王曉雯

【摘要】很多高中學(xué)生對高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是通過死記硬背，并沒有在真正理解概念的情況下去解題，使得他們只會模仿教師解決某些典型例題的題型和掌握某些特定的解法，一旦遇到新的題目就束手無策，由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體實例抽象數(shù)學(xué)概念的過程，在運用中逐步理解概念的本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念；抽象；邏輯；滲透

一、數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)研究的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。數(shù)學(xué)概念是反映這些數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式。數(shù)學(xué)概念的語詞表達(dá)一般形式是“（概念的本質(zhì)屬性）……叫做……（概念的名詞）”。數(shù)學(xué)概念的特征有：

1、抽象和具體雙重性

數(shù)學(xué)概念是反映一類事物數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性的思維形式，它排除了對象具體的物質(zhì)內(nèi)容，抽象出內(nèi)在的、本質(zhì)的屬性。這種抽象可以脫離具體的物質(zhì)內(nèi)容，在已有的數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)上進(jìn)行多級的抽象，形成一種具有層次性的體系。譬如，函數(shù)→連續(xù)函數(shù)→可微函數(shù)。這就是一個函數(shù)概念體系的抽象體系。顯然，隨著概念的多級抽象，所得到的概念的抽象程度就會越來越高。

2、邏輯連續(xù)性

在一個特定的數(shù)學(xué)體系中，數(shù)學(xué)概念之間往往存在著某種關(guān)系，如相容關(guān)系、不相容關(guān)系等，而這些關(guān)系實質(zhì)是邏輯關(guān)系。在一個體系中，孤立的數(shù)學(xué)概念是不存在的，因為這種概念沒有太大的意義和研究價值。反過來，數(shù)學(xué)概念的邏輯化又使得數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)化，公理化系統(tǒng)就是數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)化的最高表現(xiàn)形式。

二、數(shù)學(xué)概念教學(xué)方法

1、引入新概念時要使學(xué)生明白學(xué)習(xí)新概念的必要性，充分調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性

引入一個新概念，要向?qū)W生講清楚為什么要學(xué)習(xí)這個概念，能解決什么問題。例如，由相反意義的量引進(jìn)了負(fù)數(shù)，研究兩個有對應(yīng)關(guān)系的量引入函數(shù)的概念等等。這些問題通常來自生產(chǎn)實際。有時則可以借助于某個故事，如講等比數(shù)列可以用古印度國王獎賞象棋發(fā)明人的故事。這些實際的材料或故事，往往能引起學(xué)生濃厚的興趣，激發(fā)學(xué)生強烈的求知欲，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。特別是生動有趣的故事，寓意深刻，不僅講了數(shù)學(xué)概念，還講了數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)方法。

2、利用豐富的感性材料，幫助學(xué)生認(rèn)識抽象的數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系方面的本質(zhì)屬性和內(nèi)部聯(lián)系。它是人們在感覺、知覺、觀念的基礎(chǔ)上，運用分析、比較、綜合、抽象、概括等而形成的。例如，講多邊形概念時，可以從方桌面，鋪地的正六邊形磚，公園里的八角亭、正五角星頂點順次所連的圖形引入?？赡軐W(xué)生會說出各邊都相等或各角都等的多邊形叫正多邊形，這時教師可引導(dǎo)學(xué)生注意菱形和矩形并不是正多邊形，從而得出正多邊形的正確意義。

另一方面，許多概念是在學(xué)生已有的知識（概念、法則、定理等）基礎(chǔ)上規(guī)定的，它無須用實際的例子來引入，只需將新概念的本質(zhì)屬性與他的已有的知識聯(lián)系起來，便能理解新概念。

3、讓學(xué)生學(xué)會總結(jié)同類概念的邏輯關(guān)系

（1）同一關(guān)系。兩個概念的外延表示相同的對象。如自然數(shù)和正整數(shù)，三角形和三邊形等。

（2）從屬關(guān)系。例如：平行四邊形、矩形、正方形。種概念加屬差等于類概念，一系列具有從屬關(guān)系的概念，外延縮小，內(nèi)涵增大；外延擴(kuò)大，內(nèi)涵縮小。

（3）交叉關(guān)系。兩個概念的外延有一部分是相同的。如矩形和菱形的公共部分是正方形。

（4）矛盾（對立）關(guān)系。如有理數(shù)與無理數(shù)、實數(shù)與虛數(shù)、有理式與無理式，他們的內(nèi)涵互相矛盾，因此，它們之中的任何一個可以用集合的補集得出。（注意：正數(shù)與負(fù)數(shù)不是對立的概念。）

（5）并列關(guān)系。兩個概念的外延沒有公共部分。如平行四邊形和梯形是兩個并列的概念。

（6）互逆關(guān)系。加法和減法，乘法和除法、乘方和開方、冪和方根、指數(shù)和對數(shù)、函數(shù)和反函數(shù)等，要注意它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

（7）互通關(guān)系。如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分是互通的，要注意它們之間的區(qū)別和聯(lián)系。

