◎華明月

中學概率統(tǒng)計學習淺談

◎華明月

概率和統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的學科，隨機現(xiàn)象在生活中隨處可見。將概率統(tǒng)計知識列為中學數(shù)學的必修內容有實用性和必要性。但由于概率統(tǒng)計本身存在大量不確定性概念，對學生的學習與理解造成了困難，導致學生在處理概率統(tǒng)計問題時十分容易出現(xiàn)問題。本文就學生學習、教師教學中遇到的問題加以分類，并進行分析，希望可以對學生學法、教師教法提供幫助。

概率統(tǒng)計；中學教學；典型錯誤

隨機現(xiàn)象在日常生活中隨處可見，概率和統(tǒng)計就是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的學科。它為人們認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法。正是由于概率統(tǒng)計的這種廣泛應用性，美、英、法等發(fā)達國家，在基礎教育階段就非常注重學生概率統(tǒng)計知識的獲得和概率統(tǒng)計觀念的培養(yǎng)。2001年，《數(shù)學課程標準(實驗稿)》頒布，我國正式啟動新一輪基礎教育課程改革。隨著新課程改革的不斷推進，概率統(tǒng)計教學逐步得到重視，特別是義務教育階段，新課程在三個學段中都把“統(tǒng)計與概率”列為重要的學習領域，突出了其重要性，起到很好的導向作用。而概率統(tǒng)計知識對學生的數(shù)據(jù)處理等方面能力的培養(yǎng)也具有很重要的作用。

但概率統(tǒng)計知識看似簡單，實質上是不少學生的軟肋。有研究發(fā)現(xiàn)，我國學生在概率概念認識方面主要存在14組錯誤：1.主觀判斷；2.舉例說明可能與不可能；3.可能便是必然；4.機會不能量化及預測；5.等可能性；6.預言結果法；7.每次機會與頻率無關；8.用數(shù)據(jù)匹配和文字匹配來解釋機會值；9.一再重復并無益；10.順勢與逆勢；11.用自己的方法比較機會值；12.將有著不同順序的結果視為一樣的；13.誤用或者不當?shù)赝茝V結論；14.用自己的方法計算機會。

通過前面的簡單敘述，可以看出不論是碩士、博士或是一線教師都把中學概率統(tǒng)計的教學，以及如何避免學生出現(xiàn)錯誤，當成重點研究。有之前教育工作者的研究成果，筆者決定重新整理概率易錯類型，首先明確概率概念，進而分析典型錯誤。力圖做到讓學生“知其然，知其所以然”，把明確概率統(tǒng)計概念放在首位。下面的論述均以中學數(shù)學概率統(tǒng)計知識為背景，從基礎知識分析、典型錯題、錯題正解等三個方面對筆者分類的幾種典型錯誤進行具體分析。

概率與統(tǒng)計是人們了解不確定性數(shù)學現(xiàn)象的重要工具。在現(xiàn)實社會生產、生活中，存在著大量不確定性的數(shù)學問題，其中蘊含著確定性的結論，對于指導人們從事社會生產、生活具有十分重要的意義。因此，概率與統(tǒng)計以近半個學期的學習內容進入高中課本。但也正是概率統(tǒng)計知識的“不確定性”，使學生在理解運用知識點時遇到很多問題。通過筆者的分析，認為以上李俊在《中小學概率教與學》中指出的14種的錯誤可以加以合并，重新分類為以下七種：“非等可能”與“等可能”混同；“互斥”與“獨立”混同；“互斥”與“對立”混同；“條件概率P(B|A)”與“積事件的概率P (AB)”混同；“有序”與“無序”混同；“可辯認”與“不可辨認”混同。

由于概率統(tǒng)計知識中存在大量的抽象和不確定，并且在中學的知識體系中，該部分的知識相對獨立。盡管學生在義務教育階段以及辯證法學習過程中已經接觸了一些偶然性與必然性的知識，但學生對偶然性與必然性的了解還比較膚淺，僅僅停留在定性甚至是感性認識的水平之上。而概率是揭示偶然世界規(guī)律性的科學，它所研究的隨機現(xiàn)象是偶然的，但又有一定的規(guī)律性，偶然中蘊涵著必然；它總是通過對事件外顯數(shù)據(jù)的研究，達到對事件本質的把握；學生通過高中概率的學習可以從定量和理性的層次上更深入地認識偶然性與必然性的本質。處理這類問題時基本不能套用之前的思維模式，如何跳出定式，對教師教法是個很大的挑戰(zhàn)。為了打破這種僵局，教師應該利用多種途徑縮短認知差距。

