楊宏權(quán) 周正琴

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版六年級下冊第48～49頁。

【教學(xué)過程】

板塊一：從“一次爭論”說起……

出示：3cm的線段和比例尺 1∶1000。

讓學(xué)生敘述圖中信息，回憶什么是比例尺（板書：長度比），并讓學(xué)生算出圖上3厘米的實(shí)際距離。

出示：乒乓球活動(dòng)室的平面圖。

引出“求球館的實(shí)際面積到底有多大？”健健和康康發(fā)生的爭論。

健健的想法：

2×3=6（平方厘米）

6×1000=6000（平方厘米）

6000平方厘米=0.6平方米

康康的想法：

2×3=6（平方厘米）

6×1000000=6000000（平方厘米）

6000000平方厘米=600平方米

引出猜想：面積比與長度比，會(huì)有什么樣的關(guān)系呢？通過“你打算采用什么樣的方法來研究這個(gè)問題”，激發(fā)學(xué)生思考，通過生生之間的交流，讓學(xué)生初步認(rèn)識可以通過畫圖形、放大、算一算的方法進(jìn)行判斷。

出示智慧心語：解決問題前，通常需要根據(jù)問題的特點(diǎn)設(shè)計(jì)解決問題的方案。

板塊二：由長度比到面積比。

1.舉例，初步感知。

以長方形為例，任意畫一個(gè)長方形。出示1cm×3cm的長方形，再把它放大并分別出示三個(gè)長方形：3cm×3cm、1cm×9cm、3cm×9cm。讓學(xué)生選一選，哪個(gè)是原長方形放大后的圖形？為什么？按什么比放大的？

接著讓學(xué)生算一算大長方形與小長方形的面積分別是多少？面積比呢？最后得出：大長方形與小長方形的面積比是9∶1。

2.提升，歸納規(guī)律。

通過上面的舉例，學(xué)生發(fā)現(xiàn)長度比是3∶1，而面積比卻是9∶1，得出“長度比并不等于面積比”，從而引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考：面積比可能與長度比存在怎樣的關(guān)系呢？再次引發(fā)學(xué)生猜想（面積比可能等于長度比的平方），并引導(dǎo)學(xué)生討論：根據(jù)一個(gè)例子我們能說面積比就一定等于長度比的平方嗎？（不能）從而得出：要想知道這一猜想是否具有普遍性，可以再舉些例子進(jìn)行驗(yàn)證。

出示：如果將小長方形按（ ）∶（ ）的比放大，放大后與放大前圖形的面積比是（ ）∶（ ）。

學(xué)生自由選擇，并獨(dú)立完成。然后選擇兩種用不同比放大的作業(yè)進(jìn)行展示，觀察歸納。算出面積和面積比,指名講解。從而得出：把一個(gè)長方形按n∶1的比放大，放大后與放大前長方形的面積比是n2∶1。

這時(shí)教師再次激疑：通過舉例驗(yàn)證，我們發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律適合長方形，它是否也適用于其他平面圖形呢？從而將學(xué)生的探索思維向其他平面圖形延伸。

給出正方形、平行四邊形、三角形和圓等。讓學(xué)生選一種或幾種以前學(xué)過的平面圖形，再將它按一定的比放大，算一算、填一填，完成作業(yè)紙。反饋，指名上臺講解。逐個(gè)得出，這一規(guī)律同樣適用于正方形、平行四邊形、三角形和圓?？偨Y(jié)得出規(guī)律：把一個(gè)平面圖形按n∶1的比放大，放大后與放大前圖形的面積比是n2∶1。

出示智慧心語：由特殊到一般，是驗(yàn)證猜想的重要環(huán)節(jié)。

3.溯源，解釋規(guī)律。

教師引導(dǎo)：剛才我們得出的規(guī)律雖然已經(jīng)通過實(shí)踐的檢驗(yàn)，但是一個(gè)結(jié)論的得出還需通過科學(xué)的論證。以長方形為例，出示平面圖。

讓學(xué)生通過計(jì)算說明：

小長方形的面積：a×b=ab

大長方形的面積：（an）×(bn)=abn2

最后，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，通過積的變化規(guī)律，揭示其中的奧秘。

引導(dǎo)學(xué)生上下對比這兩道算式，并用以前所學(xué)的知識來解釋面積的變化規(guī)律。從而得出：一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大n倍，另一個(gè)因數(shù)也擴(kuò)大n倍，積就擴(kuò)大n2倍。

教師再次引導(dǎo)學(xué)生用積的變化規(guī)律來解釋其他的平面圖形長度比與面積比的關(guān)系。學(xué)生選擇其中一個(gè)平面圖形論證，先在作業(yè)紙上寫一寫，再說給同桌聽一聽。

出示智慧心語：追根溯源，就能找到規(guī)律的本質(zhì)。

4.運(yùn)用，豐富規(guī)律。

（1）解決乒乓球館問題。出示前面的例題，讓學(xué)生判斷一下，誰計(jì)算正確？健健錯(cuò)在何處呢？再讓學(xué)生用新學(xué)的知識計(jì)算乒乓球活動(dòng)館的實(shí)際面積。

2×3=6（平方厘米），6×10002=6000000（平方厘米），6000000平方厘米=600平方米。

（2）明明想給乒乓球活動(dòng)館布置一張長9米、寬6米的乒乓球奧運(yùn)冠軍的宣傳畫，如果按1∶30的比把宣傳畫縮小，縮小后這張宣傳畫的面積是多少?

