王文杰

摘 要：三角函數(shù)是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，是歷年來高考的一個熱門考點，它內(nèi)容豐富，題型多樣，其中又蘊含著多種數(shù)學思想方法，值得我們總結和深思。本文就三角函數(shù)中蘊含的多種數(shù)學解題思路及思想方法通過實際例題加以說明，希望能給同仁的教學以及學生的學習帶來幫助和啟發(fā)！

關鍵詞：數(shù)形結合 分類討論 化歸轉(zhuǎn)化 方程換元

三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，是高中數(shù)學的重要組成部分。在新課改中對數(shù)學思想方法的考查要求十分明確，三角函數(shù)三大知識塊中蘊含了豐富的數(shù)學思想方法，學習這些思想方法有助于提高數(shù)學思維能力和解題能力。

一、數(shù)形結合思想方法

數(shù)形結合是數(shù)學研究中的重要思想方法和解題方法。由數(shù)到形，以形助數(shù)可以使問題直觀呈現(xiàn)，加深對知識的記憶與理解，更可以豐富表象，拓寬思路，快速找到解題思路，從而提高分析問題和解決問題的能力。

例1.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示

（1）求A、的值；

（2）若方程上有兩個不同的實根，試求的取值范圍。

解：（1）由圖像易知

由此得此函數(shù)圖象是由的圖象

沿x軸向左平移個單位長度得到的，故；

（2）由（1）知函數(shù)解析式為，那么方程

上有兩個不同的實根等價于

的圖象有兩個交點。

如圖為函數(shù)

由圖可以看出有兩個交點時，

評析：本題是三角函數(shù)中數(shù)形結合的一個很好的例子，把函數(shù)的代數(shù)表達式與圖象結合起來可以拓寬思路，讓我們更直觀更形象地解決問題。

二、整體思想

整體思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握已知和所求之間的關聯(lián)，進行有意識、有目的的整體處理來解決問題的方法。中學數(shù)學中整體思想的應用廣泛，主要分以下三個步驟完成：（1）從整體出發(fā)，高瞻遠矚統(tǒng)籌局部；（2）通過對局部的研究，醞釀總體解決方案；（3）回到整體，實現(xiàn)解決整個問題的總目標。

評析：給值求值問題，即給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些三角函數(shù)值，解題的關鍵在于從整體思想出發(fā)進行“變角”，如，等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時一定要注意角的范圍討論。

例3.已知函數(shù)

為偶函數(shù)，且函數(shù)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為。

（1）求的值；

（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間。

（2）將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象，再將所得圖象橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到

的圖象。

評析：本題實質(zhì)上是從整體把握求的解析式，從整體

思想方法的三部曲出發(fā)，在解析式確定后，再回過頭來求的值及的單調(diào)性。

三、具體化思想方法

具體化思想方法又稱為特殊化思想方法。特殊化思想方法是在解決一些較為抽象復雜的數(shù)學問題時，先考慮簡單情形，或者考慮特殊對象、特殊位置，或者考慮極端情況，將抽象問題放到具體的特殊的問題中去，從而使一般性問題得到解決。

評析：本題主要考查函數(shù)性質(zhì)，還考查學生分析問題的能力，要求對基本函數(shù)的性質(zhì)能熟練運用（包括正用和逆用），解法二用取特殊值的方法使問題具體化，可以降低題目難度。

四、分類討論思想

每個數(shù)學結論都有其成立的條件，每一種數(shù)學方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學問題中，有些問題的結論不是唯一確定的，有些問題的結論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學思想就是數(shù)學中的分類討論思想。

評析：本題因字母代替的量不確定即影響到對應的二次函數(shù)中對稱軸與閉區(qū)間的位置，從而需要我們分情況討論對稱軸與閉區(qū)間的位置關系，然后才能確定函數(shù)的最大值是在取多少時取最大，由此求出對應的值，再驗證這個值是否在該情況下的的范圍內(nèi)，從而決定取舍。

五、化歸轉(zhuǎn)化思想

化歸轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學問題的一種重要思想，它的實質(zhì)就是實現(xiàn)新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化。通俗地講就是化未知為已知，化復雜為簡單，化抽象為具體的思想方法。

解法二：（從“函數(shù)名”入手，異名化同名）

解法三：（從“冪”入手利用降冪公式先降次）

解法四：（從“形”入手，利用配方法，先對二次項配方）

評析：三角函數(shù)式變形，常見方法有角的變換，函數(shù)名變換，降次或升次，公式變形，常數(shù)代換等等，化簡原則：盡量使函數(shù)種類最少，次數(shù)相對較低，項數(shù)最少，盡量使分母不含三角函數(shù)，盡量去掉根號或減少根號的層次，能求值的應求出其值。

六、方程換元思想

從分析數(shù)學問題中的變量關系入手，用方程來反映變量之間的聯(lián)系，解方程或?qū)Ψ匠踢M行討論，以及對較復雜問題恰當做變量替換，達到化繁為簡，化難為易，化未知為已知的目的。

例7.已知，如圖，在山腳的C處測得山頂A的仰角為45°，沿著坡度為30°的斜坡前進400米到D處（即∠DCB=30°，CD=400米），測得山頂A的仰角為60°，求山的高度AB。

分析：先過點D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F構造直角三角形，由于圖中有三個直角三角形，已知CD=400米，不好直接計算，可以設DE=x米，通過列方程求解。

評析：在利用直角三角形中的邊角關系求線段長度時，如果涉及到兩個或兩個以上的三角形時，可以通過設未知數(shù)，利用線段之間的等量關系列出方程、解方程，從而使問題得到解決。

評析：本題看似復雜，我們通過觀察發(fā)現(xiàn)，，通過換元再利用兩角差的正切公式對原式左邊乘積部分進行等價變換，最終達到證明的目的。

三角函數(shù)中涉及的內(nèi)容較多，其中蘊含的數(shù)學思想方法也是多種多樣，這就要求我們在了解各種思想方法實質(zhì)和熟悉數(shù)學知識縱橫聯(lián)系的前提下，還要逐步學會靈活運用，慢慢地我們會發(fā)現(xiàn)原來數(shù)學中的奧妙無窮，令我們?nèi)の稒M生！通過我們不斷的研究和探索，我們的數(shù)學解題能力就會自然而然的得到提高，而且我們還能在前人的基礎上對數(shù)學方法的探討得到進一步的創(chuàng)新！

參考文獻

[1]張奠宙.現(xiàn)代數(shù)學思想講話[M]，南京：江蘇教育出版社，1991年