朱　凱，張　旭，馬　清（遵義師范學院工學院，貴州遵義563002）

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固結彈性薄層的空間軸對稱接觸問題

朱凱，張旭，馬清
（遵義師范學院工學院，貴州遵義563002）

摘要：基于彈性理論研究了剛性基底上固結彈性薄層的空間軸對稱接觸問題，采用合理假設位移分段函數(shù)的方法，求解彈性薄層的應力分量，最終獲得能滿足所有邊界條件應力的解析解，避免了復雜的數(shù)學理論，同時彌補了三維接觸問題中運用Johnson假設進行求解所帶來的缺陷。

關鍵詞：彈性薄層；空間軸對稱；應力分量；分段函數(shù)；Johnson假設

有關彈性薄層的空間軸對稱接觸問題已有眾多學者研究。其中Johnson[1]研究了彈性薄層的二維接觸問題，主要集中在薄層厚度遠小于接觸半徑（b<< a）的特殊情況，并形成了著名的Johnson假設，即“薄層厚度遠小于接觸半徑時，認為薄層上下變形均勻是合理的”，在彈性薄層固結剛性基底的情況下，此假設等同于“薄層沒有水平位移”。此后很多學者關于薄層三維接觸問題的研究均建立在此假設的基礎上。Jaffer[2]以Johnson假設為基礎，主要研究了當彈性薄層為可壓縮材料并且與剛性基底固結時，接觸壓應力的分布情況，但未涉及位移場和應力場的分析。Barber[3]采用不同的方法研究了接觸壓應力的分布。Ning等[4]以Johnson假設為基礎，利用Abaqus對接觸區(qū)域壓力進行有限元分析，所得結果與理論結果基本吻合，但所得應力分量完全無法滿足邊界條件，這也是利用Johnson假設求解空間接觸問題的缺陷。Jaffer[5]的另一篇論文以Popov[6]和Alexandrov[7]的成果為基礎，假定壓力分布及位移函數(shù)為修正Legendre多項式的展開形式，涉及到復雜數(shù)學理論的應用。Mattthewson[8]在1980年提出了求解薄層空間軸對稱問題的新方法，通過分析厚度方向平均應力、應變得到此問題的近似解，并著重分析了當泊松比v為0.5時，彈性薄層作為基底保護層的應力場、位移場。還有許多學者[9-12]對該問題進行了大量的研究。

通過對以往建立在Johnson假設上的文獻的分析不難得知，利用該假設求解薄層接觸問題最終將導致薄層上表面的切應力邊界條件完全無法滿足。本文旨在通過一種簡單的數(shù)學方法得到彈性薄層應力的解析解，利用分段函數(shù)的形式，合理假定徑向位移分量和豎向位移分量，最終得到能完全滿足所有邊界條件的應力分量，為固結薄層接觸問題的求解提供理論依據(jù)。

1問題的建立

圖1剛性基底上固結彈性薄層與剛性球狀壓頭的法向接觸

2邊界條件

由圖1可知，剛性圓球與薄層之間的接觸區(qū)域為球冠狀，接觸半徑為。剛性圓球與薄層之間的界面假定不受摩擦的影響，同時由圖1可知，只有接觸區(qū)域內(nèi)有應力分布，故可得邊界條件如下：

3問題的求解

為了確保接觸區(qū)域為無摩擦狀態(tài)以及式（5）能得到滿足，徑向位移不能處處為0，否則將造成切應變處處不為0的情況，進而接觸區(qū)域?qū)⒋嬖谇袘?。故可假設徑向位移有如下形式：

研究Ning等[4]的文獻，不難發(fā)現(xiàn)其最大的缺陷在于薄層應力表達式完全無法滿足薄層表面的切應力邊界條件，故以此為切入點，為滿足應力邊界條件

進而可求得彈性層的應力分量為：

4討論

本文中的模型與Ning等[4]的略有不同，但所得解析解仍適用于各向同性可壓縮材料。由圖1可知剛性球體周圍的彈性薄層發(fā)生了凹陷，此種變形有點類似Hertz有關半空間受壓頭擠壓時的變形情況，其成果在Popov[13]的著作中已提及。Popov[13]用圖的形式描述了接觸區(qū)域外彈性薄層的表面位移隨徑向的變化情況，將本文的結果與其進行對比，如圖2所示。通過對比，不難發(fā)現(xiàn)，由Hertz理論得出的位移無量綱隨徑向無量綱的變化要顯著些，而本文中得出的位移曲線要平緩些。這主要是由于在缺乏剛性基底的阻抗作用下，壓頭下方彈性薄層材料在受壓后的變形主要由豎向移動獲得，而在有剛性基底的情況下，彈性薄層材料的流動則集中在徑向位移。壓頭周圍徑向位移越大，表明越多的材料被移出該區(qū)域，這樣便造成該區(qū)域較大凹陷的形成。

