☉江蘇省如皋市高新區(qū)實驗初中　陳亞東

?

幾何新知教學：由特殊走向一般——以“13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)”為例

☉江蘇省如皋市高新區(qū)實驗初中陳亞東

“特殊與一般”是初中數(shù)學幾個最為重要的數(shù)學思想之一，它在學生獲取幾何知識過程中的作用是非常明顯的.在幾何教學中，學生可以從圖形的特殊位置或圖形（線段、角等）的特殊取值出發(fā)，通過對多種不同特殊情形下結論的探究，從而不完全地歸納出可能具有一般意義的數(shù)學結論，在經(jīng)過“嚴格論證”后，這些結論將會被應用到今后的數(shù)學學習和問題解決之中.顯而易見，特殊到一般是初中幾何結論生成的重要通道，我們在教學中應高度重視.現(xiàn)呈現(xiàn)一則這樣的教學案例，并談一些體會，希望能給您帶來啟示.

一、教學片斷及分析

1.教學內(nèi)容

人教版八年級上冊第十三章“13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)”.

2.背景分析

下面展示的是“軸對稱”這一單元的第2課時的教學片斷，前一單元中學生學習的“全等三角形”的性質(zhì)與判定和本單元第1課時學習的“成軸對稱的兩個圖形”的性質(zhì)、線段的垂直平分線的概念等知識，為本節(jié)課的探究夯實了基礎.這節(jié)課將要深入探討的是線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定方法，它是學生進一步學習其他幾何知識（等腰三角形、矩形、菱形、圓等）的基礎，在學生的初中幾何學習中作用巨大.所以教師在進行下面的片斷教學前，已經(jīng)帶領學生梳理了前面獲得的知識，并對本節(jié)課在幾何學習中的地位進行了簡單的陳述.

3.片斷展示

師：如圖1，直線MN是線段AB的垂直平分線，C為垂足.你能得出哪些結論？

生1：A、B兩點關于直線MN對稱.生2：根據(jù)垂直平分線的定義，我可以得到∠ACN=∠ACM=∠BCM=∠BCN=90°，AC=BC=AB.

師：線段AC表示的是哪兩個點之間的距離？

生3：點C與點A之間的距離.

師：BC呢？

生4：點C與點B之間的距離.

師：它們相等嗎？

生（齊）：相等.

師：是不是在這條垂直平分線上的點到線段兩個端點A、B的距離都相等呢？（教師稍作停頓，讓學生思考片刻）現(xiàn)在，我們在MN再上取一點P1，請大家分別去量一量P1到點A與點B的距離，看看它們之間有怎樣的關系.

學生活動：作圖，并度量P1到點A、點B的距離.

2分鐘后，學生活動結束.

師：相等嗎？

生（齊）：相等.

師：如果在MN上再取一個點P2（教師在圖1中標上點P2，連接P2A、P2B），P2到點A和點B的距離還相等嗎？

生5：相等.

師：為什么呢？能用最近學過的知識來說明嗎？

生6：A、B兩點關于直線MN對稱.所以如果將線段AB沿直線MN對折，線段P1A與P1B、線段P2A與P2B都是重合的，因此它們也分別相等.

師：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可以簡單地給出一些理由，那么有沒有更加嚴謹?shù)淖C明方法呢？

生7：可以用全等來證明，如圖1，根據(jù)“直線MN是線段AB的垂直平分線”，可以得到∠ACN=∠BCN=90°，AC=BC.又P2C=P2C，所以△P2CA≌△P2CB.所以P2A=P2B.

師：非常棒！看來全等三角形還真是個解決問題的好工具呢！那么，如果我們在MN上取點P3、P4、…（教師在圖1中標上點P3、P4，…），它們到點A和點B的距離還分別相等嗎？

生8：相等.因為MN兩側對稱的兩個三角形依然全等.

師：好的.看來，不只是線段AB的中點到線段兩個端點的距離相等哦！

生（齊）：對！

師：但我們要感謝“線段AB的中點”，從這個特殊位置出發(fā)，我們發(fā)現(xiàn)了一個對今后幾何學習有重要影響的定理.你能用一句話概括一下剛剛發(fā)現(xiàn)的這個結論嗎？

生9：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.

