江蘇省常州市新北區(qū)呂墅中學(xué) 鄭金華

積累幾何直觀想象經(jīng)驗(yàn)滲透代數(shù)運(yùn)算核心素養(yǎng)

江蘇省常州市新北區(qū)呂墅中學(xué) 鄭金華

就數(shù)學(xué)而言，學(xué)科核心素養(yǎng)包含：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，筆者認(rèn)為在知識(shí)與方法上，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，才能夠讓學(xué)生站在更高的層次上理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。本文以蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)“有理數(shù)的減法”為例，談一談直觀想象在有理數(shù)減法運(yùn)算中的妙用，以此給其他數(shù)學(xué)教育工作者在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)提供參考。

一、輸入信息：用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界（生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化）

1.海拔高度

如何用海拔高度來(lái)模擬數(shù)學(xué)問(wèn)題，延伸學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、探究世界的觸角呢？筆者在新知導(dǎo)入階段設(shè)計(jì)了以下問(wèn)題串情境。

何謂海拔高度？在中國(guó)，我們把青島黃海的海平面作為零點(diǎn)，高于零點(diǎn)的記為“+”，低于零點(diǎn)的記為“-”，將海拔高的地方的海拔值減去海拔低的地方的海拔值就得到海拔差。

問(wèn)題1 中國(guó)最高峰珠穆朗瑪峰海拔8844米，泰山海拔1524米，那么珠穆朗瑪峰與泰山的海拔差是多少米？（列式計(jì)算：8844-1524=7320）

問(wèn)題2 中國(guó)吐魯番盆地海拔0米，吐魯番艾丁湖海拔-155米，那么吐魯番盆地與艾丁湖海拔差是多少米？（列式計(jì)算：0-（-155）=155）

問(wèn)題3 中國(guó)海拔最低的是吐魯番艾丁湖-155米，世界陸地海拔最低的是死海-416米，那么艾丁湖與死海的海拔差是多少米？（列式計(jì)算：-155-（-416）=261）

問(wèn)題4 中國(guó)最高峰珠穆朗瑪峰海拔8844米，中國(guó)海拔最低吐魯番艾丁湖-155米，那么珠穆朗瑪峰與艾丁湖的海拔差是多少米？（列式計(jì)算：8844-（-155）=8999）

問(wèn)題5 通過(guò)以上問(wèn)題的解答，你認(rèn)為比100米低200米的海拔存在嗎？（存在?。└鶕?jù)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，我們得到的數(shù)值是多少米？（列式計(jì)算：100-200=-100）

問(wèn)題6 通過(guò)問(wèn)題5的解答，你知道比-100米低200米的海拔是多少米嗎？（列式計(jì)算：-100-200=-300）

在教學(xué)中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生此時(shí)對(duì)問(wèn)題的解決實(shí)質(zhì)上已經(jīng)有了結(jié)果，然后匹配個(gè)式子建立等式。在實(shí)際問(wèn)題中，學(xué)生借助已有生活經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用有理數(shù)減法算理得到計(jì)算結(jié)果，而不是算法，算理比算法先出現(xiàn)是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的，對(duì)學(xué)生算法的理解也起到了很好的直觀詮釋作用。

2.數(shù)軸

學(xué)生對(duì)數(shù)軸的學(xué)習(xí)是在有理數(shù)減法運(yùn)算之前，數(shù)軸不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)相反數(shù)、絕對(duì)值等有理數(shù)知識(shí)的重要工具，還是以后學(xué)好不等式的解法、函數(shù)圖象及其性質(zhì)等內(nèi)容的必要基礎(chǔ)知識(shí)。接下來(lái)我們用數(shù)學(xué)工具數(shù)軸解決這樣一個(gè)問(wèn)題：

某一棟教學(xué)樓高25米，樓前的池塘-5米，你能運(yùn)用數(shù)軸求出教學(xué)樓與池塘的海拔差是多少米嗎？

對(duì)有理數(shù)減法算理的推導(dǎo)過(guò)程，教師不能有先直接給個(gè)公式讓學(xué)生套用，然后多做習(xí)題掌握公式，推導(dǎo)過(guò)程完全可以省略的想法。教師既要聯(lián)系我們的生活實(shí)際，還要關(guān)注學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，從生活的角度提出問(wèn)題，用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)工具合理解釋?zhuān)匀贿^(guò)渡到新知識(shí)的傳授，這就是基于形象引導(dǎo)下的數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)。

