☉江蘇省無錫市塔影中學　華　琳

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概率統(tǒng)計教學重在情境引入，貴在挖掘內(nèi)涵——從一節(jié)概率教學公開研討課談起

☉江蘇省無錫市塔影中學華琳

一、背景介紹

近日，筆者參加了一次數(shù)學教研活動，課題定位概率統(tǒng)計的研討課“哪種方式更合算”，本課圍繞在日常生活中經(jīng)常會遇到的各種搖獎活動，通過以前的學習，學生已初步認識了在這些活動中獲勝或獲獎的可能性，但尚未具有正確的評判能力和決策能力展開.從備課到磨課到專家點評，收益頗豐.現(xiàn)將課堂實錄展示出來，與各位同行探討.

二、課堂實錄

（一）創(chuàng)設情境，問題引入

也許你曾被大幅的彩票廣告所吸引，也許你曾經(jīng)歷過各種搖獎促銷活動.你研究過獲得各種獎項的可能性嗎？你想知道每一次活動的平均收益嗎？讓我們一起來研究其中的奧秘吧！

師：我們在日常生活中，經(jīng)常會遇到各種搖獎活動，下面就是一例.

圖1

某商場為了吸引顧客，設立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤1（如圖1），并規(guī)定：顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會.如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得100元、50元、20元的購物券，憑購物券可以在該商場繼續(xù)購物，如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，那么可以直接獲得購物券10元.轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購物券，你認為哪種方式更合算？

師：當轉(zhuǎn)盤停止后，指針可能落在哪些區(qū)域？獲得購物券的機會分別有多大？

生：指針可能指向各種顏色的區(qū)域，根據(jù)各種顏色的區(qū)域在轉(zhuǎn)盤中所占的比例：紅色為，黃色為，綠色為，白色為，那么可能獲得100元、50元、20元購物券的概率分別為0.05、0.1和0.2，指針指向白色區(qū)域的概率為0.65，此時不能獲得購物券.

師：如果不轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，可以直接獲得購物券10元，如果轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，就會出現(xiàn)多種可能的結(jié)果，放棄轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，意味著放棄了獲得100元、50元、20元購物券的機會.如果不放棄，就意味著有可能連獲得10元購物券的機會也沒有了，那么該如何選擇比較合算呢？下面我們先來做一個實驗，也許你會從中找到解決這個問題的辦法.

（二）動手實驗，揭示規(guī)律

安排學生活動.

（1）每四人組成一個合作學習小組，用課前制作的轉(zhuǎn)盤，通過實驗的辦法（每組實驗100次）分別求出獲得100元、50元、20元購物券及未能獲得購物券的頻率，并據(jù)此估計每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)，看看轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購物券，哪種方式更合算.

（2）全班交流，看看各小組的結(jié)論是否一致，并將各組的數(shù)據(jù)匯總（如表1），計算每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲得購物券金額的平均數(shù).

表1：轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤實驗的結(jié)果

師：你在實驗中是如何計算每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)的呢？

當做100次實驗時，設獲得100元購物券的頻率為a1，獲得50元購物券的頻率為a2，獲得20元購物券的頻率為a3，未能獲得購物券的頻率為a4，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義，可得每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)為：

100a1+50a2+20a3+0a4=100a1+50a2+20a3（元）.

學生從統(tǒng)計表中可以看到匯總?cè)嗟臄?shù)據(jù)以后，總體上指針停在每種顏色區(qū)域上的頻率更接近各顏色的區(qū)域與整個轉(zhuǎn)盤的面積比.即當試驗次數(shù)很大時，a1、a2、a3、a4將穩(wěn)定于和它相應的理論概率.此時，我們可以用實驗頻率來估計理論概率.

師：把上圖的轉(zhuǎn)盤改為圖2所示的轉(zhuǎn)盤2，如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客仍分別獲得100元、50元、20元的購物券，與轉(zhuǎn)盤1比，哪一個轉(zhuǎn)盤對顧客更合算？如果改用圖3中的轉(zhuǎn)盤3呢？

圖2

圖3

生交流討論.

師：轉(zhuǎn)盤2和轉(zhuǎn)盤1對顧客而言結(jié)果是一樣的.因為指針落在紅色區(qū)域、黃色區(qū)域和綠色區(qū)域的可能性沒有變.轉(zhuǎn)盤3和轉(zhuǎn)盤1對顧客而言結(jié)果不一樣，轉(zhuǎn)盤3對顧客來說更合算.因為未獲購物券和獲得50元購物券的可能性沒有變化，獲得20元購物券的可能性減少，獲得100元購物券的可能性增加.

（三）理論計算，構(gòu)建認知

師：如果不用試驗的方法，你能求出每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)嗎？

生：由圖2我們知道，每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，獲得100元購物券的概率為，獲得50元購物券的概率為，獲得20元購物券的概率為，理論上可以認為轉(zhuǎn)動n次轉(zhuǎn)盤，獲得100元購物券的次數(shù)為n次，獲得50元購物券的次數(shù)為n次，獲得20元購物券的次數(shù)為n次，所以每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)應該是：

同理，使用轉(zhuǎn)盤3，每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)應該是：

師：這種算法我們曾經(jīng)在哪里用過嗎？

生：這種算法與上一節(jié)小明估算農(nóng)村居民的人均純收入的方法是一致的.

