李俊芳

如果說(shuō)：解題是執(zhí)利予破堅(jiān)盾的話(huà)，命題就是精制堅(jiān)盾以御利予.做為命題者，總會(huì)在一份練習(xí)或試卷中，把自己研究中靈巧之處，智慧之處，充分展示出來(lái)，這些智慧的結(jié)晶，總會(huì)成為解題者的痛苦.往往命題者是老師或?qū)＜?，而解題者是老師或?qū)W生，這是一場(chǎng)沒(méi)有硝煙的戰(zhàn)爭(zhēng)！這場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)的過(guò)程雖然不會(huì)流血，更不會(huì)有犧牲，但驚心動(dòng)魄程度卻不亞于有硝煙的戰(zhàn)爭(zhēng).做為一線(xiàn)教師，研究命題者命題的方式方法，利于解題，更利于教學(xué).所謂知己知彼，方百戰(zhàn)百勝.

問(wèn)題實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x≥y≥1和2x2-xy-7x+y+9=0，則x+y=.

方法探索

解析一直接轉(zhuǎn)化成y=2x2-7x+9x-1，

再根據(jù)x≥y≥1，可得到x≥2x2-7x+9x-1≥1，

取前一個(gè)不等號(hào)，可得到x≥2x2-7x+9x-1，

于是有（x-3）2≤0，

而（x-3）2≥0，所以只有（x-3）2=0.

從而得到x=3，再得到y(tǒng)=3，所以x+y=6.

當(dāng)然這個(gè)解法有漏洞，變形過(guò)程中忽視了x的取值范圍：應(yīng)分類(lèi)討論，

當(dāng)x=1時(shí)，原方程變形為：4=0，顯然不成立；

當(dāng)x≠1時(shí)，把上面的分析過(guò)程整理成解題過(guò)程即可.

解析二解二元二次不定方程，通常會(huì)想到配方法；最理想的結(jié)果是形如（ax+b）2+（cy+d）2=0，然而嘗試的結(jié)果是配方時(shí)缺少關(guān)鍵項(xiàng)：y2，這種方法是失敗的.

重新梳理思路：鑒于沒(méi)有y2項(xiàng)，因而所能得到的最好結(jié)果應(yīng)該是形如

（ax+b）2+（cx+d）（ey+f）=0，

或（ax+b）2+（cx+d）（ey+f）≤0.

應(yīng)該能分析出結(jié)果，但這僅僅只是一個(gè)猜想，而且在這個(gè)式子中，必須由“+”連接，否則，所得的結(jié)果也未必能夠真正解決問(wèn)題.同學(xué)們嘗試的時(shí)發(fā)現(xiàn)：

原方程2x2-xy-7x+y+9=0變式成：2（x-2）2-xy+x+y+1=0，

后四項(xiàng)中二次項(xiàng)xy的系數(shù)如果“+”，問(wèn)題似乎就解決了；

就算是“+”，同樣出現(xiàn)新的問(wèn)題：2（x-2）2+xy+x+y+1=0，

可化成：2（x-2）2+（x+1）（y+1）=0，

很明顯，根據(jù)x≥y≥1，方程的左邊是大于0的，即這是無(wú)法成立的式子！

所以，這個(gè)想法也是失敗的！這說(shuō)明這種配方的方式不正確；同時(shí)也說(shuō)明二次項(xiàng)不應(yīng)該是-xy，那只能是“x2”了！這個(gè)失敗乃成功之母的經(jīng)驗(yàn)告訴我們：配方過(guò)程中“2x2”的2有文章可做！我們已經(jīng)非常接近成功.

正解先變形為x2-6x+9+x2-xy-x+y=0易得（x-3）2+（x-1）（x-y）=0；結(jié)合x(chóng)≥y≥1，方程左邊（x-3）2≥0且（x-1）（x-y）≥0，其和為0，回歸“非負(fù)數(shù)之和為0”問(wèn)題，于是x=y=3，求得：x+y=6.

命題研究“非負(fù)數(shù)”即不是負(fù)數(shù)的數(shù)，包括正數(shù)和0，其最小值是0.當(dāng)幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0時(shí)，如果非負(fù)數(shù)有不取0的數(shù)，其結(jié)果均不可能是0，所以每個(gè)加數(shù)必為0！這就數(shù)學(xué)中一個(gè)重要結(jié)論：“非負(fù)數(shù)之和為0，則各個(gè)非負(fù)數(shù)皆0”.因其內(nèi)容廣博，涉及數(shù)與式的偶次方、絕對(duì)值、偶次算術(shù)根、整式運(yùn)算、因式分解、分式運(yùn)算等代數(shù)知識(shí)，可以檢測(cè)學(xué)生的綜合分析和處理數(shù)據(jù)能力，所以在代數(shù)領(lǐng)域中有其獨(dú)特的魅力，是數(shù)學(xué)命題中一個(gè)重要內(nèi)容.主要有以下幾種常見(jiàn)形式：

