蘇懷堂

（北京市第二中學(xué)亦莊學(xué)校）

高中數(shù)學(xué)中“分類討論”的思想方法

蘇懷堂

（北京市第二中學(xué)亦莊學(xué)校）

分類討論的思想方法在高中數(shù)學(xué)中占有重要的位置，特別是在高中代數(shù)中的作用更加突出。其題目大致分為三類：對(duì)所求的變量（或代數(shù)式）在其范圍內(nèi)分類討論；對(duì)主變量在其范圍內(nèi)分類討論，求參變量的范圍（或值）；對(duì)參變量在其范圍內(nèi)分類討論，求主變量的范圍（或值）。

分類討論；主變量；參變量

分類討論的思想方法在高中數(shù)學(xué)中占有重要的位置，特別是在高中代數(shù)中它的作用更加突出。下面對(duì)以上三種類型分別進(jìn)行探究：

一、對(duì)所求的變量（或代數(shù)式）在其范圍內(nèi)分類討論

例1.若集合A＝｛x|ax2-2x＋1=0｝（a∈R）只含有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是［0，1］

解析：由已知，關(guān)于x的方程ax2-2x＋1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故應(yīng)分a=0與a≠0兩種情況討論。

當(dāng)a≠0時(shí)，由Δ=0得a=1，此時(shí)方程只有一個(gè)實(shí)根x=1。

綜上所述，a的取值范圍是［0，1］。

綜上所知，原不等式解集為｛x|-3≤x≤1｝。

由以上例題可知，對(duì)所求的變量（或代數(shù)式）在其范圍內(nèi)分類討論時(shí)，由于每個(gè)結(jié)論都符合題意，結(jié)果要求并集。

二、對(duì)主變量在其范圍內(nèi)分類討論，求參變量的范圍（或值）

分析：本題中x是主變量，a是參數(shù)。

由以上例題可知，對(duì)主變量在其范圍內(nèi)分類討論，求參變量的范圍（或值）時(shí)，由于幾個(gè)結(jié)論要同時(shí)成立，結(jié)果要取公共部分，即求交集。綜上所述，a∈（-3，-1）。4

三、對(duì)參變量在其范圍內(nèi)分類討論時(shí)，求主變量的范圍（或值）

例4.討論函數(shù)f（x）=ex（x2＋ax＋a＋1）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

其判別式Δ=（a＋2）2-4（2a＋1）=a2-4a

①當(dāng)Δ≤0時(shí)，即0≤a≤4時(shí)，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上是增函數(shù)，此時(shí)f（x）無(wú)極值；

②當(dāng)Δ＞0，即a＜0或a＞4時(shí)，f′（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為x1，x2（x1＜x2）

當(dāng)x∈（-∞，x1）時(shí)，f′（x）＞0，則，f（x）在（-∞，x1）單調(diào)遞增

當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在（x1，x2）單調(diào)遞增

當(dāng)x∈（x2，＋∞）時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（x2，＋∞）單調(diào)遞減

由上表可知，a＜0或a＞4時(shí)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)。

綜上所述，當(dāng)0≤a≤4時(shí)，f（x）無(wú)極值；當(dāng)a＜0或a＞4時(shí)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)。

由以上例題可知，對(duì)參變量在其范圍內(nèi)分類討論，求主變量的范圍（或值）時(shí)，由于幾個(gè)結(jié)論相互獨(dú)立，結(jié)論分別成立。

綜上所述，發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)中分類討論的題目符合基本本文所歸納的情況，而第三類情況出現(xiàn)的較多，高考中也經(jīng)常涉及。根據(jù)分類的對(duì)象及所求對(duì)象的情況，我們把分類討論的題目類型主要分為三類：

一、對(duì)所求的變量（或代數(shù)式）在其范圍內(nèi)分類討論，其結(jié)果要取并集；

二、對(duì)主變量在其范圍內(nèi)分類討論，求參變量的范圍（或值），其結(jié)果要取交集；

三、對(duì)參變量在其范圍內(nèi)分類討論,求主變量的范圍（或值），其結(jié)果是獨(dú)立的，也就是此時(shí)本題的結(jié)論。

［1］李冬明.高中數(shù)學(xué)中分類討論思想的探究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016.

［2］葉文.也談高中數(shù)學(xué)中的分類討論思想［J］.讀寫(xiě)算（教育導(dǎo)刊），2014.

·編輯 李建軍