周曉霞，張竹嫻，楊　丞

(長沙大學(xué)電子信息與電氣工程系，湖南 長沙 410022)

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準單色光在光學(xué)矢量-矩陣乘法器中的傳播與光場分布

周曉霞，張竹嫻，楊丞

(長沙大學(xué)電子信息與電氣工程系，湖南 長沙 410022)

摘要：研究了光學(xué)矢量-矩陣乘法器中光波面的調(diào)制特性，從柯林斯公式出發(fā)，分析了準單色光在乘法器的空間光調(diào)制器平面上的光場分布.結(jié)果表明，只使用單個光束會引起空間光調(diào)制器上單像素可探測的能量較小，容易出現(xiàn)誤差，且焦距比較短，工藝設(shè)計困難；采用多光束并束不但可以改善均勻性，使得每個像素可探測的能量顯著增加，而且可放寬對所需的焦距限制，從而可降低工藝設(shè)計的難度.

關(guān)鍵詞：準單色光；柯林斯公式；光學(xué)矢量-矩陣乘法器

光學(xué)矢量-矩陣乘法器是一種可并行實現(xiàn)一維向量與二維矩陣相乘的光學(xué)系統(tǒng)，以光為信息載體可以克服電子計算機串行處理的種種限制，使運算處理的信息量和速度大大提高，利用光的特性還可方便快捷的實現(xiàn)傅里葉變換和小波變換[1].因此作為光學(xué)信息處理領(lǐng)域的一個研究熱點，利用復(fù)合光學(xué)系統(tǒng)來實現(xiàn)矢量-矩陣乘法的光學(xué)矢量-矩陣乘法器可應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，如光計算、光束整形、頻譜分析和匹配濾波等.自從Goodman等[2]在1978年首先提出光學(xué)矢量-矩陣乘法器的理論模型以來，該領(lǐng)域的研究引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，目前已經(jīng)提出了多種結(jié)構(gòu)設(shè)計方案并得到了實驗驗證[3-8]，其發(fā)展趨勢呈現(xiàn)出運算速度越來越快，體積越來越小，功能越來越強的特點.

作為微型、集成光信息系統(tǒng)中的典型光陣列結(jié)構(gòu)，光學(xué)矢量-矩陣乘法器若采用相關(guān)光源，干涉和衍射會使得乘法器探測平面上的光強分布不均勻，如何降低或消除干涉、衍射對探測平面上光強分布的影響，對開發(fā)高性能高質(zhì)量的光學(xué)矢量-矩陣乘法器具有重要意義.

本文針對線陣列光源發(fā)出的準單色光高斯光束(波長范圍：845-850nm，中心波長：847nm)通過透鏡陣列、柱面透鏡陣列、SLM最后聚焦在光電探測器陣列上這一光學(xué)矢量-矩陣乘法器的典型物理模型，從結(jié)合廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分公式和矩陣光學(xué)的柯林斯公式出發(fā)，研究了高斯光束的傳輸變換特性及SLM接收面上的光場分布.數(shù)值分析結(jié)果表明，通過多光束并束可以有效地改善激光束對SLM光照的均勻性.

1理論模型

光學(xué)矢量-矩陣乘法器的光路原理如圖1所示，它主要由光源陣列、球面透鏡和柱面透鏡組、空間光調(diào)制器、光探測器陣列構(gòu)成.在不考慮系統(tǒng)的像差、色差等因素的理想情況下，實現(xiàn)光學(xué)模擬矩陣-矢量相乘.一個m×n矩陣A與一個n維矢量B相乘，得到一個m維矢量C.若分別用aij，bj和ci表示A,B,C的元素，則有

(1)

圖1　 光學(xué)矢量-矩陣乘法器光路圖

為得到ci，用線陣光源來輸入矢量B，即使光源線陣中的n個面發(fā)射激光器的光強正比于bj(j=1,2…n).另外用一個透射式矩陣編址GaAs/AlGaAs多量子阱(MQW)空間光調(diào)制器(SLM)來輸入矩陣A，即空間光調(diào)制器的m×n個像素按矩陣形式排列，并用電學(xué)或光學(xué)的寫入信號去控制SLM各像素的透射率，使之分別正比于aij.令光源線陣位于準直透鏡L的前焦面上，SLM位于柱面透鏡CL1的后焦面上，D位于柱面透鏡CL2的后焦面上.

