:c為隨機(jī)地震動(dòng)峰值加速度出現(xiàn)的大致時(shí)間;d是控制A(t,ω)形狀的指數(shù)。

表 1　演變功率譜模型參數(shù)

注：圓頻率單位1/s =rad/s。

圖1給出了雙邊的演變功率譜密度函數(shù)隨時(shí)間t和頻率ω的變化關(guān)系。由于演變功率譜關(guān)于頻率ω對(duì)稱，圖中僅畫出了頻率ω≥0的部分?？梢钥吹?，演變功率譜的峰值出現(xiàn)在10 s左右，能量主要集中在40 rad/s頻率以內(nèi)。

圖1　演變功率譜密度函數(shù)Fig.1　Evolutionary power spectral density function

2.2地震動(dòng)代表性樣本集合的生成

為了生成非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程的代表性樣本集合。首先，應(yīng)用華羅庚-王元的數(shù)論方法[18]對(duì)均勻分布的基本隨機(jī)變量Θ1和Θ2在區(qū)間[0,2π)×[0,2π)上選取代表點(diǎn)，其中代表點(diǎn)的總數(shù)s=152;其次，應(yīng)用隨機(jī)函數(shù)的表達(dá)式(4)以及標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量的確定性映射方式，得到式(1)所需的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量;最后，應(yīng)用非平穩(wěn)隨機(jī)過程模擬的譜表示式(1)，即可生成152條地震動(dòng)代表性樣本的集合。在非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程模擬的譜表示中，參數(shù)ωu=240 rad/s，N=1 600，Δω=0.15 rad/s。根據(jù)式(3)，場(chǎng)地類別為Ⅲ，設(shè)計(jì)地震分組為第二組的均方相對(duì)誤差ε(N)=0.23%。同時(shí)，地震動(dòng)持續(xù)時(shí)間T=30 s，時(shí)間間隔Δt=0.01 s，滿足Δt≤π/ωu的條件。

圖2給出了非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程的典型代表性樣本。由圖可見，代表性樣本具有由弱到強(qiáng)的初始階段、持續(xù)的強(qiáng)震階段和由強(qiáng)到弱的衰減階段，反映了地震動(dòng)的強(qiáng)度非平穩(wěn)性。同時(shí)樣本時(shí)程還具有疏密不均的特性，開始階段高頻成分較多，隨后低頻成分逐漸增多，反映了地震動(dòng)的頻率非平穩(wěn)特性。

圖2　非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程的代表性樣本Fig.2　Generated representative sample function of　　　 nonstationary ground motion acceleration process

圖3為152條代表性樣本的均值、標(biāo)準(zhǔn)差與目標(biāo)均值、目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差的比較。從圖中可知，在二階統(tǒng)計(jì)特性意義上，152條代表性樣本的總體特性與目標(biāo)值符合較好。圖4給出了152條代表性樣本的均值反應(yīng)譜曲線與規(guī)范反應(yīng)譜曲線的比較。從圖可見，均值反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜除在長周期部分(大于3 s)有一定誤差外，在其他周期部分的擬合程度較好。

圖3　樣本總體的均值、標(biāo)準(zhǔn)差與目標(biāo)值的比較Fig.3　Comparison between mean and deviation from 152　　　 samples ensemble and from the target

圖4　樣本總體的反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜的比較Fig.4　Comparison between 152 samples ensemble’s response　　　　 spectrum and the code's response spectrum

3實(shí)例分析

近年來，概率密度演化理論在線性與非線性結(jié)構(gòu)隨機(jī)動(dòng)力反應(yīng)分析、動(dòng)力可靠度方面取得了一系列的研究進(jìn)展[12-13]。應(yīng)用全非平穩(wěn)地震動(dòng)過程的譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法生成的代表性樣本集合與概率密度演化理論相結(jié)合，可以實(shí)現(xiàn)工程結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震反應(yīng)分析與抗震可靠度計(jì)算[19]。

為了簡要說明本文建立的全非平穩(wěn)地震動(dòng)概率模型的應(yīng)用，以某三層鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)為例(圖5)，其主要結(jié)構(gòu)類型為梁板柱結(jié)構(gòu)。沿X方向的跨度為6 m，沿Z方向?yàn)?跨3柱，跨距均為5 m，每層層高均為4 m。樓板和屋蓋厚度為200 mm，框架主截面為0.5 m×0.5 m，橫梁截面為0.3 m×0.6 m。材料力學(xué)特性為：彈性模量為30 GPa，泊松比為0.1667，密度為2 500 kg/m3。本文采用通用有限元軟件ANSYS建立其結(jié)構(gòu)空間有限元模型，混凝土采用SOLID185單元，其中共有9 971個(gè)單元，2817個(gè)節(jié)點(diǎn)。

圖5　三層框架有限元模型Fig.5　Finite element model of the three-story frame

在對(duì)有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，為提高結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型的計(jì)算精度，本文采用Lanczos法進(jìn)行模態(tài)分析。限于篇幅，表2僅列出部分振動(dòng)頻率及相應(yīng)振型特點(diǎn)。由表2可知，該框架結(jié)構(gòu)的基頻為5.841 Hz，在X向振動(dòng)以第1振型為主，在Z向振動(dòng)以第2振型為主。另根據(jù)模態(tài)計(jì)算相關(guān)數(shù)據(jù)，結(jié)構(gòu)在X、Y、Z向主振型的有效參與質(zhì)量比例為1∶0∶1,即參與Y方向(豎向)振動(dòng)的結(jié)構(gòu)質(zhì)量幾乎為0，這說明鋼結(jié)構(gòu)振動(dòng)以水平向?yàn)橹鳌?/p>

