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圖象的應(yīng)用及延伸

◇河北周寶祥

類比是一種常用科學(xué)的研究方法．對于直線運動,教科書中講解了由v-t圖象求位移的方法——面積法．此方法可以做適當(dāng)?shù)难由?很多物理量都可以用類似的方法求解.近年的高考題也多次體現(xiàn)了這種方法的應(yīng)用.究竟什么樣的物理量可以用這種方法求解，什么樣的物理量不可以用這種方法求解呢?下面舉例分析．

1面積法的適用范圍

A由a-t(加速度-時間)圖線和橫軸圍成的面積可以求出對應(yīng)時間內(nèi)做直線運動物體的速度變化量;

B由F-v(力-速度)圖線和橫軸圍成的面積可以求出對應(yīng)速度變化過程中力做功的功率;

C由F-x(力-位移)圖線和橫軸圍成的面積可以求出對應(yīng)位移內(nèi)力所做的功;

D由ω-r(角速度-半徑)圖線和橫軸圍成的面積可以求出對應(yīng)半徑變化范圍內(nèi)做圓周運動物體的線速度

小結(jié)這道題告訴了我們類比方法的適用范圍,只有一個物理量是對另一個物理量的積累時才可以用.

2面積法求功

把蹦床簡化為一個豎直放置的輕彈簧,彈力大小F=kx(x為床面下沉的距離,k為常量).質(zhì)量m=50kg的運動員靜止站在蹦床上,床面下沉x0=0.10m.在預(yù)備運動中,假定運動員所做的總功W全部用于增加其機(jī)械能.在比賽動作中,把該運動員視作質(zhì)點,其每次離開床面做豎直上拋運動的騰空時間均為Δt=2.0s.設(shè)運動員每次落下使床面壓縮的最大深度均為x1．重力加速度g取10m·s-2,忽略空氣阻力的影響.

(1) 求常量k,并畫出彈力F隨x變化的示意圖;

(2) 求在比賽動作中,運動員離開床面后上升的最大高度hmax;

(3) 借助F-x圖象可以確定彈力做功的規(guī)律,在此基礎(chǔ)上,求x1和W的值.

圖1

(2) 運動員從x=0處離開床面開始騰空,其上升和下落時間對稱,所以

求得

對整個預(yù)備過程,由題設(shè)條件和動能定理得

W=2525 J≈2.5×103J.

3面積法求速度

圖2　　　　　　　　　　圖3

(1) 求電梯在上升過程中受到的最大拉力F1和最小拉力F2.

(2) 類比是一種常用的研究方法．對于直線運動,教科書中講解了由v-t圖象求位移的方法．請你借鑒此方法,對比加速度和速度的定義,根據(jù)圖3所示的a-t圖象,求電梯在第1秒內(nèi)的速度改變量Δv1和第2秒末的速率v2.

(3) 求電梯以最大速率上升時,拉力做功的功率P.再求在0～11 s時間內(nèi),拉力和重力對電梯所做的總功W.

(2) 由加速度的定義式a=Δv/Δt得Δv=aΔt,類比v-t圖象,速度的變化量Δv等于a-t圖線與坐標(biāo)軸所包圍的面積,故電梯在第1秒內(nèi)的速度改變量Δv1=0.5 m·s-1.

同理，可以求得前2 s內(nèi)電梯速度的改變量Δv2=1.5 m·s-1,由于v0=0,所以2 s末電梯的速率v2=1.5 m·s-1.

(3) 當(dāng)a=0時速度最大．由a-t圖象可知,電梯在11 s末速度達(dá)到最大,在11 ～30 s時間內(nèi)做勻速運動,此時拉力F=mg=2.0×104N．由a-t圖象面積求得vmax=10 m·s-1,故

P=Fvmax=2.0×105W.

由動能定理,拉力和重力做的總功

有些題目我們用常規(guī)方法來做比較煩瑣，甚至很難做出來,這時候我們可以換個角度利用圖象來解決,往往會豁然開朗.需要注意的是在應(yīng)用圖象法解題之前，一定要先判斷這個方法適不適用.

(作者單位：河北省秦皇島市撫寧區(qū)第一中學(xué))