周　霞，盛樂園，儲(chǔ)著松，胡午杰

阜陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽阜陽(yáng)，236037

?

一類具有混合時(shí)滯二階微分方程的脈沖指數(shù)穩(wěn)定性

周霞，盛樂園，儲(chǔ)著松，胡午杰

阜陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽阜陽(yáng)，236037

摘要：研究了一類具有混合時(shí)滯的二階脈沖微分方程解的穩(wěn)定性問題。選擇合適的V-函數(shù)，利用Lyapunov函數(shù)法，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法，依據(jù)穩(wěn)定性理論，給出一類具有混合時(shí)滯的二階微分方程在加入適當(dāng)脈沖后方程是可脈沖指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。最后舉例說明給出的穩(wěn)定性條件是有效的。

關(guān)鍵詞：二階微分方程；混合時(shí)滯；脈沖指數(shù)穩(wěn)定

1問題的提出

微分方程來(lái)自人類社會(huì)實(shí)踐，在工程技術(shù)、軍事、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、生物、生態(tài)等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。比如，利用常微分方程可以描述放射性物質(zhì)衰變過程，可以鑒別名畫的真?zhèn)?，可以鑒定發(fā)掘物的年齡；利用牛頓冷卻定理和常微分方程可以對(duì)刑事案件中的死亡時(shí)間進(jìn)行鑒定；利用高階微分方程，尤其是二階微分方程，可以描述炸彈在深水下的運(yùn)動(dòng)軌跡。具有時(shí)間滯后特征的微分方程，因?yàn)闀r(shí)延的存在可能導(dǎo)致其解的不穩(wěn)定性，甚至導(dǎo)致方程所描述的系統(tǒng)震蕩。為了能更好地應(yīng)用二階時(shí)滯微分方程，了解其解的性態(tài)(如穩(wěn)定性)是非常重要的。目前，關(guān)于二階時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性研究受到學(xué)界的廣泛關(guān)注[1-9]。

當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行過程發(fā)生突變，就可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定或震蕩，此時(shí)考慮加入合適的脈沖控制條件，減小突變情況對(duì)系統(tǒng)正常運(yùn)行的影響，并使其穩(wěn)定。因此，二階時(shí)滯脈沖微分方程解的穩(wěn)定性逐漸引起了學(xué)者的興趣，也有相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道[4-9]。在文獻(xiàn)[4-7]中，作者研究了幾類線性二階時(shí)滯脈沖微分方程解的指數(shù)穩(wěn)定性問題，并給出方程解脈沖指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。在文獻(xiàn)[8-9]中，作者研究了二階時(shí)滯脈沖微分方程解的指數(shù)穩(wěn)定性問題，與文獻(xiàn)[4-7]不同的是所研究的方程是非線性方程。文獻(xiàn)[4]探討了含有狀態(tài)變量的二階導(dǎo)數(shù)和具有離散時(shí)滯的狀態(tài)變量以及含有狀態(tài)變量的二階導(dǎo)數(shù)和具有分布時(shí)滯的狀態(tài)變量這兩類方程的脈沖指數(shù)穩(wěn)定條件。文獻(xiàn)[5]在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上，在所研究的方程中加入了狀態(tài)變量的一階導(dǎo)函數(shù)和狀態(tài)變量函數(shù)，并給出了方程的脈沖指數(shù)穩(wěn)定條件。文獻(xiàn)[6]在文獻(xiàn)[5]研究的基礎(chǔ)上考慮了具有分布時(shí)滯的一階狀態(tài)導(dǎo)函數(shù)，并給出了解的脈沖指數(shù)穩(wěn)定條件。文獻(xiàn)[7]在文獻(xiàn)[5]研究的基礎(chǔ)上考慮了具有離散時(shí)滯的一階狀態(tài)導(dǎo)函數(shù)，并給出了解的脈沖指數(shù)穩(wěn)定條件。文獻(xiàn)[8]在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上另外加入了有界的非線性項(xiàng)，并給出了方程解脈沖指數(shù)穩(wěn)定條件。文獻(xiàn)[9]改進(jìn)了文獻(xiàn)[5]中的方程，并加入了有界的非線性項(xiàng)，同時(shí)給出了方程解脈沖指數(shù)穩(wěn)定條件。然而，關(guān)于方程中同時(shí)含有狀態(tài)變量的二階導(dǎo)函數(shù)、狀態(tài)變量一階導(dǎo)函數(shù)、含有時(shí)滯的狀態(tài)變量一階導(dǎo)函數(shù)、狀態(tài)變量函數(shù)、含有離散時(shí)滯和分布時(shí)滯的狀態(tài)變量函數(shù)的二階脈沖混合時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性問題，還鮮見報(bào)道。本文將改進(jìn)文獻(xiàn)[6-7]所研究的方程，考慮含有狀態(tài)變量的二階導(dǎo)函數(shù)、狀態(tài)變量一階導(dǎo)函數(shù)、含有時(shí)滯的狀態(tài)變量一階導(dǎo)函數(shù)、狀態(tài)變量函數(shù)、含有離散時(shí)滯和分布時(shí)滯的狀態(tài)變量函數(shù)的二階脈沖混合時(shí)滯微分方程，并給出這類方程可脈沖指數(shù)穩(wěn)定的條件。

