婁聯(lián)堂，但　威，陳佳騏

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

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數(shù)字圖像連續(xù)表示及應(yīng)用

婁聯(lián)堂，但威，陳佳騏

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

摘要研究了離散圖像的連續(xù)表示及重建問(wèn)題.首先利用弦理論，給出了圖像的連續(xù)表示形式，然后利用付里葉變換實(shí)現(xiàn)了圖像連續(xù)表示及重建的快速算法，接著將它們應(yīng)用于圖像無(wú)級(jí)縮放、圖像平滑、邊緣檢測(cè)、角點(diǎn)檢測(cè)，并與傳統(tǒng)離散圖像處理方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：利用圖像連續(xù)表示方法處理離散圖像可以得到不差于傳統(tǒng)的離散圖像處理方法處理的結(jié)果，此方法使離散圖像的解析法處理成為可能.

關(guān)鍵詞離散圖像的連續(xù)表示；圖像重建；邊緣檢測(cè)；角點(diǎn)檢測(cè)；圖像平滑

Continuous Representation of Digital Image and Its Application

LouLiantang,DanWei,ChenJiaqi

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074,China)

AbstractThe continuous representation and reconstruction of discrete image are studied. Firstly, the continuous representation of image is given by string theory. Then, the fast algorithm of continuous image representation and reconstruction are implemented by Fourier transform. Next, the algorithm is applied to image zooming, image smoothing, edge detection and corner detection. Finally, the algorithm is compared with traditional discrete image processing method by some experiments. The results show that the effect of this method is not worse than the traditional discrete image processing method. The method makes it possible to process discrete image analytically.

Keywordscontinuous representation of discrete image; reconstruct of image; edge detection; corner detection; image smoothing

現(xiàn)有圖像處理的相關(guān)理論相當(dāng)一部分都是建立在對(duì)數(shù)字圖像的離散[1]的表示形式上，然而采用離散形式對(duì)求解圖像上某一位置的梯度或高階導(dǎo)數(shù)有較大影響，如在邊緣檢測(cè)[2]、角點(diǎn)檢測(cè)[3]中.在其他數(shù)字圖像處理技術(shù)如圖像平滑[4]中，通常所構(gòu)建的平滑函數(shù)是連續(xù)的，但是由于圖像的離散表示，使得平滑函數(shù)的應(yīng)用變成了構(gòu)建相應(yīng)的模板來(lái)對(duì)圖像進(jìn)行處理.傳統(tǒng)的圖像處理方法是離散方法，使很多經(jīng)典的分析方法無(wú)用武之地，本文嘗試提出了一種基于弦理論的圖像連續(xù)表示形式，用一個(gè)二元連續(xù)函數(shù)表示一幅離散圖像，對(duì)離散圖像的平滑與銳化都可以直接用二元連續(xù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)和積分解析方法處理，因此與離散圖像相比，它便于人們用數(shù)學(xué)分析方法來(lái)進(jìn)行圖像處理，且處理速度不會(huì)比離散方法低.離散圖像的連續(xù)表示使離散圖像解析法處理成為可能.

本文將給出數(shù)字圖像的弦表示、數(shù)字圖像連續(xù)表示及重建算法、圖像連續(xù)表示形式在圖像平滑、邊緣檢測(cè)、角點(diǎn)檢測(cè)等方面的應(yīng)用，最后給出了圖像無(wú)級(jí)縮放[5]、邊緣檢測(cè)、角點(diǎn)檢測(cè)、圖像平滑的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并與它們對(duì)應(yīng)的傳統(tǒng)離散圖像處理方法進(jìn)行對(duì)比.

1數(shù)字圖像的弦表示

對(duì)于一維開(kāi)弦x(σ)，σ∈[0,π]若滿足Dirichlet(狄利克雷)邊界條件：

x(0)=x(π)=0.

(1)

對(duì)于x(σ)可由正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)得到：

(2)

其中：

(3)

推廣到二維空間，若D=[0,π]×[0,π]上連續(xù)的函數(shù)f(x,y)滿足下列條件，當(dāng)(x,y)∈?D時(shí)，f(x,y)=0，則f(x,y)可表示為：

(4)

其中：

(5)

因此，對(duì)于離散圖像f(x,y)(1≤x≤w，1≤y≤h,其中w，h分別為圖像的寬度和高度)，對(duì)其四周進(jìn)行擴(kuò)展，可令在x=0,x=w+1,y=0，y=h+1時(shí)，f(x,y)=0，擴(kuò)展后的數(shù)字圖像仍記為f(x,y).此外考慮離散數(shù)字圖像的帶寬是有限的，并且當(dāng)m,n較大時(shí), 高頻分量Fm,n較小，可忽略不計(jì)，假設(shè)m,n的最大值分別為M,N(1≤M≤w,1≤N≤h)，則數(shù)字圖像f(x,y)可近似表示為：