一、確立隨機思想，提高課堂效率

統(tǒng)計與概率中存在著大量的試驗，需要學生通過親自參與來學習統(tǒng)計與概率的內容，掌握數(shù)據(jù)處理的方法。這些活動將會極大地促進教師與學生地位的根本改變。教師將由傳統(tǒng)的知識傳授者向活動的參與者、引導者、合作者轉變；由傳統(tǒng)的教學支配者、控制者向學生學習的組織者、促進者和指導者轉變;由傳統(tǒng)的靜態(tài)知識占有者向動態(tài)的研究者轉變。學生將由被動接受知識的容器轉變?yōu)榛顒訉W習的設計者、主持者、參與者。教師應該意識到，在解題過程中套用模式來解概率統(tǒng)計題往往是不能奏效的，甚至會導致思想僵化，原因是概率統(tǒng)計的隨機性使得模式具有多樣性和不重復性。機械地模仿只能解決常規(guī)問題，無益于解決活的問題，更無益于創(chuàng)造性能力的提高。首先，教師應經常向學生介紹包含隨機現(xiàn)象的實例。比如百年一遇的洪澇災害、每年數(shù)以萬計的交通事故、氣候的瞬息萬變、股票價格的波動起伏等現(xiàn)象。其次，在介紹一些重要結論時，要不斷提醒大家注意體會其中的隨機性。比如，拋擲硬幣正面和反面向上的概率都是0.5，但可能一個班的所有學生拋100次正面向上的概率都不是0.5，這就是結果的波動性。這樣生活中的生動的例子，可以幫助學生較快進入隨機的世界，讓學生對概率統(tǒng)計有新的理性的認識。

二、把握學科特點，加強概念教學

教學的理論和實踐告訴我們，要搞好一門課的教學，首先應充分認識這門課程的特點和規(guī)律。眾所周知，概率與其他數(shù)學內容有著明顯的不同，正是這種不同，使學生初學時不能很快適應。在概率教學中，應注重培養(yǎng)學生的隨機觀念；了解隨機現(xiàn)象與概率的意義，隨機事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性；弄清隨機變量的取值規(guī)律是用概率和分布刻畫的；會用隨機觀點處理隨機現(xiàn)象；知道統(tǒng)計結果是概率地呈現(xiàn)的，可能有誤差；讓學生感受到確定性和隨機性數(shù)學思維方法的本質區(qū)別。

概率統(tǒng)計學習的主要目標應該是對基本的概率統(tǒng)計知識的掌握，發(fā)展思維能力，而不應該拘泥于一味地計算和追求結果。在教學中，教師應鼓勵學生盡可能運用計算器、計算機來處理數(shù)據(jù)，進行模擬活動，更好地體會統(tǒng)計思想和概率的意義，如可以模擬擲硬幣的試驗等。

三、注重實踐活動，經歷探究過程

概率是一門實踐性很強的學科。概率來自于實踐，又服務于實踐?，F(xiàn)在，概率已廣泛地運用于生產、生活和社會等各個領域。因此，在課堂教學過程中，不僅要讓學生掌握統(tǒng)計與概率的理論知識，更重要的是培養(yǎng)學生的應用能力。不論是講授新概念還是新方法，我們都要從現(xiàn)實背景出發(fā)來講清它們在解決實際問題時的應用。如在介紹古典概型和幾何概型時，可以介紹“晚會禮物問題”“生日問題”“值的估計問題”等。

雖然教材中未提及研究性課題，但由于概率與現(xiàn)實生活存在著非常密切的聯(lián)系，教師應積極引導學生開展與概率相關的課題研究，如學校周圍交通堵塞情況的調查、對自己所喜歡的體育比賽的研究、從概率角度看賭博與摸彩的異同點等，為學生創(chuàng)設獨立思考與合作交流相結合的探究情景。作為學生學習活動的引導者和幫助者，教師應盡可能采用“質疑——猜測——交流——驗證”的教學模式，讓學生主動地發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，深化用概率解決實際問題的意識，并以此來培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神。

本文探究了中學數(shù)學概率統(tǒng)計中的典型錯誤，一方面希望可以對教師教學有所幫助，另一方面希望可以拓展開來，對整個數(shù)學教學都有所思考。

(作者單位：內蒙古包頭市一機一中014000)

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