對于每一個概念要注意他們的規(guī)定條件、適用的范圍。如補集是對于全集而言，不等式的有關(guān)性質(zhì)只在實數(shù)中考慮，用一元二次方程的判別式研究實根是對于實數(shù)系方程而言，單調(diào)函數(shù)是對屬于定義域某個區(qū)間而言。分解因式和解方程必須注意數(shù)集的要求等等。

4、概念是逐步建立起來的，要有計劃的滲透、豐富和深化

（1）概念的掌握不是一次完成的，這里有一個由膚淺認(rèn)識到深刻理解的過程。

（2）具有階段性要求的概念，如數(shù)的概念貫穿于整個中小學(xué)教學(xué)之中，要注意隨著概念的發(fā)展使理解逐步完善。

（3）有的概念，從小學(xué)就開始滲透、應(yīng)用，為正式學(xué)習(xí)新概念做好充分準(zhǔn)備，如函數(shù)、對應(yīng)等概念到初三才講，集合、極限到高中才正式介紹。

（4）關(guān)于豐富和深化的概念，如絕對值隨著數(shù)集的擴(kuò)充不斷豐富和深化。再以“和”這個概念為例，在引入負(fù)數(shù)之前和僅限于正分?jǐn)?shù)集與零；在實數(shù)集中“和”指“代數(shù)和”；學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)向量表示，又有“向量和”；學(xué)習(xí)了極限之后，對于無窮遞縮等比數(shù)列的各項和，這個“和”是一個變量取極限的結(jié)果。此外，計算圓的周長（面積）、球面積（體積），實際也是變量取極限的結(jié)果（和）。

上面說的概念滲透、豐富和深化過程是通過對于概念的不同時期階段性的要求，通過知識的發(fā)展、概念的完善逐步實現(xiàn)的。這種由對概念的個別、局部、片面的理解過渡到對概念的一般、整體及至全面的理解，從而完成了這些概念的教學(xué)。教材這樣的安排是符合學(xué)生思維發(fā)展水平、符合具體到抽象，由簡單到復(fù)雜，由淺到深的認(rèn)識規(guī)律的。

5、吸收概念精華，感悟數(shù)學(xué)思想

概念是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思維的精華，概念的獲得是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的節(jié)點而不是終點，引導(dǎo)學(xué)生感受和領(lǐng)悟隱含于概念形成中的思想方法，在概念的運用和推廣中滲透數(shù)學(xué)思想方法，這才是概念生成的核心。

“概率的頻率定義”的教學(xué)中，除了隨機性，還有頻率的穩(wěn)定性。我在實際授課中設(shè)計了四個實驗：投硬幣看正反，電腦抽獎看分布圖，蒲豐投針看圓周率，撲克牌看花色分布，讓學(xué)生在做試驗的過程感受到這種隨機性和穩(wěn)定性的過程，充分感悟和體驗這種隨機性和穩(wěn)定性，使他們體會出“概率的頻率定義”應(yīng)用的廣泛性，這個思想方法就是統(tǒng)計學(xué)的基石。動手實驗的價值在于生成數(shù)據(jù)的信度更高，相對于強加給學(xué)生信息，直接經(jīng)驗重于間接經(jīng)驗，數(shù)學(xué)思想得以真正體。

在復(fù)習(xí)“方程”這個概念時，學(xué)生研究一元二次方程，得到其求根公式、維達(dá)定理等結(jié)論；研究分式方程得到化分式為整式的經(jīng)驗，注意分母不為零；在研究無理方程時知道要考慮有理化和其存在的意義。通過這些結(jié)論的對比分析，得到解方程的本質(zhì)就是同解變形。這些結(jié)論的生成和知識現(xiàn)象背后的本質(zhì)不是教師灌輸給學(xué)生的，而是學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、合作研究的過程中探索得到的，對學(xué)生來說是原發(fā)性、持續(xù)性、創(chuàng)造性的知識。

從概念的系統(tǒng)中掌握概念，我們應(yīng)該在研究獲得的結(jié)論中進(jìn)行篩選，提煉出形式最簡、表征合理、有應(yīng)用和推廣價值的結(jié)論進(jìn)行深度剖析。一方面從結(jié)論的內(nèi)涵出發(fā)，討論結(jié)論成立的充分必要條件，可能引發(fā)出的新的結(jié)論等；另一方面從結(jié)論的外延即應(yīng)用出發(fā)，用此結(jié)論解決各種實際或抽象問題，加深對結(jié)論的記憶，并體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意。

數(shù)學(xué)概念是抽象化了的空間形式和數(shù)量關(guān)系，是反映它們本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)符號實是數(shù)學(xué)概念的表現(xiàn)形式（符號化了的數(shù)學(xué)概念）。正確理解概念及其符號是運用概念進(jìn)行判斷和推理的條件和依據(jù)。在教學(xué)中自覺地運用認(rèn)識規(guī)律，能夠使數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量不斷得以提高。