(6)

其中0≤x≤w+1,0≤y≤h+1，

(7)

(6)式和(7)式實(shí)現(xiàn)了離散圖像f(x,y)的連續(xù)表示和重建，由(7)式數(shù)字圖像f(x,y)計(jì)算得到Fm,n后，通過(guò)(6)式便可重建圖像，得到其連續(xù)表達(dá)式：

(x,y)∈[0,W+1]×[0,H+1],

(8)

其中W,H分別為重建后的圖像寬度和高度.

2數(shù)字圖像連續(xù)表示及重建快速算法

要用(6)式來(lái)表示離散圖像f(x,y)需要計(jì)算Fm,n，下面用付里葉變換實(shí)現(xiàn)Fm,n的快速計(jì)算.由歐拉公式可知，(7)式可化為如下形式：

f12(x,y)+f21(x,y)-f22(x,y)).

(9)

其中F表示二元函數(shù)的付里葉變換，0≤x≤2w+1，0≤y≤2h+1.

f12(x,y)=

f21(x,y)=

f22(x,y)=

通過(guò)所求出的Fm,n，利用(8)式可以重建圖像，設(shè)W,H分別為重建后的圖像寬度和高度，與上面類似有：

(10)

其中F-1表示二元函數(shù)的付里葉逆變換，0≤m≤2W+1,0≤n≤2H+1，且

F(12)=

F(21)=

F(22)=

設(shè)高頻分量個(gè)數(shù)分別為M,N(M≤w,N≤h)，則圖像連續(xù)表示算法步驟如下.

圖像重建過(guò)程是圖像連續(xù)表示的逆過(guò)程，其重建之后的寬度W和高度H可以與原圖像的尺寸w×h不同，重建之后的圖像可以實(shí)現(xiàn)圖像無(wú)級(jí)縮放.

3數(shù)字圖像連續(xù)表示的應(yīng)用

3.1圖像平滑

f(x,y)*e-(α|x|+β|y|)=

F-1(-F(11)*A+F(12)*A+F(21)*A-F(22)*A),

(11)

其中D∈{(s,t)|x-rx≤s≤x+rx,y-ry≤t≤y+ry},D′∈{(s,t)|-rx≤s≤rx,-ry≤t≤ry},α和β為二維高斯平滑函數(shù)的系數(shù)，rx,ry分別為窗口水平方向和垂直方向的半徑，二元運(yùn)算*表示兩個(gè)矩陣的點(diǎn)乘，

3.2圖像邊緣檢測(cè)

由(6)式直接求導(dǎo)可以得到圖像的任意階導(dǎo)數(shù)，即：

G(12)-G(21)+G(22)),

(12)

其中a,b分別為x,y方向?qū)?shù)的階數(shù)，G(11)=F(11)manb,G(12)=F(12)(2(W+1)-m)anb,G(21)=F(21)ma(2(H+1)-n)b,G(22)=F(22)(2(W+1)-m)a(2(H+1)-n)b.

利用上式并選擇合適的邊緣檢測(cè)算子可以實(shí)現(xiàn)圖像的邊緣檢測(cè)，本文采用微分梯度算子.一階導(dǎo)數(shù)是最簡(jiǎn)單的算子，每個(gè)像素點(diǎn)梯度grad(f)幅度為：

(13)

其中fx,fy分別為x,y方向的一階導(dǎo)數(shù).

3.3圖像角點(diǎn)檢測(cè)

1988年Harris提出了Harris角點(diǎn)檢測(cè)算法，其角點(diǎn)響應(yīng)函數(shù)為：

CRF(x,y)=det(M)-k(trace(M))2=

(AB-C2)-k(A+B)2,

(14)

利用(12)式計(jì)算fx,fy,代入到(14)式中求出其角點(diǎn)響應(yīng)函數(shù)CRF，當(dāng)目標(biāo)像素點(diǎn)的CRF值大于或等于給定的閾值t時(shí), 該像素點(diǎn)即為角點(diǎn).

4實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證圖像連續(xù)表示法應(yīng)用的可行性，本文在Windows7下使用Matlab7.10.0進(jìn)行圖像連續(xù)表示法的各種應(yīng)用及其對(duì)比實(shí)驗(yàn).