2問題描述和預(yù)備知識(shí)

主要考慮以下二階時(shí)滯微分方程：

(1)

對(duì)應(yīng)于(1)相關(guān)的脈沖微分方程：

(2)

3具有混合時(shí)滯的二階微分方程的脈沖指數(shù)穩(wěn)定性

(3)

成立，則方程(1)是可脈沖指數(shù)穩(wěn)定的。

證明由(3)式和實(shí)數(shù)的稠密性可知，存在α>0及l(fā)≥τ使得：

(4)

對(duì)?ε>0，令：

當(dāng)(2)式的解x(t;t0,φ(t0),y0)滿足：

時(shí)，對(duì)?t≥t0，有：

事實(shí)上，首先當(dāng)t∈[t0,t1)，取Lyapunov函數(shù)：

則v(t)具有以下性質(zhì)：

v′(t)=2x(t)x′(t)+2x′(t)x″(t)+

但音樂一響，嘉琪就跟換了個(gè)人一樣，爆發(fā)力十足，后臺(tái)的參賽選手紛紛起立瘋狂地為她喝彩：“你看到那個(gè)女孩了嗎？她能戰(zhàn)勝所有人?！惫黄淙唬午髂孟铝颂?hào)稱“街舞界奧斯卡”第四名的好成績(jī)，頂級(jí)舞者夸她跳起舞來(lái)就像一個(gè)洋娃娃，非常自信。嘉琪卻說自己比賽時(shí)，其實(shí)并沒有想著一定要贏，滿腦子只有音樂和節(jié)奏，“不論年紀(jì)大小，經(jīng)驗(yàn)多少，你必須尊重自己的對(duì)手。就是要努力，要真的盡全力去跳，哪怕最后輸了，也是一種尊重?！?/p>

=2x(t)x′(t)-2p1(t)x′2(t)-2p2(t)x′(t)x′(t

-τ1)-2p3(t)x′(t)x(t)-2p4(t)x′(t)x(t

τ2)]+b(x′2(t)-x′2(t-τ1))

≤x2(t)+x′2(t)+b(x′2(t)+x′2(t-τ1))

+c(x2(t)+x′2(t))+d(x′2(t)+x2(t-τ2))

dx′2(t)+eτ3x2(t)+eτ3x′2(t)+dx2(t)

+bx′2(t)

=(1+c+eτ3+d)x2(t)+(1+2b+c+

則x2(t)+x′2(t)≤v(t)

≤v(t0)exp[(1+2b+c+d+eτ3)(t1-t0)]

exp[(1+2b+c+d+eτ3)(t1-t0)

d+eτ3)(t1-t0)

≤ε2exp[-2α(t1-t0)]

(5)

Mk(u)=Nk(u)=udk，k∈N

(6)

pk=exp[-2α(tk+1-tk+τ)]exp[-1+2b

由(4)式和pk定義，可得dk≤1及

(7)

當(dāng)t=t1時(shí)，有

x2(t1)+x′2(t1)

≤ε2exp(-2α(t1-t0))

(8)

從而v′(t)≤(1+2b+c+d+eτ3)v(t)，因此有：

x2(t)+x′2(t)≤v(t)

=exp[(1+2b+c+d+eτ3)(t2-t1)]

=exp[(1+2b+c+d+eτ3)(t2-t1)]

≤exp[(1+2b+c+d+eτ3)(t2-t1)]

(9)

由(5)式可得：

≤εexp[-α(t1-t0-τ)]

(10)

把(7)和(10)代入(9)可得：

(11)

將(8)式代到(11)式：

≤εexp(-α(t-t0))，t∈[t1,t2)

≤εexp(-α(t-t0)), t∈[tn+1,tn+2)

由數(shù)學(xué)歸納法可知，當(dāng)t∈[tk-1,tk), k∈N時(shí)，都有不等式

t∈[tk-1,tk),k∈N

(12)

成立，則方程(1)是可脈沖指數(shù)穩(wěn)定的。

證明：由式(12)可知，存在α>0及l(fā)≥τ使得

exp{-[1+(2a+2b+c+d+eτ3)]l}

(13)

對(duì)?ε>0，令：

t∈[t0,t1)

pk=exp[-2α(tk+1-tk+τ)]exp{-[1+

(2a+2b+c+d+eτ3)](tk+1-tk)}

類似于定理1的證明過程可得：

≤εexp(-α(t-t0))

t∈[t1,t2)