二、處理信息：用數(shù)學(xué)的思維分析世界（用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題）

學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，就是在新舊知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的沖突中，不斷將新知識(shí)、新經(jīng)驗(yàn)同化和順應(yīng)到已有知識(shí)、已有經(jīng)驗(yàn)下，達(dá)到新的平衡的過(guò)程。對(duì)學(xué)生而言，有理數(shù)減法運(yùn)算是新知識(shí)，但之前已經(jīng)熟練掌握了有理數(shù)加法，教師要把有理數(shù)減法運(yùn)算統(tǒng)一到加法運(yùn)算中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。筆者設(shè)計(jì)了以下問(wèn)題串，共同分享：

（1）觀察下列等式，對(duì)比左右兩邊的代數(shù)式,說(shuō)一說(shuō)哪些量發(fā)生了變化？是如何變化的？

（2）等式的左右兩邊分別進(jìn)行的是有理數(shù)的什么運(yùn)算？

（3）舉個(gè)例子說(shuō)一說(shuō)，解決有理數(shù)的減法運(yùn)算你可以怎么做？

（4）用自己的語(yǔ)言描述你的發(fā)現(xiàn)。

8844- 1524 = 8844 +（-1524）

0-（-155）= 0 + 155

-155-（-416）= -155 + 416

8844-（-155）= 8844 + 155

100 - 200 = 100 +（-200）

-100 - 200 = -100 +（-200）

我們的新型課堂要求對(duì)原來(lái)的教師教得完整、學(xué)生學(xué)得完整轉(zhuǎn)型成師生發(fā)展完整、成長(zhǎng)完整。在這個(gè)教學(xué)片段中，學(xué)生親歷了理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果這一系列的過(guò)程，在課堂上發(fā)展了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

三、輸出信息：用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界（數(shù)學(xué)問(wèn)題的延伸與拓展）

愛(ài)因斯坦認(rèn)為思維創(chuàng)造性的典型特點(diǎn)是靈活性。學(xué)習(xí)了有理數(shù)減法運(yùn)算之后，思考這樣兩個(gè)問(wèn)題：

兩個(gè)有理數(shù)相減，是否存在“不夠減”的情況呢？差一定小于被減數(shù)嗎？

通過(guò)這兩個(gè)問(wèn)題建立初中與小學(xué)減法運(yùn)算之間的聯(lián)系。初中代數(shù)對(duì)數(shù)域進(jìn)行了擴(kuò)充，引入了負(fù)數(shù)，因此差可能大于被減數(shù)，而且被減數(shù)、減數(shù)和差都有可能是負(fù)數(shù)，我們可以用有理數(shù)減法運(yùn)算解決所有小學(xué)所學(xué)的減法運(yùn)算。最后分享這節(jié)課的拓展提升題：

一名旅行者在海拔54米的坡頂發(fā)現(xiàn)一只灰雀在離他不遠(yuǎn)處的上方15米的位置向下追逐一只知了，當(dāng)它向下飛行20米后追上了知了，此時(shí)知了拼命逃脫，向上飛行1米后終被灰雀吞食。

（1）求灰雀吃掉知了時(shí)的海拔；

（2）灰雀從開(kāi)始追逐知了到最終把它吃掉，海拔高度經(jīng)歷了怎樣的變化過(guò)程？

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！蔽覀冇脭?shù)量來(lái)刻畫(huà)位置關(guān)系，這樣位置的變化就可以通過(guò) 數(shù)學(xué)運(yùn)算表示，有理數(shù)的加減運(yùn)算反過(guò)來(lái)應(yīng)該為解決生活實(shí)際問(wèn)題而存在，灰雀吃知了的問(wèn)題給學(xué)生提供了范式，這個(gè)范式引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)方式去表達(dá)世界，用數(shù)學(xué)的思考去分析問(wèn)題。

作為數(shù)學(xué)教師，我們要在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，不僅給學(xué)生傳授科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)，更要關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，讓學(xué)生在潛移默化中獲得質(zhì)的飛躍。