蘭天柱,陳曉和,徐衍聰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院, 浙江 杭州, 310036)

帶有暗流的赤道水波的穩(wěn)定性

蘭天柱,陳曉和,徐衍聰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院, 浙江 杭州, 310036)

通過使用短波擾動(dòng)的方法, 在拉格朗日坐標(biāo)中研究了 f 平面上帶有暗流的赤道水波的穩(wěn)定性. 通過證明得到如下結(jié)論: 如果忽略地球的轉(zhuǎn)速, 則赤道水波的不穩(wěn)定區(qū)域?qū)⒉皇馨盗饔绊? 同時(shí)得到了具有某一流速的水流的不穩(wěn)定區(qū)域.

拉格朗日坐標(biāo);局部不穩(wěn)定性;短波的方法;赤道水波

1 介紹

在過去的幾十年里,人們對(duì)赤道附近的海洋變化進(jìn)行廣泛的研究和討論,特別是存在于海洋和大氣中的流和暗流之間的相互作用,所有的這些都成為解釋厄爾尼諾現(xiàn)象的關(guān)鍵性因素.與此同時(shí),人們?cè)诶窭嗜兆鴺?biāo)中,得到了非線性赤道流的一些精確解,例如:[1]中得到了拉格朗日坐標(biāo)下的同質(zhì)周期解,這些解在Gerstners波的模型[2-5]中被重新發(fā)現(xiàn),進(jìn)而被用于描述許多有趣的重力邊緣波.[6]得到了一個(gè)上面是溫躍層,下面是近地表,向西傳播的地球內(nèi)部物理波的非線性解.這個(gè)出現(xiàn)在拉格朗日坐標(biāo)下的解被用來(lái)描述每個(gè)粒子的循環(huán)路徑.在一截狹窄的、關(guān)于赤道對(duì)稱的赤道帶內(nèi)部赤道波是存在的.與[7-8]中所提到的平面情況相比,本文中我們研究向西傳播的海洋波.實(shí)際上,有了精確解后,解的穩(wěn)定性問題,即隨著時(shí)間的變化,是否存在對(duì)解的擾動(dòng)變得尤為重要.在古典的譜方法和能量法之外,短波法(類似于光線理論中得到的幾何光學(xué)方法)在三維非粘性不可壓縮流體動(dòng)力穩(wěn)定/不穩(wěn)定理論中扮演著重要的角色.這個(gè)方法在[9-13]中用來(lái)分析波包的擾動(dòng)對(duì)波的變化影響.常微分方程組系統(tǒng)描述了沿著流動(dòng)軌跡的波包動(dòng)力學(xué)行為.在幾何光學(xué)的語(yǔ)言中,這個(gè)常微分方程系統(tǒng)包含著用來(lái)描述波速的程函方程(Eikonal equation)以及描述速度振幅的運(yùn)輸方程.速度振幅的漸近行為具有穩(wěn)定性.流不穩(wěn)定的一個(gè)充分條件是沒有一個(gè)軌跡伴隨著攝動(dòng)速度的幅度而變化.在第三部分,我們將介紹短波不穩(wěn)定方法.短波法已經(jīng)被應(yīng)用到一系列的穩(wěn)定性問題當(dāng)中,例如:[14]中的Kirchoff-Kida漩渦穩(wěn)定性,[15]中的渦環(huán)與漩渦、渦環(huán)與無(wú)漩渦的穩(wěn)定性.在拉格朗日坐標(biāo)中,短波法被成功應(yīng)用到描述基本波.例如:[16]中的Gerstners波,[7,17]中的赤道陷波.第四部分,在拉格朗日坐標(biāo)中,我們利用短波法研究了f平面上帶有暗流的赤道水波的穩(wěn)定性.

2 預(yù)備知識(shí)

地球被認(rèn)為是一個(gè)繞極軸朝東旋轉(zhuǎn)、半徑(R=6371km),轉(zhuǎn)速Ω=7.29×10-5轉(zhuǎn)/s的球體.在一個(gè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上,其中原點(diǎn)是地球表面的一個(gè)點(diǎn),建立笛卡爾坐標(biāo),(x,y,z)分別代表經(jīng)度、緯度和垂直線.[18]中提出的物理海洋波的歐拉控制方程如下:

(1)

滿足質(zhì)量守恒：

ρt+uρx+uρy+wρz=0.

(2)

不可壓縮性條件：

ux+vy+wz=0,

(3)

這里，t,α分別代表、時(shí)間和緯度，g=9.81m/s2是地球表面重力加速度,ρ是水的密度，P是壓強(qiáng),在[19]中提到的f平面近似代替的歐拉方程如下：

(4)

[6]中,通過假設(shè)在時(shí)間t時(shí)的位置,得到了上述方程的如下行波解:

(5)

(6)

ρ+是所在區(qū)域水的密度.由上面可知P0決定了唯一的r+>r0,這里r+>0是如下方程唯一的解:

(7)

在水流所在區(qū)域取如下合適的壓強(qiáng)梯度:

(8)

(9)

注意到當(dāng)c<0時(shí)，中間項(xiàng)ω始終是負(fù)數(shù)，第一項(xiàng)和第三項(xiàng)為零.