表 2　動(dòng)力特性分析結(jié)果

應(yīng)用本文方法生成的152條代表性樣本，沿X方向輸入。結(jié)合最近的概率密度演化方法(PDEM)，分別計(jì)算上述結(jié)構(gòu)各層層間位移角的隨機(jī)地震反應(yīng)，進(jìn)而計(jì)算各層的動(dòng)力可靠度。限于篇幅，本文僅給出第二層層間位移角反應(yīng)的概率信息圖形，如圖6所示。圖6(a)為按照概率密度演化方法計(jì)算給出的該結(jié)構(gòu)第二層層間位移角反應(yīng)均值和標(biāo)準(zhǔn)差；圖6(b)為典型時(shí)刻的概率密度函數(shù)；圖6(c)為給定時(shí)間段內(nèi)的概率密度演化曲面；圖6(d)為相應(yīng)的等概率密度線。圖6中可見，結(jié)構(gòu)反應(yīng)的概率密度具有典型的演化特征，概率密度分布是非規(guī)則曲線，具有隨機(jī)漲落現(xiàn)象，與一般假定的正態(tài)分布等規(guī)則分布明顯不同。

圖6　第二層層間位移角反應(yīng)的概率信息Fig.6　Probability information by story displacement　　　 angle of the second story

基于等價(jià)極值事件的體系可靠度分析方法[20]，以層間位移角為控制準(zhǔn)則，給出了三層框架結(jié)構(gòu)的每一層抗震可靠度，如圖7所示。事實(shí)上，層間位移角的等價(jià)極值事件的分布函數(shù)(縱坐標(biāo))即為抗震可靠度，可以看出，第二層的抗震可靠度最低。若層間位移角的界限值給定為1/2 500，第一層和第三層的抗震可靠度接近100%，而第二層的抗震可靠度只有84%。

圖7　等價(jià)極值事件的結(jié)構(gòu)抗震可靠度Fig.7　Seismic reliability of the structure based on　　　 the equivalent extreme-value event

4結(jié)語

本文建立了一類全非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程的概率模型及建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)所用地震動(dòng)的代表性樣本集合。同時(shí)，結(jié)合概率密度演化方法進(jìn)行了結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)與抗震可靠性分析。主要結(jié)論如下：(1)本文建立的全非平穩(wěn)地震動(dòng)概率模型較全面地考慮了地震動(dòng)的非平穩(wěn)特性、頻譜特性和時(shí)域特性；(2)全非平穩(wěn)地震動(dòng)過程的概率模型能夠在代表性樣本集合的二階統(tǒng)計(jì)值以及地震反應(yīng)譜等方面與目標(biāo)值(譜)相一致，從而在代表性樣本集合的層面上研究地震動(dòng)過程的概率特性；(3)全非平穩(wěn)地震動(dòng)過程的概率模型能夠方便地與最新發(fā)展的概率密度演化理論(PDEM)相結(jié)合，為實(shí)現(xiàn)復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震反應(yīng)和抗震可靠性的精細(xì)化分析提供了新途徑。

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Stochastic Responses and Reliability Analysis of Structures Subjected to Fully Nonstationary Ground Motion

WU Lin-qiang1, WANG Zhou1, LIU Zhang-jun2

(1.CollegeofHydraulic&EnvironmentalEngineering,ChinaThreeGorgesUniversity,Yichang443002,Hubei,China;2.CollegeofCivilEngineering&Architecture,ChinaThreeGorgesUniversity,Yichang443002,Hubei,China)

Abstract:This paper proposes a new probability model for the fully nonstationary ground motion acceleration process, and provides a kind of seismic input for structures for use in seismic research. First, based on the Clough-Penzien power spectrum of the stationary ground motion process, we establish the evolutionary power spectrum of the fully nonstationary ground motion process. Most importantly, the evolutionary power spectrum considers not only the nonstationary intensity, but also the nonstationary frequency. Then, based on the seismic design building code (in China), we identify these parameters in the evolutionary power spectrum model for different site conditions. Meanwhile, we applied the spectral representation-random functions method to generate an ensemble of 152 representative samples, and assigned each representative sample a given probability. This method uses a few basic random variables to express the original seismic ground motion process. Next, we obtain second-order statistics and the seismic response spectrum of the representative sample ensemble, and compare them with the target values. The results show that the general characteristics of all 152 representative samples coincide well with the target values. In this study, to verify the superiority and effectiveness of the proposed method, we used ANASYS software to conduct a dynamic time-history analysis of a concrete framework. Finally, by combining the recent probability density evolution method with the control criteria for the displacement angle, we performed a stochastic dynamic response analysis and reliability calculation for the concrete framework.

Key words：ground motion; fully nonstationary; probability density evolution method; structure; stochastic response; reliability

DOI:10.3969/j.issn.1000-0844.2016.04.0109

中圖分類號(hào):O324；TU311.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào):1000-0844(2016)01-0109-07

作者簡介：吳林強(qiáng)(1990-)，男，碩士研究生，主要從事工程結(jié)構(gòu)抗震研究。E-mail:wulinqiang123@sina.com。通信作者：劉章軍(1973-)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事工程結(jié)構(gòu)抗震研究。E-mail:liuzhangjun73@aliyun.com。

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué) (51278282，50808113)

收稿日期：①2015-01-19