偶次方型：

（x1-a1）2+（x2-a2）2+…+（xn-an）=0，

絕對(duì)值型：

|x1-a1|+|x2-a2|+…+|xn-an|=0，

偶次根式型：

x1-a1+x2-a2+…+xn-an=0，

無(wú)一例外，結(jié)果都是xi=ai，其中i=1，2，3，…，n.以這些基本模型，可以派生出多種新的有價(jià)值的問(wèn)題、方法，借助“非負(fù)數(shù)之和為0，則各個(gè)非負(fù)數(shù)皆0”這一模型，命題通常采用倒裝式.試舉兩例如下：

命題舉例一令x=2，y=3

x-2=0，y-3=0

（x-2）2+（y-3）2=0

x2-4x+y2-6y+13=0，

這樣展示出以下從易到難的問(wèn)題：

可設(shè)置的問(wèn)題：

1.①對(duì)于實(shí)數(shù)x，若（x-2）2=0成立，則x的值是.

②對(duì)于實(shí)數(shù)y，若（y-3）2=0成立，則y的值是.

2.對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，關(guān)系式（x-2）2+（y-3）2=0成立，則x+y的值是.

命題變式1：對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，關(guān)系式x2-4x+y2-6y+13=0成立，求x+y的值.

命題變式2：對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，關(guān)系式x2+y2+13=4x+6y成立，求x+y的值.

命題變式3：對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，關(guān)系式x2+y2+13=4x+6y成立，求yx（或xy）的平方根.

命題說(shuō)明：

變式1，命題的基本思路，考驗(yàn)學(xué)生對(duì)完全平方公式的掌握程度；相對(duì)于原問(wèn)題，對(duì)于剛剛學(xué)過(guò)完全平方公式的七年級(jí)學(xué)生，要通過(guò)配方，得到原問(wèn)題，需要把13裂項(xiàng)成為4+9，是有一定難度的，主要目的是讓學(xué)生獲得解決這種問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)：對(duì)于二元二次方程，主要思路是希望通過(guò)配方成“非負(fù)數(shù)之和為0”問(wèn)題.

變式2，命題思路，再次設(shè)置梯度，相對(duì)于變式1，雖然只是進(jìn)行了移項(xiàng)變形，但對(duì)學(xué)生的思維提出了新的要求，難度再次升高.

變式3，除了對(duì)已知進(jìn)行了變形，還對(duì)所求的結(jié)論要求提高：即出現(xiàn)了學(xué)生不熟悉的yx型，這也是學(xué)生很不喜歡的類(lèi)型，所以帶給學(xué)生的壓力還會(huì)來(lái)自心理上！

混搭型：

先看一個(gè)問(wèn)題：

已知：三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a+b+c=2a-1+4b-2+6c-3+8，求abc的平方根.

它的編制過(guò)程是把平方基本型簡(jiǎn)化：

（x1-a1）2+（x2-a2）2+…+（xn-an）2=0，

其中n=3，且（x1-1）2+（x2-2）2+（x3-3）2=0，

再令：x1=a-1，x2=b-2，x3=c-3，

就得到：

（a-1-1）2+（b-2-2）2+（c-3-3）2=0；

再打開(kāi)平方，移項(xiàng)，就會(huì)得到：

a+b+c=2a-1+4b-2+6c-3+8.

解法過(guò)程不言而明.

其實(shí)，這種“倒裝式”編制題目的方式，我們老師并不陌生，再回歸原問(wèn)題解析2，探究原問(wèn)題的編制方法，不難發(fā)現(xiàn)，或用這種方式編制出“一模一樣”的題目：

對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，對(duì)于（x-a1）2+（x-y）（y-a2）=a3，可以命制出下面的問(wèn)題：

1.當(dāng)a3=0時(shí)，賦予a1、a2以常量，并限定x、y的條件，即可編制成一個(gè)問(wèn)題；

2.當(dāng)a3≠0時(shí)，賦予a1、a2以常量，并限定x、y的條件，即可編制成一個(gè)求不定方程整數(shù)解的問(wèn)題.

再設(shè)置一定的門(mén)檻，還可以編制出原問(wèn)題的姊妹題.

3.還可進(jìn)一步增加難度：對(duì)于實(shí)數(shù)x、y，對(duì)于（b1x-a1）2+（x-y）（b2y-a2）=a3，賦予b1、b2、a1、a2、a3以常量，并限定x、y的條件，可制作成與x、y相關(guān)的不定方程題.

當(dāng)然，對(duì)教師來(lái)說(shuō)，編制問(wèn)題并不容易，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，解決問(wèn)題也不容易.所以要經(jīng)過(guò)數(shù)番磨練才能窺得一斑.在現(xiàn)在的教學(xué)中，我們老師對(duì)命題的方式方法上的收獲，應(yīng)該和學(xué)生一起來(lái)探討，學(xué)生的解決問(wèn)題的能力也會(huì)隨之變強(qiáng).