師：非常棒！這樣我們就得出了線段的垂直平分線的性質(zhì)（板書）.

4.片斷分析

線段的垂直平分線與線段的交點，是這條線段的中點，在線段和它的垂直平分線上，這個點是一個特殊點，是很多數(shù)學結論“誕生”的起點.教師引導學生從這個點開始，去猜想并驗證“線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等”這一結論.學生有垂直平分線的概念，從這個特殊點上得出結論并不難.在學生知曉這個結論后，接下來就應是經(jīng)歷特殊向一般的轉變，學生的視線和思維隨著點P在垂直平分線上的移動變化而變化著，通過作圖、度量，他們依然會發(fā)現(xiàn)特殊位置上的結論一般化后依然成立.基于這樣的獲得，教師立即引導學生進行了“理論”上的“證明”，讓他們用“最近學過的知識來說明”這個結論.由于有了“全等三角形”的基礎鋪墊，有了軸對稱的性質(zhì)認知，讓學生給出嚴格論證的方法還是較為容易的.所以教學過程中，教師的步步追問，讓已有知識不斷被喚醒，學生在提取和應用中順利地得出了證明的方法，為最終結論的歸納掃清了障礙.教師從“特殊”出發(fā)，引導學生歸納的“一般”規(guī)律，讓學生從熟悉的圖形中抽取出新的、符合學生認知規(guī)律的結論，并進行了規(guī)范化驗證，整個教學嚴謹、規(guī)范，具有很強的新意.

二、教學感悟

1.關注新舊銜接，建構新知教學起點

數(shù)學新知的學習離不開舊知的支撐，我們在教學設計時只有關注了新舊知識之間的銜接，才能建構出有效的教學起點，才能形成有利于學生獲得數(shù)學知識的“源”.以“線段的垂直平分線的性質(zhì)”為例，支撐這一新知學習的舊知有“全等三角形的性質(zhì)和判定”“垂直平分線的概念”“軸對稱的性質(zhì)”等，在本文所述案例中，教者正是從這些舊知中進行了深度挖掘，將教學的起點定格在“中點”，也就是“垂直平分線的概念”之上，讓學生的新知探究從這個點上展開，教者通過對點P的位置的變換，讓新知由“特殊”逐步走向“一般”.最終，通過各種舊知的不斷疊加，新知不再停留在“猜想”之上，各種不同方法的證明給出了“新知是正確的”的充分依據(jù)，這也保證了學生在接下來的應用中“底氣十足”.從案例中的教學設計看，教師從學生舊的知識網(wǎng)絡中，不僅找出了新知的生成基礎，還設計出了“線段的垂直平分線的性質(zhì)”教學“生長點”，這樣的分析與設計緊貼學情，符合學生的認知規(guī)律，能取得較好的教學成效也就在情理之中了！

2.找尋新知“特性”，強化數(shù)學思想滲透

數(shù)學思想是學生解決數(shù)學問題的重要工具，在學生的數(shù)學學習和應用中有著非常大的作用.因此，在初中數(shù)學教學中，我們應高度重視數(shù)學思想的教學，要注意用好教學內(nèi)容中的“思想素材”，及時將數(shù)學思想滲透到教學進程之中，以便學生及時感悟與積累.這種基于教學內(nèi)容的滲透，應建立在教師對教學新知“特性”的充分剖析之上，是對新知“特性”充分把握下的自然“鑲嵌”.顯然，為數(shù)學思想找尋教學載體自然而然地成為了教師的“必修功課”.數(shù)學新知一般都有著自己獨特的“個性”，這些“個性”將是我們加載數(shù)學思想最重要的渠道.舉兩個例子，在教學“數(shù)軸”時，數(shù)軸是學生在初中階段首次數(shù)形結合形成的工具，抓住數(shù)軸的這一“個性”，教師就可以在教學中順利加載數(shù)形結合思想，讓學生在獲得“數(shù)軸”的概念及作法的同時，也能對這一初中階段的核心數(shù)學思想有所感悟；在教學“圓周角定理”時，教材安排了三種不同圖形下的定理推導，教師就應根據(jù)教材的設計，在幫助學生獲得定理的同時，將分類討論思想滲透進去……再說說本文中的這則案例，教師也是抓住了“中點”和“垂直平分線”之間的關系，從“特殊”入手，通過多次同一結論的陳述鋪墊，最終歸納出“一般”規(guī)律.在這一過程中，學生對“特殊與一般”思想的感悟還是較為深刻的.

