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追求學(xué)生自主探究的數(shù)學(xué)課堂*

☉江蘇省蘇州中學(xué)園區(qū)校耿恒考

*江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點課題“培養(yǎng)初中學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的策略研究”（課題編號：E-b/2013/011）.

著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.”因此，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成理解性探究的學(xué)習(xí)方法.一次公開課教學(xué)中，執(zhí)教的內(nèi)容是蘇科版數(shù)學(xué)七年級下冊的“零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪”.設(shè)計本課的宗旨是：“以生為本”“為理解而教”，培養(yǎng)“理解性探究”的學(xué)習(xí)方法，課堂教學(xué)的理念是：讓學(xué)生充分參與、自主探究，讓學(xué)生思維活躍起來.本課教學(xué)得到師生的充分好評.現(xiàn)將主要教學(xué)過程整理出來，并作必要的思考總結(jié)，與大家分享.

一、課堂教學(xué)實錄

1.情境引路，提出問題

師：在生物課上我們知道生物的生長離不開細(xì)胞的分裂和分化，下面請同學(xué)們看一段細(xì)胞分裂的動畫.

多媒體動畫顯示：一個細(xì)胞分裂一次由1個變成2個，分裂兩次由2個變成4個，分裂三次由4個變成8個，分裂四次由8個變成16個.

師：請思考細(xì)胞分裂的次數(shù)與細(xì)胞個數(shù)之間的關(guān)系.

問題1：一個細(xì)胞分裂1次，細(xì)胞數(shù)有幾個？分裂兩次、三次、四次呢？若分裂n次呢？

生1：細(xì)胞的個數(shù)分別是2、4、8、16、…、2n.

學(xué)生回答的同時，教師板書：

細(xì)胞分裂次數(shù)1 2 3 4…n

細(xì)胞個數(shù)2 4 8 16…2n

師：你怎么知道細(xì)胞分裂n次時，細(xì)胞個數(shù)是2n？請說說你的想法.

生1：由2=21，4=22，8=23，16=24，可知每個等式的右邊2的指數(shù)與細(xì)胞分裂的次數(shù)是相同的，所以分裂n次時，應(yīng)該是2n個.

師：很好！由此，可以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律：細(xì)胞數(shù)是以2為底數(shù)的冪，且它的指數(shù)就是細(xì)胞分裂的次數(shù).

同時，教師將板書改寫如下

細(xì)胞分裂次數(shù)1 2 3 4…n

細(xì)胞個數(shù)2=214=228=2316=24…2n

2.經(jīng)歷活動，探究發(fā)現(xiàn)

建立在以上規(guī)律的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步自主探究.

問題2（1）：細(xì)胞分裂6次時，細(xì)胞個數(shù)是細(xì)胞分裂4次時的幾倍？要求列式計算.

生2：應(yīng)該是4倍，計算式子是：26÷24=26-4=22=4.

師：你能說出計算的根據(jù)嗎？

生2：同底數(shù)冪的除法法則.

師：具體說一下法則內(nèi)容.

生2：am÷an=am-n（a≠0）.

生3：還有m、n是正整數(shù)，且m＞n的條件.

師：在乘方的意義中，冪的指數(shù)部分表示底數(shù)的個數(shù)，所以要求：“指數(shù)m、n是正整數(shù)，且m＞n”作為法則的組成部分.

問題2（2）：細(xì)胞分裂4次時，細(xì)胞個數(shù)是細(xì)胞分裂4次時的幾倍？請列式計算.

當(dāng)教師剛剛把題目出示時，同學(xué)們表示很驚訝，部分學(xué)生不自覺地說出了這個問題太簡單了！

生4：1倍，24÷24=1.

師：你是怎么算出24÷24=1的？

生4：24÷24=16÷16=1.

生3：24÷24的除數(shù)與被除數(shù)相同，結(jié)果當(dāng)然是1.

生5（生5是一位思維活躍的孩子，他高舉著手）：24÷ 24=24-4=20=1.

師：幾位同學(xué)的運(yùn)算都是正確的嗎？有沒有哪位同學(xué)的算法不對？如果不對，問題出在哪兒？

生6：生4是對的，生3是用小學(xué)的說法，生5好像也對，昨天我預(yù)習(xí)時，看到書上有a0=1.

生7：生5不對，他用的是同底數(shù)冪除法法則，法則要求“m＞n”，而且憑什么說20=1？

師：的確如此！我們在運(yùn)用法則解決問題時，一定要注意法則的使用條件，這是數(shù)學(xué)學(xué)科理性思維的特點.不過24÷24的“外形”的確像同底數(shù)冪的除法，如果嘗試著用同底數(shù)冪除法法則計算，就會出現(xiàn)生5計算過程中出現(xiàn)的“20”這一“特別”的結(jié)果，生6看到了書上有a0=1的說法，那么20=1嗎？如果根據(jù)乘方的意義解釋，“20”是什么意思？

生8：0個2相乘，說不通啊.

