唐 慧，楊秀良

(杭州師范大學理學院, 浙江 杭州 310036)

兩個全變換半群之間的同態(tài)II

唐 慧，楊秀良

(杭州師范大學理學院, 浙江 杭州 310036)

令n為一個大于等于1的正整數(shù),Tn和Tn+1分別是Xn={1,2,…,n}和Xn+1={1,2,…,n+1}上的全變換半群.本文在不考慮n=4的情況下刻畫出Tn到Tn+1的所有同態(tài).

全變換半群; 同態(tài); 同余

1 引言和結論

設Tn是Xn上的全變換半群,在1998年Schein.B.M.和Teclezghi.B.[1]刻畫出Tn的所有自同態(tài),接下來我們自然去研究兩個全變換半群Tn和Tm之間的同態(tài).當n>m時的同態(tài)已經(jīng)研究出來[2].在本文中將刻畫出當m=n+1且不考慮n=4時Tn到Tm的所有同態(tài).

(1)令ε為Tn+1中的一個冪等元.定義映射Φε:Tn→Tn+1為:對任意的α∈Tn,Φε(α)=ε.

(2)令ε,δ為Tn+1中兩個不同的冪等元,且滿足條件εδ=δε=δ.定義映射Ψε,δ:Tn→Tn+1如下:

我們的主要結果如下

定理1 (i)取定i∈Xn+1,定義Φi為Tn到Tn+1的一個映射如下:首先規(guī)定

其中k∈Xn,{i1,i2,…,in}=Xn+1{i},然后任取α∈Tn{C1,…,Cn},規(guī)定

則Φi為Tn到Tn+1的一個單同態(tài).

則Θk為Tn到Tn+1的一個單同態(tài).

反之,Tn到Tn+1任一個單同態(tài)φ都具有形式(i)或者(ii).顯然在除去n=4的情況下此結論也成立.

(iii)當φ為非單且n≠4時,則φ是同態(tài)當且僅當φ為如下形式之一:

(1)Φε,其中ε為Tn+1中的一個冪等元;

(2)Ψε,δ,其中ε,δ為Tn+1中兩個不同的冪等元,且滿足條件εδ=δε=δ;

反之,當n≠4時,Tn到Tn+1的每個非單同態(tài)都具有形式(iii).

2 結論的證明

為敘述方便,令α∈Tn,記im(α)={α(x)|x∈Xn},rank(α)=|im(α)|,ker(α)={(x,y)∈Tn×Tn|α(x)=α(y)}.于是全變換半群Tn上的Green關系[3-4]如下:任取α,β∈Tn,有

為證明我們的結論,需要引入如下幾個引理.

令α,β∈Tn,且α,β有如下形式:

(1)

(1)若rank(α)

(2)若rank(α)>k,則α≡Rβ當且僅當α=β;

(2)令ρ是Tn上的任一個非泛同余,則存在k∈{1,2,…,n}與Sk的一個正規(guī)子群R,使得ρ=≡R.

引理2 設φ:Tn→Tn+1為同態(tài),則對Tn中的任兩個常值變換Ci和Cj有kerφ(Ci)=kerφ(Cj).

證明 任取(a,b)∈kerφ(Ci),則φ(Ci)(a)=φ(Ci)(b),因為CjCi=Cj,從而由φ為同態(tài)知

φ(Cj)(a)=φ(CjCi)(a)=φ(Cj)φ(Ci)(a)=φ(Cj)φ(Ci)(b)=φ(Cj)(b),

因此(a,b)∈kerφ(Cj),進而kerφ(Ci)?kerφ(Cj),同理可證得kerφ(Cj)?kerφ(Ci),故kerφ(Ci)=kerφ(Cj).

證明 對任意的x∈Ai,任意的α∈Tn,令φ(α)(x)=y,則由φ為同態(tài)知

φ(C1)(y)=φ(C1)φ(α)(x)=φ(C1α)(x)=φ(C1)(x),

引理4 設φ:Tn→Tn+1為單同態(tài),若kerφ(C1)不是泛關系,則kerφ(C1)的等價類為{i}和Xn+1{i},其中i∈Xn+1.

證明 令kerφ(C1)的等價類分別為A1,A2,…,Ak,(k≥1),則由引理3知對任意的α∈Tn,任意的t∈{1,2,…,k},有φ(α):At→At.因此φ(Tn)?TA1×TA2×…TAK,其中TAj表示Aj上的全變換半群,令A1=x,則1≤x

nn=|φ(Tn)|≤|TA1|·|TA2|…|TAk|≤|TA1|·|TA2∪A3∪…∪Ak|

=xx·(n+1-x)n+1-x,

(2)

注意當x=1時式(2)等號成立.下證式(2)成立當且僅當x=1.