圖像縮放常用的有插值算法，如最臨近插值、雙線性插值、三次卷積插值.本文將圖像重建之后的圖像無(wú)級(jí)縮放與系統(tǒng)的線性插值作對(duì)比，圖1(a)是一幅256×256的圖像，圖1(b)是用雙線性插值法對(duì)圖1(a)的寬度和高度放大兩倍得到的實(shí)驗(yàn)圖像(為擺放整齊，文中圖像大小被調(diào)成一樣的)，圖1(c)是用雙線性插值法對(duì)圖1(a)縮小兩倍得到的實(shí)驗(yàn)圖像，圖1(d)是利用本文重建算法對(duì)圖1(a)的寬度和高度放大兩倍得到的實(shí)驗(yàn)圖像，兩者之間的誤差為2.47812461×103(圖像誤差采用Matlab中系統(tǒng)函數(shù)norm范式，下同)，每個(gè)像素的平均誤差分別為0.00945；圖1(e)是利用本文重建算法對(duì)圖1(a)縮小兩倍得到的實(shí)驗(yàn)圖像，兩者之間的誤差為1.7374220×103，每個(gè)像素的平均誤差為0.10604.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：圖像連續(xù)表示法的無(wú)級(jí)縮放可以得到用雙線性插值法縮放圖像同樣好的效果，并且誤差都比較小.

圖1　圖像無(wú)級(jí)縮放 Fig.1　Image zooming

圖2給出了圖像平滑實(shí)驗(yàn)結(jié)果，圖2(a)為原始超聲圖像，圖2(b)為調(diào)用Matlab自帶的高斯平滑函數(shù)得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其中高斯平滑系數(shù)σ取值為1.6，窗口大小為5×5. 圖2(c)為本文連續(xù)表示形式下的圖像平滑結(jié)果，其中，平滑系數(shù)取α=β=0.1，窗口大小系數(shù)rx=ry=5，兩者之間的誤差為1.0722410×104，每個(gè)像素的平均誤差為0.16361.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：圖像連續(xù)表示法進(jìn)行圖像平滑處理可以得到用高斯平滑處理同樣好的效果，兩者誤差比較小.

圖2　圖像平滑F(xiàn)ig.2　Image smoothing

Sobel算子是圖像邊緣檢測(cè)微分算子法中的一個(gè)經(jīng)典算子，本文方法與Sobel邊緣檢測(cè)對(duì)比的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示，圖3(a)為原始圖像，圖3(b)是用Sobel算子進(jìn)行邊緣檢測(cè)的結(jié)果，圖3(c)是用圖像連續(xù)表示方法進(jìn)行邊緣檢測(cè)的結(jié)果，兩者的誤差為1.3500283×104. 實(shí)驗(yàn)表明本文方法可以準(zhǔn)確檢測(cè)到圖像邊緣.

圖3　邊緣檢測(cè)Fig.3　Edge detection

本文角點(diǎn)響應(yīng)函數(shù)選取的是Harris角點(diǎn)響應(yīng)函數(shù)，與經(jīng)典Harris角點(diǎn)檢測(cè)作對(duì)比的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示.

圖4　角點(diǎn)檢測(cè) Fig.4　Corner detection

圖4(a)為原始圖像，圖4(b)為經(jīng)典Harris角點(diǎn)檢測(cè)結(jié)果，圖4(c)是用圖像連續(xù)表示方法進(jìn)行角點(diǎn)檢測(cè)的結(jié)果，兩者誤差為1.096174×103，每個(gè)像素的平均誤差只有0.01672.在角點(diǎn)檢測(cè)的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)中，都是先用響應(yīng)函數(shù)求出每一點(diǎn)的CRF值，然后選取3×3范圍內(nèi)CRF值最大且該值大于所求取圖像中CRF值最大值1%，滿足這樣條件的點(diǎn)即為圖像的角點(diǎn).通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)可知，圖像連續(xù)表示方法可以用于角點(diǎn)檢測(cè).

通過(guò)上述對(duì)比實(shí)驗(yàn)可知，不僅可以用離散圖像的連續(xù)表示方法表示圖像、在圖像連續(xù)表示形式下重建圖像，并且還用解析方法對(duì)離散圖像進(jìn)行處理，均取得不錯(cuò)的效果，說(shuō)明離散圖像的連續(xù)表示在離散圖像解析法處理方面是可行的.

參考文獻(xiàn)

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中圖分類號(hào)TP751.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

文章編號(hào)1672-4321(2016)01-0136-05

基金項(xiàng)目國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60975011)；中南民族大學(xué)中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(YZZ13003;CZW15051)

作者簡(jiǎn)介婁聯(lián)堂(1966-)，男，教授，博士，研究方向：數(shù)學(xué)應(yīng)用方法與圖像處理，E-mail: louliantang@163.com

收稿日期2015-11-27