我們注意到式(5)右端的雅克比矩陣如下:

(10)

矩陣所在行列式的值為1-e-2ξ,在這里

ξ=kr,θ=k(q-ct),

(11)

F的逆矩陣為:

(12)

3 短波不穩(wěn)定法

令U(t,x)是非粘性不可壓縮流的速度場(chǎng).U稱為基本流.假設(shè)這個(gè)速度場(chǎng)受到一個(gè)速度場(chǎng)u(t,x)的小擾動(dòng).把U+u帶入到歐拉方程組和后面的方程.并且忽略邊值條件以及u的平方項(xiàng).最終的方程組控制著擾動(dòng)速度場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)行為.這就是所謂的線性歐拉方程:

ut+(U+u)·▽u+(u·▽)U+Qu=-▽p,

(13)

(14)

這里,p(t,x)是P(t,x)的一個(gè)小擾動(dòng).我們可以利用短波不穩(wěn)定法,考慮迅速變化的局部波包(這種技術(shù)被稱為Wentzel-Kramers-Brillouin(WKB)-近似,首先被應(yīng)用在量子力學(xué)).假設(shè)這個(gè)小擾動(dòng)有如下的形式:

(15)

(16)

這里ε是漸近分析中使用的一個(gè)小參數(shù),A是一個(gè)向量函數(shù),同時(shí)Φ和B是標(biāo)量函數(shù).

若式(15)-(16)解決線性化歐拉方程(13)-(14),并且?guī)в衃11]中提到的初值條件,如下:

(17)

這時(shí),由ε的最高次項(xiàng)可知,波相Φ(t,x)滿足程函方程(Eikonal equation)

Φt+U·▽?duì)?0,

(18)

同時(shí),波幅A(t,x)滿足如下方程:

At+(U·▽)A+(A·▽)U+QA=-iB(t,x)▽?duì)?

(19)

實(shí)際上,將式(15)帶入(14),同時(shí)令ε1和ε0的系數(shù)為零,我們可以得到如下結(jié)果:

▽·A=0,

(20)

以及

A·▽?duì)?0.

(21)

因此,在初始時(shí)間,波幅A0和波速▽?duì)?一定是正交的,即

A0·▽?duì)?=0.

(22)

由式(15)和(21)可得:

u·▽?duì)?0.

(23)

將式(15)(16)代入(13),令含有ε1和ε0的項(xiàng)各自相等,若A≠0,我們能夠分別得到程函方程(Eikonal equation)(18)和方程(19),利用帶有速度▽?duì)档?19)的標(biāo)量解B(t,x),方程(19)可以變成如下形式:

(24)

帶有如下初值的方程(18)和(24)

Φ(0,x)=Φ0(x),A(0,x)=A0(x)

(25)

是偏微分方程系統(tǒng),但它被更恰當(dāng)?shù)卣J(rèn)為是一個(gè)沿著基本流形軌跡的常微分方程系統(tǒng),解的分析相應(yīng)的變得簡(jiǎn)單.我們把這個(gè)系統(tǒng)作為一個(gè)沿著粒子路徑的常微分方程系統(tǒng)

(26)

并且

x(0)=x0.

(27)

粒子移動(dòng)的時(shí)候,由U引起的向量A(t,x)的時(shí)間變化率(或者是總時(shí)間的導(dǎo)數(shù),再或者是物質(zhì)導(dǎo)數(shù)),如下:

(28)

程函方程(Eikonal equation)(18)的梯度滿足以下方程:

ξt+(U·▽)ξ+LTξ=0,

(29)

在這里,

(30)

由(28)可知,方程(29)變?yōu)橐韵滦问?

(31)

正交性條件(21)的總時(shí)間導(dǎo)數(shù)滿足:

(32)

由(32)和(29)可知,方程(24)右端的表達(dá)式可以簡(jiǎn)單化,由(28)可知,方程可以寫成如下形式:

(33)

總之,考慮到ε的高階項(xiàng)以及沿著基本流U(t,x)的粒子軌跡(26)-(27),向量A和ξ滿足如下的微分方程組:

(34)

同時(shí),帶有如下初值條件:

ξ(0)=ξ0,A(0)=A0,A0·ξ0=0.

(35)

[9-11]中都得到常微分系統(tǒng)(26)-(27)和(34)-(35).基本流U(t,x)上的每一條軌跡都通過x0.

