王少平

小學(xué)生以直觀形象思維為主，抽象邏輯思維能力不強(qiáng)，這就決定了他們接受數(shù)學(xué)知識的過程是以線性的方式進(jìn)行的，從而使其思維表征也以鮮明的線性方式經(jīng)歷動作表征、圖像表征，最后到符號表征。如何順應(yīng)小學(xué)生的這一思維特點(diǎn)，促進(jìn)計(jì)算教學(xué)過程中各環(huán)節(jié)之間的邏輯聯(lián)系？本文以“兩位數(shù)乘一位數(shù)”為例，探究線性思維方式下計(jì)算教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中多種表征方式的靈活運(yùn)用，以促進(jìn)小學(xué)生對算理的理解與計(jì)算方法的掌握。

一、借助動作表征加強(qiáng)對算理的直觀感知

教學(xué)“兩位數(shù)乘一位數(shù)”時(shí)，教師安排學(xué)生用擺小棒的方法得出“48×2”的結(jié)果，學(xué)生的擺法如下：

這種擺法是正確的，但還不能讓人一眼就看出結(jié)果。怎樣才能讓人一眼就看出結(jié)果呢？于是學(xué)生繼續(xù)操作小棒，便有了下面的操作（見圖2）：

學(xué)生們理由是：“……右邊的8根加8根等于16根，16里面有1個(gè)十和6個(gè)一，把1個(gè)十捆起來得到一捆，放到左邊8捆的下面，就是9捆，即90，加上右邊的6根，就是96根?！?/p>

兩位數(shù)乘一位數(shù)，計(jì)算時(shí)先把一位數(shù)與兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)相乘，滿十要向前一位進(jìn)位，算法相對于算理是抽象的，小學(xué)三年級的學(xué)生抽象概括能力較弱，當(dāng)他們借助具體的小棒來進(jìn)行實(shí)際操作時(shí)，這種抽象的算法就在擺小棒中直觀地呈現(xiàn)出來。在擺小棒的過程中，抽象的算法被具體可觸摸的小棒所代替，但又不失小棒的可操作性，有力地幫助學(xué)生在知識形成的感知階段加強(qiáng)了直觀感性認(rèn)識，建立起正確明晰的算法表象。

二、 借助圖像表征形成內(nèi)在思維影像

操作完小棒之后，教師給學(xué)生布置任務(wù)：“不看小棒圖，在頭腦中回想一下，剛才是怎樣得出‘48×2的結(jié)果的？”

學(xué)生閉上眼睛開始在腦中回想擺小棒的過程，并按照教師的要求把自己回想出來的內(nèi)容說給同桌同學(xué)聽。

這一回想的過程，學(xué)生擺脫了具體可感的小棒實(shí)物，僅依托操作過程中形成的動作表征在自己的頭腦中通過回想形成“實(shí)物影像”。這一過程實(shí)際上就是擺脫具體實(shí)物，原有的模型（小棒圖）消失，自己制作原來實(shí)物的心像。因?yàn)榛叵氲倪^程是把原來的操作過程以心像的形式在頭腦中呈現(xiàn)，所以說在這一過程中活躍的是學(xué)生的內(nèi)在思維。通過“想一想”使操作環(huán)節(jié)中大量的過程性信息得以整體地表征出來，從而為將要進(jìn)行的學(xué)習(xí)活動有一個(gè)整體的把握。同時(shí)，使學(xué)生個(gè)體可以在頭腦中建立起牢固的“兩位數(shù)應(yīng)分別與整數(shù)相乘，再把乘得的積相加”這一計(jì)算影像。如果說，操作中形成的動作表征是幫助學(xué)生在知覺上獲得了大量信息，那么圖像表征則通過回想建立“兩位數(shù)乘一位數(shù)”方法的心像，二者的結(jié)合為學(xué)生進(jìn)行抽象層面上的創(chuàng)新思維提供了可能。這就意味著通過回想建立起的圖像表征成為由動作表征過渡到符號表征的中介。

三、 借助符號表征抽象概括算法

學(xué)生在頭腦中回想并相互交流之后，教師讓學(xué)生結(jié)合擺小棒和在頭腦中回想的過程，用豎式把計(jì)算過程記錄下來。學(xué)生結(jié)合已有的“不進(jìn)位的兩位數(shù)乘一位數(shù)”經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立思考寫出豎式，呈現(xiàn)如圖3：

這兩個(gè)豎式的書寫過程既再現(xiàn)了動作表征的全過程，又使圖像表征得以外顯，是學(xué)生內(nèi)在思維的真實(shí)展現(xiàn)。同時(shí)，這兩道豎式溝通了動作表征和圖像表征之間的聯(lián)系，既體現(xiàn)了“48×2”就是2個(gè)40與2個(gè)8的和這一直觀算理，同時(shí)又體現(xiàn)了用4和8分別與2 相乘再把積相加的算法。無論是從操作的角度還是從思維的角度，這種以數(shù)字符號表征的方式是最好的記載方式。因?yàn)樗瓤梢栽佻F(xiàn)外在操作的過程，也可以再現(xiàn)內(nèi)在的思維過程。同時(shí)，其簡潔的記錄形式?jīng)Q定了它是一種具有普遍性的表征方式，易于在學(xué)生頭腦中儲存。

為了解決本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)——“進(jìn)位”問題，隨后教師讓學(xué)生比較上面兩道豎式在計(jì)算中的相同之處，同時(shí)聯(lián)系動手操作時(shí)是如何將16根小棒變成一個(gè)十和6個(gè)一的，有效地引導(dǎo)學(xué)生理解“進(jìn)位”的必要性，從而將豎式簡化（圖4）。

這時(shí)，學(xué)生的思維不再依賴于模型和影像，而是以符號作為思維活動的材料，形成了以符號為表征的具有普遍性的算法，這也標(biāo)志著學(xué)生的思維已經(jīng)向抽象概括邁出了一大步。

算理的直觀性和算法的抽象性之間存在一定矛盾，小學(xué)低年級學(xué)生的線性思維特點(diǎn)容易造成學(xué)習(xí)中各個(gè)環(huán)節(jié)的不連貫、出現(xiàn)知識點(diǎn)之間缺少邏輯聯(lián)系的弱點(diǎn)。像上面的案例那樣，在教學(xué)中循序漸進(jìn)，靈活借助各種數(shù)學(xué)表征方式，在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)對不同的表征方式靈活轉(zhuǎn)化，則可以不斷促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力的提升。當(dāng)然，學(xué)習(xí)的不同環(huán)節(jié)運(yùn)用何種表征方式并不是固定的，應(yīng)根據(jù)不同的教學(xué)目標(biāo)選擇合適的表征方式，靈活運(yùn)用，以促進(jìn)學(xué)生對知識的理解與內(nèi)化。