課堂上生5、生6等有喜悅、有驚訝、有疑惑.

師：顯然，我們面臨著一個巨大的挑戰(zhàn)！從“正道”途徑計算：24÷24=16÷16=1，從“旁道”算出了20這一“怪胎”，這讓我們大膽地猜想：20=1，如果我們能夠多方面說明20=1是合理的，我們就可以確定20=1！大家能舉出生活中的例子，說明20=1是說得通的嗎？

生9：剛才的細(xì)胞分裂就可以啊.細(xì)胞如果沒有分裂，就只有一個細(xì)胞，也意味著分裂次數(shù)為0，分裂次數(shù)是2的指數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)20=1說得通?。▽W(xué)生的思維積極性高漲）

生10：我想到了學(xué)習(xí)乘方時，老師曾經(jīng)讓我們折紙，一張紙對折一次是兩層，對折兩次是四層也就是22層，…，如果不對折，只有一層，也可以看成20層啊，那不是也能說明20=1是合理的嗎！

師：太棒了！從生活的經(jīng)驗、從動手操作實驗的活動中都能說明20=1是說得通的，是“合乎情理”的，說明我們的猜想具有合理性.能不能從數(shù)學(xué)自身角度，來說明這一猜想的合理性呢？譬如，看看數(shù)軸……

PPT課件出示畫好的數(shù)軸（如圖1），師生共同探討：從結(jié)果可以看出，在數(shù)軸上，16→8→4→2，左邊的數(shù)依次是右邊數(shù)的一半，從相應(yīng)的冪的形式看24→23→22→21，左邊冪的指數(shù)的總比右邊冪的指數(shù)小1，所以如果前者是2的一半應(yīng)該是1，則對應(yīng)的冪應(yīng)該是20了.

圖1

師：我們從多角度多層次說明了“20=1”是說得通的，是合乎情理的，所以我們可以規(guī)定20=1！推廣一下，如果嘗試用同底數(shù)冪除法法則計算a4÷a4=a0，而從另一個角度a4÷a4=1，根據(jù)剛才合乎情理的“說明”，a0=1也應(yīng)該是合理的，不過，用字母表示數(shù)時，要注意什么？

生11：a≠0，因為0不能作除數(shù).

師：OK！所以我們可以規(guī)定：a0=1（a≠0），即任何非0數(shù)的0次冪等于1.有了這個規(guī)定，讓我們看看同底數(shù)冪除法法則，可以作什么改變？

生3：“m＞n”可以改成“m≥n”了.

3.由淺入深，乘勝前進(jìn)

有了零指數(shù)冪的這個規(guī)定，學(xué)生的視野似乎開闊了.在已有的經(jīng)驗基礎(chǔ)上繼續(xù)探究.

問題3：細(xì)胞分裂4次時的細(xì)胞數(shù)目是細(xì)胞分裂5次時的幾倍？請列式計算.如果嘗試用同底數(shù)冪除法法則，你遇到什么挑戰(zhàn)？你想作出什么樣的規(guī)定，并怎么解釋這個規(guī)定的合理性？

師：好！繼續(xù)猜想：若規(guī)定：2-1=，那么2-2、2-p、a-p，其中a≠0，p是正整數(shù)，等于什么呢？

生13：2-2=.

……

師：結(jié)合前面的零指數(shù)冪，我們今天得到了兩個規(guī)定：零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪.再回顧同底數(shù)冪除法法則，有了負(fù)指數(shù)冪的規(guī)定后，同學(xué)們又有什么發(fā)現(xiàn)？

眾生：“m≥n”這一條件可以去掉了！

4.拓展練習(xí)，深化理解

師：學(xué)了新的知識之后，我們來用一用、試一試、練一練.

（1）判斷：①3-3表示-3個3相乘；②a-m（a≠0，m為正整數(shù)）表示m個a相乘的積的倒數(shù)；③（m-1）0=1.

（2）用小數(shù)或分?jǐn)?shù)表示下列各數(shù)：4-2；-4-2；3.14× 10-3；（-0.1）0×10-2；；（π-3.14）0.

生14：這種方法是運(yùn)用今天學(xué)習(xí)的方法，將負(fù)指數(shù)冪先轉(zhuǎn)化成正指數(shù)冪，然后運(yùn)算.只要記住結(jié)論，套用就行了，這種方法不好嗎？

師：這種方法非常正確，是解決這類問題的常用思路.但是，探索是無止境的.

師：你是怎樣想的呢？

生5：既然負(fù)指數(shù)冪能夠轉(zhuǎn)化為正指數(shù)冪，那么正指數(shù)冪也可以轉(zhuǎn)化負(fù)指數(shù)冪，就是再倒回去.只要真正理解了，結(jié)論不用記也知道了，這不就是老師常說的要逆向思維，要靈活運(yùn)用嗎？公式是可以逆用的呀！

師：生5思考問題的方法非常好，譬如，把分配律逆過來用有時能使運(yùn)算簡便，公式和有的法則若逆用可能會使問題解決起來更方便、更簡捷.