（四）討論交流，辨析理解

師：小亮根據(jù)轉(zhuǎn)盤2，繪制了一個扇形統(tǒng)計圖（如圖4），據(jù)此他認為，每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)是100×5%+50×10%+20×20%=14（元）.你能解釋小亮這樣做的道理嗎？

圖4

生：我認為小亮的算法是有道理的.

由圖2可知：自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，指針落在紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域的可能性大小即概率分別為、，我們可以把看作權(quán)重，因此小亮繪制的扇形統(tǒng)計圖，反映了轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針指向紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域的權(quán)重.由加權(quán)平均數(shù)的計算公式就可求出轉(zhuǎn)盤每轉(zhuǎn)動一次所獲購物券金額的平均數(shù)是：

100×5%+50×10%+20×20%=14（元）.

師：按小亮的算法，小明一組轉(zhuǎn)了100次，總共獲得購物券應為1400元，可實際上他們總共獲得購物券是1320元.這是為什么呢？

生：因為用小亮的方法計算的平均數(shù)是用理論概率計算出來的，但實際上的頻率很難和理論概率完全相同.

師：大家對實際生活中存在的不確定現(xiàn)象的認識是正確的，其實實驗次數(shù)很多時，實驗結(jié)果應該和理論值相近，但實驗次數(shù)再多，也很難保證實驗結(jié)果與理論值相等，這是我們作出決策和評判時應該具備的隨機觀念.

（五）隨堂練習，鞏固深化

改用另一個轉(zhuǎn)盤進行上面的活動，小穎根據(jù)實驗數(shù)據(jù)繪制出扇形統(tǒng)計圖（如圖5），求每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù).

圖5

生：根據(jù)扇形統(tǒng)計圖，可知每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)是：

100×10%+50×15%+20×25%=22.5（元）.

（六）歸納總結(jié)，自我評價

這節(jié)課我們繼續(xù)經(jīng)歷了解決問題的活動過程，學會如何評判某件事情是否“合算”，通過具體問題情境，掌握了一定的判斷方法，提高了決策能力；通過探索“平均收益”的計算方法，領會到隨機數(shù)學與確定數(shù)學之間的聯(lián)系.經(jīng)歷了實驗估計和理論計算的過程，進一步體會到概率與統(tǒng)計之間的聯(lián)系，更好地建立了隨機觀念.

三、教學思考

對于概率與統(tǒng)計的教學，在教學中筆者進行了以下的探索與實踐，現(xiàn)將幾點心得體會與大家交流分享.

1.注重學生的活動，特別是小組合作活動的組織與教學

概率統(tǒng)計的教學難在學生對事件發(fā)生的隨機性的理解，而要在統(tǒng)計中運用隨機性來正確地解決實際問題，對學生又有更高的要求.本課涉及隨機變量的均值的計算，對學生的思維具有較大的挑戰(zhàn)性，雖然學生已學過加權(quán)平均數(shù)，但那畢竟是靜態(tài)的數(shù)學.如何將它和頻率與概率的知識結(jié)合起來，是學生理解理論計算的關鍵.在交流合作中，通過相互幫助，讓所有學生都能得到發(fā)展，達到共同進步的目的，獲得數(shù)學活動經(jīng)驗與體驗.

2.教學中數(shù)據(jù)要真實可靠，呈現(xiàn)方式宜多種多樣

教學中，首先，要通過設置適合的問題情境，引起學生的認知沖突，激發(fā)學生的探究欲望.其次，要善于尋找知識聯(lián)系，教師通過構(gòu)筑認知平臺，為學生建立知識聯(lián)結(jié)提供幫助.如引導學生通過列表統(tǒng)計小組數(shù)據(jù)并匯總?cè)嗤瑢W的數(shù)據(jù)；引導學生理解轉(zhuǎn)盤中的幾何概率與實驗頻率之間的關系；把學過的權(quán)重概念和頻率聯(lián)系起來，借助于頻率在大數(shù)次實驗下估計理論概率的核心知識，再過渡到隨機變量的均值的理論計算.實現(xiàn)了學生對學過的知識有更進一步的理解又順應到新知識的建構(gòu)之中.

3.注意課程資源的利用和開放，培養(yǎng)學生的隨機觀念

學生對知識的理解需要有個內(nèi)化的過程，而在學習層面上讓學生經(jīng)歷有意義的數(shù)學活動十分關鍵，只有學生在積累了足夠的數(shù)學經(jīng)驗后，才能自主建構(gòu)完整的知識體系.因此本課按照“直覺猜想、實驗感悟、理論計算、實踐應用”的認知規(guī)律進行教學設計，充分體現(xiàn)了以學生為主的教學理念.將實驗估算和理論計算結(jié)合起來，促進學生建立正確的隨機觀念，并體現(xiàn)隨機數(shù)學在解決實際問題中的巨大價值.

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大出版社，2012.

2.展國培.有效教學，從關注學生開始［J］.中小學數(shù)學（初中），2013（1）.