圖2彈性層表面（z=0）接觸區(qū)域外的豎向位移變化

圖3 a=2b，v=0.3時層中各處徑向位移的變化

圖3為徑向位移的變化情況，從圖3可看出，材料的徑向流動主要集中在彈性薄層的中下部位約=2a的位置，表層和下交界面無徑向位移變化。故當壓頭作用于彈性薄層后，彈性薄層材料往≈2a的位置聚集，壓頭周圍彈性薄層中下部位材料的移出自然而然造成了上部材料的較大凹陷。

本文最大的創(chuàng)新點在于薄層無摩擦接觸問題中所有邊界條件得到了滿足，這源于位移分段函數(shù)的運用。然而，位移函數(shù)采取分段的形式卻帶來了一缺陷，即切應力在=a處并不連續(xù)，出現(xiàn)了階躍的現(xiàn)象。通過分析發(fā)現(xiàn)，這種現(xiàn)象主要是由于造成的，為了解決這個問題，分別擬定了的四種形式，并通過在圖4中進行對比，反應了每一個對切應力不連續(xù)問題所造成的影響。其中表示=a處，截面左端的切應力，而則表示該截面右端的切應力受影響。分別取值1、2、3、4。通過觀察可知，取時，可將切應力在=a處不連續(xù)的影響降到最低，誤差基本可忽略不計，不影響應力分量作為近似解的有效性及精確性。故采用作后續(xù)討論。同時，從圖4中不難看出，無論取何種形式，切應力在彈性薄層與基底接觸面處是恒連續(xù)的。

圖4 a = 2b，v = 0.3時r = a處D(z)對切應力不連續(xù)的影響

圖5 v = 0.3，a= 2b時z = 0.25b處應力隨徑向的變化

圖6 v = 0.3，a = 2b時r = 0處應力隨z軸的變化

圖7 v = 0.3，a = 2b時zr平面內(nèi)的Von Mises等效應力圖

5結論

本文基于彈性理論，通過擬定位移分段函數(shù)的方法，研究了彈性薄層的空間軸對稱接觸問題，并獲得薄層應力分量的解析解。所得結論如下：

（1）彈性薄層中最大壓入深度、接觸半徑及剛性

（2）彈性薄層上交界面和下交界面的正應力基本一致。

參考文獻：

[1]Johnson KL.Contact mechanics[M]. Cambridge:Cambridge university press,1987.

[2]Jaffar MJ.Asymptotic behaviour of thin elastic layers bonded and unbonded to a rigid foundation[J].International Journal of Mechanical Sciences,1989,31(3):229-235.

[3]Barber JR.Contact problems for the thin elastic layer[J].International Journal of Mechanical Sciences,1990,32(2):129-132.

[4]Ning X,Lovell M,Slaughter WS.Asymptotic solutions for axisymmetric contact of a thin transversely isotropic elastic layer[J].Wear,2006,260(7):693-698.

[5]Jaffar MJ.A numerical solution for axisymmetric contact problems involving rigid indenters on elastic layers[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids,1988,36(4):401-416.

[6]Popov GI.The contact problem of the theory of elasticity for the case of a circular area of contact[J].Journal of Applied Mathematics and Mechanics,1962,26(1):207-225.

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[12]Matthewson MJ.Axi-symmetric contact on thin compliant coatings[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1981,29(2):89-113.

[13]Popov VL.Contact mechanics and friction[J/OL].Springer Berlin Heidelberg,2010.

（責任編輯：朱彬）

Axisymmetric Contact Problem of the Bonded Elastic Thin Layer

ZHU Kai; ZHANG Xu; MA Qing
(College of Engineering and Technology, Zunyi Normal College, Zunyi 563002, China)

Abstract：The axisymmetric contact problem for the elastic thin layer bonded to rigid foundation is concerned on the basis of the theory ofelasticity.A method with the application of thedisplacementpiecewise function is presented to getthe stress components ofthe elastic thin layer, and analytical solution of the stress components is obtained finally. The method is simple and the defect of the application of Johnson’s assumption to space problems is remedied.

Key words：elastic thin layer; axisymmetric contact; stress components; piecewise function; Johnson’s assumption

作者簡介：朱凱，男，湖南婁底人，遵義師范學院工學院助教，碩士。研究方向：接觸力學與摩擦。

收稿日期：2015-09-12

中圖分類號：O343.3

文獻標識碼：A

文章編號：1009-3583（2016）-0107-04