（4）計算：①25÷2-3×20；②；③

師巡視發(fā)現(xiàn)，學(xué)生解決都比較順利.

5.梳理小結(jié)，提煉升華

師生共同回顧總結(jié)，并在思想方法上進(jìn)行提煉.

二、教學(xué)思考與感悟

數(shù)學(xué)知識有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，因此概念、命題的產(chǎn)生總有其緣由及存在的合理性.數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生受兩種力量的驅(qū)動，一是對一類事物本質(zhì)屬性的概括，使研究個別對象的屬性轉(zhuǎn)向研究一類對象的屬性，使研究過程簡化、研究結(jié)果更具有普遍性；二是為新知識的產(chǎn)生及推動知識的發(fā)展提供支點，如為了進(jìn)一步揭示對象的本質(zhì)需要引出新的概念，為了解決問題引出新的概念等.“零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪”兩個概念的產(chǎn)生，應(yīng)該屬于后者，即為新知識的產(chǎn)生以及推動知識的發(fā)展提供支點.它們的出現(xiàn)，是乘方運(yùn)算、冪的運(yùn)算進(jìn)一步向前推進(jìn)的需要，是日后指數(shù)范圍進(jìn)一步擴(kuò)充的奠基，也是高中階段學(xué)習(xí)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ).

教學(xué)中，要充分暴露出學(xué)生是怎么想的，是怎樣探尋解決問題的策略的.的確，沒有過程的結(jié)果是現(xiàn)成事實的外在灌輸，沒有結(jié)果的過程則是學(xué)習(xí)時間的奢侈消費(fèi).新的命題、概念的產(chǎn)生，有的可以通過已有知識經(jīng)過邏輯推理而得到，有些卻是通過實驗操作、觀察、類比等復(fù)雜的思維活動后作出的猜想，再通過實驗、操作、歸納、畫圖等多角度說明猜想的合理性，從而作出的規(guī)定.當(dāng)“規(guī)定”形成后，“加盟”到原有的知識體系中，如果不出現(xiàn)矛盾，可以反過來促進(jìn)規(guī)定的合理性；如果出現(xiàn)矛盾，也許只是猜想，規(guī)定是“偽”的，還需其他新知識的支撐，這一個個的循環(huán)，離不開合情推理.對于“20=1”的出現(xiàn)，部分同學(xué)產(chǎn)生了認(rèn)知沖突.首先可能是同底數(shù)冪運(yùn)算的“錯誤”運(yùn)用，為猜想提供了第一感覺，接著再從細(xì)胞分裂、折紙、數(shù)軸等角度，都足以說明“20=1”是說得通的，是合乎情理的，這為“規(guī)定”提供了支持.“課標(biāo)”（2011年版）在“教學(xué)建議”中指導(dǎo)：不僅要讓學(xué)生了解零指數(shù)冪的“規(guī)定”、會進(jìn)行簡單計算，還要讓學(xué)生感受零指數(shù)冪的“規(guī)定”的合理性，并在這個過程中學(xué)會數(shù)學(xué)思考、感悟理性精神.學(xué)生在學(xué)習(xí)“零指數(shù)”的過程中經(jīng)歷了如下的過程：面對挑戰(zhàn)進(jìn)行思考—提出“規(guī)定”的猜想—通過不同途徑說明“規(guī)定”的合理性—做出“規(guī)定”—驗證這種“規(guī)定”與原有知識體系沒有矛盾—指數(shù)概念和性質(zhì)得到擴(kuò)展.這樣的過程較充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)自身發(fā)展的軌跡，有助于學(xué)生感悟指數(shù)概念是如何擴(kuò)展的，學(xué)生借助學(xué)習(xí)“零指數(shù)”所獲得的經(jīng)驗，可以進(jìn)一步嘗試對負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意識做出合理的“規(guī)定”.這樣的教與學(xué)的過程較充分地展示了“規(guī)定”的合理性，有助于發(fā)展學(xué)生的合情推理意思及理性思維.

通過探究獲得新的收獲，并將新知及時納入自己原先的知識結(jié)構(gòu)，使原有的冪的概念和運(yùn)算性質(zhì)順利擴(kuò)展到零指數(shù)冪及負(fù)指數(shù)冪，以體現(xiàn)知識間的聯(lián)系及其本質(zhì).比如，計算a6÷a0（a≠0），運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)：a6÷a0= a6-0=a6；根據(jù)零指數(shù)冪意義的規(guī)定：a6÷a0=a6÷1=a6.

參考文獻(xiàn)：

1.龐彥福.初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2015.

2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.耿恒考.理解概念明確法則熟練應(yīng)用——蘇科版七年級“2.4相反數(shù)”解讀及數(shù)學(xué)實錄片段［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（8）.