9×6=54（平方米），54÷302=0.06（平方米）。

由此題引出：把一個(gè)平面圖形按1∶n的比縮小，縮小后與縮小前圖形的面積比是1∶n2。

5.回顧，積累經(jīng)驗(yàn)。

回顧我們探究與發(fā)現(xiàn)的過程。我們先通過長方形個(gè)例，有了猜想，再通過舉例子來檢驗(yàn)，接著追根溯源論證了檢驗(yàn)的結(jié)果，最終總結(jié)出了具有普遍性的結(jié)論。這樣一步一步地使得出的結(jié)論越來越縝密與完備。這也是我們解決問題的一般流程。（課件演示回顧過程）

板塊三：由 n2：1想到的……

牛頓有句名言：“沒有大膽的猜想,就沒有偉大的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)。”教師再次激疑：根據(jù)長度比，如果給你大膽猜想的機(jī)會(huì)，你還會(huì)有哪些猜想呢？引導(dǎo)學(xué)生從面積，想到周長，再從平面圖形想到立體圖形。得出如下網(wǎng)絡(luò)。

學(xué)生有了猜想后，可試著讓學(xué)生驗(yàn)證一下。全班匯報(bào)、交流。

出示智慧心語：大膽猜想，嚴(yán)密驗(yàn)證，將會(huì)有更多的發(fā)現(xiàn)。

【課后思考】

思考1：整體性——從“一維教學(xué)”走向“三維思考”

教材中只介紹了從長度比向面積比的規(guī)律探索，其實(shí)細(xì)細(xì)思考，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，面積屬于二維空間，由長度和寬度兩個(gè)要素所組成的平面空間。而長度比則屬于一維空間的范疇，這時(shí)我們又在思考，那我們能不能從長度比再引導(dǎo)學(xué)生向三維空間（立體圖形）的體積比進(jìn)行探索呢？教學(xué)實(shí)踐告訴我們完全可行。為此，課始我們通過比例尺的復(fù)習(xí)（一維空間），然后過渡到面積比的探索（二維空間），再到最后的知識總結(jié)與提升階段，激發(fā)學(xué)生對體積比產(chǎn)生新的猜想，這樣的設(shè)計(jì)，我們從整體出發(fā)，在知識三維過渡中培養(yǎng)學(xué)生整體的眼光、整體的思維，感悟智慧的生長。

思考2：抽象性——從“是什么”走向“為什么”

教學(xué)中，教師往往通過計(jì)算平面圖形的圖上面積和實(shí)際面積的比來找到變化的規(guī)律，對規(guī)律背后的本質(zhì)問題，為什么會(huì)這么變化卻只字不提。這種研究僅僅局限在找現(xiàn)象規(guī)律，而數(shù)學(xué)是對現(xiàn)象的本質(zhì)分析和探索，用數(shù)學(xué)方法研究這種現(xiàn)象正是我們要做的。面積屬于二維空間，它的大小決定于長度和寬度兩個(gè)變化量。這種變化與學(xué)生已學(xué)的積的變化規(guī)律是相通的。讓學(xué)生探究現(xiàn)象背后的實(shí)質(zhì)不僅能提高學(xué)習(xí)效率，還能舉一反三，獲得更大的思維發(fā)展。

思考3：探索性——從“知識傳授”走向“素養(yǎng)形成”

通過“爭論”引發(fā)學(xué)生的思考沖突，并通過長方形放大前后的比較誘發(fā)學(xué)生直覺猜想，并通過計(jì)算比較，佐證猜想的正確。此時(shí)，又告訴學(xué)生一個(gè)特例的正確，還不能完全證明猜想的正確性。這時(shí)又引導(dǎo)學(xué)生用不同平面圖形的面積變化進(jìn)行檢驗(yàn)，從而進(jìn)一步驗(yàn)證猜想的合理性。然后又通過激發(fā)學(xué)生通過舊知，即積的變化規(guī)律進(jìn)一步論證猜想的科學(xué)性，最后通過總結(jié)得出縝密的規(guī)律。這樣讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想——檢驗(yàn)——論證——總結(jié)”的四個(gè)環(huán)節(jié)，循序漸進(jìn)，步步深入，直覺思維與邏輯思維相互映照，這正是學(xué)生形成科學(xué)素養(yǎng)的過程。