光源將會在SLM上形成如下的照度分布：在水平方向(j值變化的方向)上，通過L和CL1，任一bj成像在SLM的第j列處；在垂直方向(i值變化的方向)上，因為CL1在這個方向上不起作用，所以任一bj經(jīng)L形成平行光.每一bj都會在SLM上形成一條垂直光帶，它在垂直方向上的光強是均勻的.即SLM上的任一像素(i,j)的光強分布與i值無關(guān)，正比于bj，亦正比于aijbj.準單色光繼續(xù)傳播，經(jīng)過第二個柱面鏡CL2被聚焦到垂直排列的光探測器陣列D上.即在水平方向上，CL2使SLM成一個縮得很小的像，在垂直方向上則CL2不起作用，使得SLM上第i行所有像素的光都集中在第i個探測器上.由于線陣光源上的各個點源發(fā)出的光bj互不相干，所以光探測器上第i個探測器器的輸出正比于矢量積C的相應(yīng)元素ci.即滿足公式(1).

為方便起見，矩陣A和矢量B的元素都取二進制數(shù)，因而只有0和1兩個值.矢量B由線陣光源輸入，每一個光源元件對應(yīng)一個矢量的元素，當元素值為1時，令光源發(fā)光，當元素值為0時，令相應(yīng)的光源元件不發(fā)光.矩陣A的各元素值由SLM相應(yīng)像素的透光率表示，當元素值為1時，SLM上對應(yīng)的像素的透光率為1；當元素值為0時，SLM上對應(yīng)的像素的透光率為0.

可以看到，在運算的過程中所有的乘法運算和加法運算都是并行地進行的，沒有次序上的先后問題.

本文中對光源發(fā)出的激光束在SLM上的光場分布進行研究，由于光學(xué)矢量-矩陣乘法器中的多束激光是由互相獨立的光源發(fā)出的，因而任意兩束光之間是非相干的，所以我們只需要討論其中的一束，其它光束的分布只是中心位置不同,最后將它們的強度疊加,就可以得到一個完整的光場分布.考慮由面發(fā)射激光器發(fā)出的一個激光束，通過同軸的薄透鏡、一個相互垂直的正、負柱透鏡構(gòu)成的復(fù)合光學(xué)系統(tǒng)照射在SLM上，形成矩形光帶.將這兩個柱面透鏡看作是薄透鏡，且?guī)缀跷挥谕晃恢锰?高斯光束先通過柱透鏡在x方向擴束，y方向不發(fā)生變化.緊接著通過柱透鏡在y方向縮小，x方向不發(fā)生變化.假設(shè)系統(tǒng)處于同一介質(zhì)中.此處選取空間光調(diào)制器像素陣列的列與列之間間距為65μm，而各激光束的成像系統(tǒng)光軸也是相互平行的，光軸之間的間距為65μm.復(fù)合柱面透鏡系統(tǒng)y方向的尺寸也就被限制在65μm.激光束經(jīng)過準直照射到復(fù)合柱面透鏡上的腰斑尺寸也被限制在65μm.在計算中選取經(jīng)過準直以后的激光束束腰半徑為20μm，與復(fù)合柱面透鏡系統(tǒng)距離為2mm.這時，激光束在復(fù)合柱面透鏡系統(tǒng)上形成的腰斑恰好是65μm.假設(shè)SLM與復(fù)合柱面透鏡系統(tǒng)之間的距離為4mm.

圖2　腰斑大小隨著柱透鏡焦距f變化的曲線

從上圖可以看出，當焦距很小的時候，在SLM上形成很大的腰斑，隨著焦距的增加，成像腰斑逐漸減小.當焦距剛好等于柱透鏡面上的等相位面曲率半徑時，成像腰斑達到最小，恰好等于透鏡面上入射光束的光斑半徑，即65μm.利用這一特性，我們可以做到在x方向上的擴束，而在y方向成像腰斑為65μm.由此我們選取y方向焦距為2000μm，x方向焦距為300μm.