由數(shù)學(xué)歸納法可知，當(dāng)t∈[tk-1,tk)時(shí)，滿足等式：

≤εexp(-α(t-t0))

(14)

Bτ1+Dτ2

(15)

應(yīng)該為

例1考慮如下的二階混合時(shí)滯微分方程的脈沖指數(shù)穩(wěn)定性。

(16)

方程(16)的特征方程為：

圖1

圖2

λ3+λ2-0.1λ2exp(-0.3λ)-λ-

0.9λexp(-0.3λ)+exp(-0.3λ)-1=0

求得λ=1為方程(16)的特征根，故方程(16)不穩(wěn)定(圖1)，但加入合適的脈沖條件可使其脈沖指數(shù)穩(wěn)定(圖2)。為了方便驗(yàn)證，在定理1中取b=0.1,c=1,d=0.9,e=1,τ1=τ2=τ3=0.3,通過計(jì)算可得:

=exp(-1.02)=0.3606

≤exp[-(1+2b+c+d+eτ3)τ]

成立。找到l=0.3及α=0.01，有：

=exp(-1.032)=0.3563

使得定理1證明過程中

因此滿足定理1的所有條件，所以方程(1)是可脈沖指數(shù)穩(wěn)定的。利用本文的條件，當(dāng)時(shí)滯τ1=τ2=τ3=0.3時(shí)，方程(1)是可脈沖穩(wěn)定的，而文獻(xiàn)[6]中，能使得方程脈沖指數(shù)穩(wěn)定的時(shí)滯為τ=0.05，文獻(xiàn)[7]中，能使得方程脈沖指數(shù)穩(wěn)定的時(shí)滯為τ=0.2。從本例也能看出，本文的結(jié)果更優(yōu)。

參考文獻(xiàn)：

[1]Dingheng Pi．On the stability of a second order retarded differential equation[J]．Applied Mathematics and Computation,2015,256:324-333

[2]Guiling Chen,Onno van Gaans,Sjoerd Verduyn Lunel．Asymptotic behavior and stability of second order neutral delay differential equations[J]．Indagationes Mathematicae,2014,25:405-426

[3]Leonid Berezansky,Alexander Domoshnitsky,Mikhail Gitman,Valery Stolbov．Exponential stability of a second order delay differential equation without damping term[J]．Applied Mathematics and Computation, 2015,258:483-488

[4]Xiang Li,Peixuan Weng．Impulsive stabilization of two kinds of second-order linear delay differential equations[J]．J Math Anal Appl，2004,291:270-281

[5]Aizhi Weng,Jitao Sun．Impulsive stabilization of second-order delay differential equations[J]．Nonlinear Analysis:Real World Applications,2007,8:1410-1420

[6]廖成斌，趙立春．二階時(shí)滯微分方程的脈沖指數(shù)穩(wěn)定性[J]．蘭州交通大學(xué)學(xué)報(bào),2009,28(1):157-160

[7]黃燦云,趙立春,趙閩．一類二階時(shí)滯微分方程的脈沖指數(shù)穩(wěn)定性[J]．甘肅科學(xué)學(xué)報(bào)，2009,21:10-13

[8]L P Gimenes,M Federson．Existence and impulsive stability for second order retarded differential equations[J]．Applied Mathematics and Computation,2006,177:44-62

[9]王宗毅．一類二階時(shí)滯微分方程脈沖解的存在性與指數(shù)穩(wěn)定性[J]．華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013,45(3):22-27

(責(zé)任編輯：汪材印)

Impulsive Exponential Stabilization of a Class of Second-order Differential Equation with Mixed Delay

ZHOU Xia，SHENG Leyuan，CHU Zhusong，HU Wujie

School of Mathematics and Statistics Fuyang Teachers College,Fuyang Anhui ,236037

Abstract:The stabilization problem of a class of second-order impulsive differential equations with mixed delay is studied in this paper. By choosing the appropriate V-function, employing the method of Lyapunov function, combining with the mathematical induction, and according to the stabilization theory, sufficient criteria in exponential stabilization by inpulses are gained. Finally, an example is given to illustrate the validity of the obtained stabilization conditions.

Key words:second-order differential equation; mixed delay; impulsive exponential stabilization

中圖分類號(hào)：O175.13

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-2006(2016)01-0097-05

作者簡(jiǎn)介：周霞(1981-)，女，陜西商州人，博士，副教授，主要研究方向：隨機(jī)微分方程穩(wěn)定性，脈沖微分方程穩(wěn)定性。

基金項(xiàng)目：安徽省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目“二階變系數(shù)常微分方程的求解及穩(wěn)定性研究”(AH201410371080)；安徽省教育廳高等教育振興計(jì)劃人才項(xiàng)目(皖教秘人[2014]181號(hào))。

收稿日期：2015-09-10

doi:10.3969/j.issn.1673-2006.2016.01.027 10.3969/j.issn.1673-2006.2016.01.028