3.重視“過程”教學，形成活動經(jīng)驗積淀

在學生獲得數(shù)學知識的進程中，參與思維過程的不只是已有的數(shù)學知識與技能，還有一些“默會知識”，比如數(shù)學活動經(jīng)驗的參與.由此可見，知識獲得的過程，實際上也是學生基本活動經(jīng)驗的提取與應用的過程.毋庸置疑，知識的獲得過程同樣是學生積累新的數(shù)學活動經(jīng)驗的過程.因此，我們應重視新知獲得過程的教學，要讓學生實實在在地經(jīng)歷知識的完整生成過程，要讓他們清晰感知到在不同的教學時點上，基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗各起到了什么作用，有哪些知識與經(jīng)驗是可以繼續(xù)延續(xù)應用的，又有哪些新的知識與經(jīng)驗自然生成了，可以在后面的學習中發(fā)揮作用.這些源自教學過程的切身感悟，應是教師和學生互動交流的結果，我們應鼓勵并幫助學生“明明白白”地獲得數(shù)學知識.案例中，為了幫助學生“明明白白”獲得“線段的垂直平分線的性質(zhì)”，學生從線段的中點出發(fā)開始初步感知，隨著教師呈現(xiàn)出的點P的變化，學生的思維一路跟來，“線段垂直平分線上的點到兩個端點的距離相等”成為了共性的規(guī)律.為了讓這一結論得到所有學生認可，在教師的引導下，學生分別應用所學過的知識進行了必要的論證.這樣的過程經(jīng)歷，保證了知識的獲得具有個性特征，是一種基于個體認同的共性歸納，無論是探究的終極知識，還是隱藏于探究交流中的活動經(jīng)驗，都是順其自然下的生成，合理、扎實、有效.

三、寫在最后

數(shù)學基本思想是數(shù)學“四基”之一，是與學生數(shù)學學習與數(shù)學應用密切相關的“默會知識”，在學生的學習與生活中作用明顯.所以數(shù)學教學應重視數(shù)學思想的教學.在幾何教學中，“特殊與一般”是學生獲取數(shù)學結論最常用的數(shù)學思想，幾乎貫穿于初中整個學段的幾何教學.在幾何教學中，我們常會引導學生從特殊位置出發(fā)，去探究其中可能存在的特殊的數(shù)量關系或位置關系，在學生獲得特殊狀態(tài)下的“猜想”后，再圍繞可能成為的一般結論進行必要的證明.不難看出，在形成猜想、獲得結論、驗證結論的過程中，學生的思維隨著探究的不斷深入被迅速拓寬.附著于一般性結論之上的其他“三基”（基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗）都將會隨之“固化”，成為學生“學習成果”的一部分.接下來的應用，將會是這些一般結論的特殊化，無論是基礎知識、基本技能這些顯性知識，還是數(shù)學思想、數(shù)學活動經(jīng)驗這些隱性知識，都會得到進一步的強化，于是乎，學生個體的數(shù)學素養(yǎng)隨之提升！

以上，僅是筆者一家之言，不足之處，敬請各位同行專家批評指正！

參考文獻：

1.朱正南.生成在意料之外處置于情理之中——以“三角形全等的判定（AAS）”為例［J］.中學數(shù)學（下），2013（5）.

2.王冰.重視過程教學發(fā)展思維能力——“12.1軸對稱（第2課時）”的教學設計及其特點［J］.中國數(shù)學教育（初中版），2013（6）.

3.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

4.陳先榮.把“軟任務”提升為“硬指標”——對課程目標從“雙基”發(fā)展到“四基”的認識［J］.中學數(shù)學雜志（初中版），2012（3）.

5.宋慶莉.數(shù)學教學應從學生的“基本活動經(jīng)驗”抓起［J］.教學與管理（中學版），2014（6）.

6.張春莉.課例：16.2線段的垂直平分線（第一課時）［J］.中學數(shù)學教學，2012（3）.