4 帶有暗流的赤道水波的穩(wěn)定性分析

第二節(jié)中給出的邊緣波,粒子軌跡是顯然的,因此,我們已經(jīng)解決了系統(tǒng)(26),它的解具有式(5)的形式.現(xiàn)在,我們解決(34)中的第一個(gè)方程.區(qū)別于對(duì)t,(5)中雅可比矩陣(10),我們得到以下方程

(36)

這里L(fēng)定義在(30).另一方面,區(qū)別于t,有如下關(guān)系

FTGT=Id,

(37)

G是F的逆矩陣,T代表矩陣轉(zhuǎn)置,我們可以得到以下方程:

(38)

從而,系統(tǒng)(34)的第一個(gè)方程的一般形式解具有以下形式:

ξ(t)=GT(t).

(39)

由初值條件(35)可以得到下面的解:

ξ(t)=GT(t)FT(0)ξ0.

(40)

由(10)和(12)分別表示的矩陣F和G,這個(gè)解ξ變?yōu)?

(41)

這里ξ和θ與(11)的表達(dá)一樣,因此,對(duì)于以下初值條件:

ξ0=(0,1,0)T,

(42)

可以得到下面的解:

ξ(t)=(0,1,0)T,?t≥0.

(43)

把(43)代入系統(tǒng)(34)的第二個(gè)方程,變?yōu)橐韵滦问?

(44)

由(36)可知,矩陣L可以被寫成以下形式:

(45)

這里F,G分別來(lái)自于(10)和(12),進(jìn)而,我們可以得到:

(46)

這表明速度擾動(dòng)一直位于垂直于向量(0,1,0)T的平面.矩陣L依賴于t,從而,線性微分系統(tǒng)(44)是非自治的.不過,在[7,16]中,合適的變量變化能夠提供一個(gè)容易控制的自治系統(tǒng).利用矩陣L在(46)中的表示,方程(44)可以被寫作:

(47)

其中

(48)

(49)

(50)

(51)

從上面我們得到區(qū)分t的第二個(gè)關(guān)系:

(52)

考慮規(guī)范基上的(51)中第一個(gè)關(guān)系以及(47),其中(A1(t),A2(t),A3(t))T是A(t)的元素,從(52)我們得到:

(53)

因此,在旋轉(zhuǎn)基上,方程(47)變?yōu)?/p>

(54)

顯而易見的是:

(55)

(56)

因此,方程(54)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)下變?yōu)樽灾蔚?有如下形式:

(57)

其中含有不依賴于時(shí)間的矩陣:

(58)

(59)

綜上所述,我們獲得了以下結(jié)果.

定理1 如果(9)代表在Gerstner波下以速度c向西傳播的恒流,當(dāng)t→∞時(shí),解以指數(shù)形式增長(zhǎng)當(dāng)且僅當(dāng)向量(9)的非零部分滿足如下條件:

(60)

定理2 如果把c帶入(60),向量(9)的非零部分滿足:

(61)

此外,由于U是常數(shù),會(huì)影響向量(9)的不穩(wěn)定區(qū)域,這時(shí),我們可以忽略地球自轉(zhuǎn)速度Ω,這時(shí)我們可以知道暗流不會(huì)影響向量(9)的不穩(wěn)定區(qū)域,向量(9)的非零部分滿足:

(62)

同時(shí),我們知道,短波長(zhǎng)的擾動(dòng)隨時(shí)間的增長(zhǎng)率是(59)中的正根,即:

(63)

結(jié)論 本文中,通過使用短波擾動(dòng)的方法,在拉格朗日坐標(biāo)系中研究了f平面上帶有暗流的赤道水波的穩(wěn)定性.實(shí)際上,該結(jié)果可與f平面上不含暗流的水波進(jìn)行比較,后發(fā)現(xiàn),暗流的存在不影響赤道水波的不穩(wěn)定區(qū)域.同時(shí),我們可以用同樣的方法去討論f平面上其他的渦度矢量.

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Stability of Equatorial Water Waves with an Underlying Current

LAN Tianzhu, CHEN Xiaohe, XU Yancong

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

In this paper, the stability of equatorial water waves in thef-plane with an underlying current described in Lagrangian fame-work is investigated by using the technology of short-wavelength perturbations. It is proved that the current does not influence the flow’s unstable region if the rotational speed of the earth is ignored. And an unstable region of a water waves in a certain speed is obtained.

Lagrangian framework; localized instability; short-wavelength method; equatorial water wave

2015-04-12

浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(LY13A010020);杭州師范大學(xué)科研基金項(xiàng)目(HNUEYT).

徐衍聰(1970—),男,副教授,博士,主要從事微分動(dòng)力系統(tǒng)分支研究.E-mail:yancongx@163.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2016.02.012

O175.29 MSC2010:35G20,35Q92

A

1674-232X(2016)02-0184-08