由于光學(xué)矢量-矩陣乘法器所使用的器件實際上尺寸都是有限的，因此必須考慮它們的衍射作用.

馬呂斯定理指出，任何沒有像散的成像系統(tǒng)中，沿任何成像路徑所測量的光程應(yīng)該相等.在直角坐標系下，光學(xué)系統(tǒng)的程函數(shù)可用矩陣元素表示為[9]：

(2)

式中L(x1,y1,x2,y2)表示兩個參考平面上離光軸距離分別為x1,y1、x2,y2的兩點P1P2間的光路程，L0為沿光軸上的光程.將上式代入菲涅耳衍射積分式，得到軸對稱傍軸光學(xué)系統(tǒng)的柯林斯公式[10]

(3)

式中U1(x1,y1)為光學(xué)系統(tǒng)入射平面上的光波復(fù)振幅，U2(x2,y2)為光波穿過光學(xué)系統(tǒng)后在出射平面上的光波復(fù)振幅.傍軸光學(xué)系統(tǒng)中柯林斯公式是菲涅耳衍射積分的推廣，可以一次計算出光波通過ABCD傍軸光學(xué)系統(tǒng)的衍射場，而菲涅耳衍射積分只能計算光波在介質(zhì)空間中衍射平面后滿足傍軸條件的光波場.

(4)

(5)

忽略后兩項以及與能量無關(guān)的相位因子，得到[11]

(6)

式(6)的形式說明，衍射光波場的分布是照明光波場的振幅按照幾何光學(xué)傳播規(guī)律到達觀察平面后受函數(shù)ΦF(x,y)“調(diào)制”的結(jié)果.所以將ΦF(x,y)稱為菲涅耳衍射振幅調(diào)制函數(shù).

我們知道了光波場的振幅分布，那么很容易就可以求出光場的強度分布：

(7)

2數(shù)值計算和討論

圖3　單光束時成像面SLM上1比特位的幾何光強分布

圖4　直接應(yīng)用ABCD定理得到的單光束時

很明顯通過復(fù)合柱面系統(tǒng)變換后，光場仍是一個高斯分布圖像.

考慮衍射作用，引入菲涅耳衍射調(diào)制函數(shù)，利用公式(6)可以算出衍射光場分布.當取復(fù)合柱面透鏡系統(tǒng)的尺寸孔徑y(tǒng)方向為65μm、x方向為100μm時，光強分布如圖5、6所示.

圖5　單光束時SLM上1比特位的衍射光強分布

圖6　單光束時SLM上1比特位的

由圖6可以看出，在x方向的光場分布與幾何光學(xué)的結(jié)果圖4相比較，有明顯的差異.在計算中采用柯林斯公式對光場分布進行計算，引入菲涅耳衍射因子后，得到的衍射場實際上是幾何圖像與菲涅耳衍射因子的乘積，圖7給出了x方向的菲涅耳衍射因子分布.

圖 7　X方向的菲涅耳衍射因子

對比上面三個圖：幾何光學(xué)結(jié)果是上凸的高斯分布(圖4)，菲涅耳衍射因子在單位1附近震蕩變化(圖7).當選用的器件尺寸較小，造成的孔徑光闌較小時，菲涅耳衍射因子的輪廓線在中心附近是下凹的，衍射光場在x方向投影輪廓線則在中心附近幾乎是一個平頂(圖6).雖然考慮衍射后的光場分布與幾何光學(xué)結(jié)果有著較大差異，但是均勻性還是有所改善.由于在x方向光束被“拉伸”得很厲害(八倍左右)，造成的影響有：(1)每個像素可探測的能量很小，容易出現(xiàn)誤差；(2)邊緣和中間平頂之間的差距過大(圖6)；(3)光束拉伸要求的放大率很大，使得x方向的焦距比較短，從而在工藝設(shè)計上易造成很大的困難.