令f(x)=xx·(n+1-x)n+1-x,對此等式取對數(shù)得

lnf(x)=xlnx+(n+1-x)ln(n+1-x),

(3)

φ(α)(i1)=iα(1),φ(α)(i2)=iα(2),…,φ(α)(in)=iα(n).

證明 任取Cx∈Tn,x∈Xn,則有αCx=Cα(x),從而由φ為單同態(tài)知

因此有φ(α)(ix)=iα(x),x∈Xn,故φ(α)(i1)=iα(1),φ(α)(i2)=iα(2),…,φ(α)(in)=iα(n).

其中k∈{1,2,…,n}.

進而當n≥4時,由

和引理5有

(4)

另一方面,由

和引理5又有

(5)

(4)與(5)矛盾,故y=i1不成立.

(6)

(7)

(6)與(7)矛盾,故y=i3不成立.

綜上所述,x≠in+1,從而x=ik,其中k∈{1,2,…,n}.

定理1的證明 易證定理1中(iii)的映射都為Tn到Tn+1的同態(tài).下面驗證Φi和Θk都是Tn到Tn+1的單同態(tài).

任取α∈Tn,β∈Tn,且

從而

則由Φi的定義知

其中{i1,i2,…,in}=Xn+1{i},從而

因此Φi(α)Φi(β)=Φi(αβ),所以Φi是Tn到Tn+1的一個同態(tài),又令Φi(α)=Φi(β),從而α(x)=β(x),其中x∈Xn,進而Φi是單的,故Φi是Tn到Tn+1的一個單同態(tài).同理可證Θk是Tn到Tn+1的一個單同態(tài).

現(xiàn)令φ為Tn到Tn+1的任一個同態(tài),由于ker(φ)為Tn上的一個同余,于是據(jù)引理1,分兩種情況如下:

情況1 ker(φ)是泛同余,則φ把Tn映到Tn+1中的某個冪等元,令這個冪等元為ε,從而φ為常量同態(tài),且φ為定理1中的形式(iii)中的(1);

情況2 ker(φ)是非泛同余,則ker(φ)=≡R,R?Sk.根據(jù)k

情況2.1 若k

因此有φ(α)(i1)=iα(1),φ(α)(i2)=iα(2),…,φ(α)(in)=iα(n),φ(α)(i)=i,進而

其中{i1,i2,…,in}=Xn+1{i},故φ具有形式(i).

情況2.1.2φ:Tn→Tn+1為單同態(tài),kerφ(C1)為泛關系.據(jù)引理6有k∈Xn,使得

其中{i1,i2,…,in+1}=Xn+1.于是對任意的α∈Tn,由引理5可設

又αln=α,從而由φ為同態(tài)知φ(αln)=φ(α)φ(ln)=φ(α),就推出z=iα(k),故φ具有形式(ii).

[1] SCHEIN B M, TECLEZGHI B. Endomorphisms of Finite Full Transformation Semigroups [J]. Proceedings of The American Mathematical Society, 1998, 126(9):2579-2587.

[2] 唐慧,楊秀良.兩個全變換半群之間的同態(tài)I[J].杭州師范大學學報(自然科學版),2015,14(5):527-530.

[3] GANYUSHKIN O, Mazorchuk V. Introduction to Classical Finite Transformation Semigroups [M]. London: Springer Verlag,2009.

[4] DOSS C. Certain equivalence relation in transformation semigroups[D]. Nashville: Univ of Tennessee, 1955.

[5] MAL’SEV A. Symmetric groupoids [J]. Mat Sbornik,1952,73(1):136-152.

Homomorphisms of Two Full Transformation Semigroups II

TANG Hui, YANG Xiuliang

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Letnbe the positive integer which is greater than or equal to 1,TnandTn+1are the full transformation semigroup on finite setXn={1,2,…,n} andXn+1={1,2,…,n+1} respectively. This paper describes all homomorphisms fromTntoTn+1while does not considern=4.

full transformation semigroup; homomorphism; congruences

2015-06-27

楊秀良(1963—)，男，教授，主要從事半群代數(shù)研究.E-mail: yxl@hznu.edu.cn

10.3969/j.issn.1674-232X.2016.02.011

O152.7 MSC2010:43A22

A

1674-232X(2016)02-0178-06