激光多種應(yīng)用領(lǐng)域的研究表明，在多束激光束的并合光束照明時，光斑的強度分布均勻性較單光束照明時顯著提高[12-14].選取垂直腔面發(fā)射激光器(VCSEL)為光源，因為VCSEL易于實現(xiàn)高密度二維面陣的集成、制作成本低廉，所以可以考慮用多光束并合取代單束光照射，獲得較理想的光束分布.

圖 8　五束光照射時在SLM上一比特位的衍射場

當使用單光束成像時，在x方向?qū)⒐馐鴶U展，在SLM上形成600μm長、60μm寬的光帶.而當使用多光束成像時，在SLM上要形成同樣長寬的光帶，每一束光的擴展相應(yīng)減小，通過優(yōu)化(3，5，7束比較，當然光束越多，得到的均勻性越好)我們采用五束光，令每束光在SLM上形成160μm長、60μm寬的光帶(光束擴展越大，衍射越明顯)，束與束之間相距120μm.根據(jù)圖2中給出的曲線，160μm時對應(yīng)fx=800μm左右.在y方向的成像腰斑為60μm，如圖2對應(yīng)的fy仍然保持約為2000μm.下面就給出五束光照射時在SLM上一比特位的衍射場：

為了進一步研究改善均勻性，我們做出了五束光情況下在成像面上x方向1000μm和600μm范圍內(nèi)的幾何光場分布.

圖9　五束光照射時在SLM上一比特位在

圖10　五束光照射時在SLM上一比特位在

從上圖可以看出在一段范圍內(nèi)出現(xiàn)了近似的平頂，這與單光束的高斯分布相比，無疑有效改善了均勻性.可見采用多光束不但可以改善均勻性，而且改善了由于在x方向光束被“拉伸”得很厲害所造成的影響：一是使得每個像素可探測的能量顯著增加，減小了能量損失；(2)光場波動不大，基本在0.35～0.5區(qū)間震蕩；(3)對于滿足x方向同樣的光束拉伸要求，需要的放大率減小，使得x方向的焦距增加，從而降低了設(shè)計困難.

3結(jié)論

本文從柯林斯公式出發(fā)對光學(xué)矢量-矩陣乘法器的光束變換特性進行了研究.結(jié)果表明由于衍射的影響，空間光調(diào)制器平面上的光場分布與幾何光學(xué)結(jié)果有著較大差異，對單光束來說，光束邊緣和中間平頂之間的差距過大，每個像素可探測的能量較小，容易出現(xiàn)誤差，光束拉伸要求的放大率較大，要求焦距比較短，工藝設(shè)計困難；采用多光束并束不但可以改善均勻性，使得每個像素可探測的能量顯著增加，而且需要的放大率減小，使得要求的焦距增加，從而降低了設(shè)計困難.

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(作者本人校對)

Quasi-monochromatic Light Propagation and Optical Field Distribution in Optical Vector Matrix Multiplier

ZHOU Xiaoxia, ZHANG Zhuxian, YANG Cheng

(Department of Electronic Information and Electrical Engineering, Changsha University,Changsha Hunan 410022, China)

Abstract：In this paper, using the Collins formula, the modulation properties of the quasi-monochromatic light through an optical vector-matrix multiplier have been studied, and the optical field distributions in the plane of spatial light modulator are analyzed in detail. Results show that single beam design is easy to cause errors, because the energy detected by each pixel on the spatial light modulator is small. And the single beam design requires relatively short focal length, which leads to some design difficulties. By using multi beam design, the uniformity of the light field distribution can be improved, so that the energy detected by each pixel can be much higher. It can also broaden the limit of focal length, which can reduce the difficulty of the process design.

Key Words：quasi-monochromatic light; Collins formula; optical vector matrix multiplier

中圖分類號:TN248.4

文獻標識碼：A

文章編號：1008-4681(2016)02-0026-05

作者簡介：周曉霞(1981— )，女，江蘇鹽城人，長沙大學(xué)電子信息與電氣工程系講師，碩士.研究方向：光子晶體、光學(xué)超材料.

基金項目：國家自然科學(xué)基金(批準號：61308005)資助項目；湖南省教育廳一般項目(批準號：15C0126)；長沙市科技計劃 (批準號：K1407008-11).

收稿日期：2015-12-24