孔凡哲

【編者按】什么是數(shù)學(xué)理解？《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》中有這么一段話：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，不能依賴死記硬背，而應(yīng)以理解為基礎(chǔ)，并在知識(shí)的應(yīng)用中不斷鞏固和深化?？梢钥闯觥袄斫狻倍衷谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位。那么，如何在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)理解”？本期話題圍繞“深化數(shù)學(xué)理解，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力”展開。

如眾所知，判斷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功與否的重要標(biāo)志之一，就是學(xué)生是否獲得數(shù)學(xué)理解。究竟什么是數(shù)學(xué)理解？如何幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)理解？本文結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的實(shí)際，闡述數(shù)學(xué)理解及其教學(xué)實(shí)施路徑。

一、何謂數(shù)學(xué)理解

“數(shù)學(xué)理解”其實(shí)是一個(gè)很難準(zhǔn)確下定義的概念——盡管數(shù)學(xué)定義要求準(zhǔn)確無誤。通俗地講，如果一位學(xué)生已經(jīng)獲得了“數(shù)學(xué)理解”，就意味著這位學(xué)生能夠用自己的故事表達(dá)相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，對(duì)其中本質(zhì)內(nèi)涵的反映準(zhǔn)確無誤。也意味著，在這次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)于活動(dòng)中所包含的數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)涵已經(jīng)“內(nèi)化”。按照認(rèn)知心理學(xué)的觀點(diǎn)，獲得數(shù)學(xué)理解意味著數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)涵已經(jīng)融化在學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，并形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)觀念。

綜上，針對(duì)“數(shù)學(xué)理解”，我們認(rèn)為，如下三個(gè)要點(diǎn)極為重要。

1. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“理解”不等于“會(huì)背定義”。在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，無論是解釋性的定義，還是相對(duì)嚴(yán)格的定義，其核心都在于數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)內(nèi)涵，即使學(xué)生準(zhǔn)確無誤地背出定義，也未必真正理解其中的本質(zhì)內(nèi)涵。

2. “數(shù)學(xué)理解”具有典型的數(shù)學(xué)學(xué)科韻味（或稱之為數(shù)學(xué)學(xué)科特征）。亦即，數(shù)學(xué)理解雖然具有個(gè)體特征，但其要害在于，這種理解具有典型的數(shù)學(xué)學(xué)科特征。舉例來說，“某個(gè)自然數(shù)能夠拆成兩個(gè)相同的自然數(shù)之和”就是“理解”偶數(shù)所必需的數(shù)學(xué)特征，至于學(xué)生采用什么樣的語言、什么樣的方式，都是次要的。

3. 數(shù)學(xué)理解是個(gè)體對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容所包含的數(shù)學(xué)內(nèi)涵的自我構(gòu)建，進(jìn)而形成具有個(gè)人意義的典型標(biāo)志。對(duì)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)在于，學(xué)生已經(jīng)用原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的相應(yīng)觀念（或替代物，或相應(yīng)素材）詮釋新知，構(gòu)建了新知與已知之間的自然聯(lián)系，而每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)都具有典型的個(gè)性特征，這種特性在“產(chǎn)生數(shù)學(xué)理解”的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相應(yīng)成分（相應(yīng)部件）上表現(xiàn)得尤為充分。

二、數(shù)學(xué)理解的若干特征

與一般的“理解”相比，“數(shù)學(xué)理解”更復(fù)雜、更富有數(shù)學(xué)特征。

1. 獲得數(shù)學(xué)理解意味著，學(xué)生已經(jīng)把握了相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容背后的數(shù)學(xué)學(xué)科特征。

2. 獲得數(shù)學(xué)理解必然是學(xué)生對(duì)直接經(jīng)驗(yàn)和間接經(jīng)驗(yàn)的親身加工所致，其中的核心在于學(xué)科思維活動(dòng)。對(duì)學(xué)生而言，獲得了數(shù)學(xué)理解意味著，他一定經(jīng)歷了概念抽象，或者法則概括或者其他新知構(gòu)建的過程，而這個(gè)構(gòu)建過程恰恰是學(xué)生對(duì)于原有的經(jīng)驗(yàn)素材和剛剛獲得的素材的加工整合所致，這種加工整合的本質(zhì)內(nèi)涵屬于數(shù)學(xué)學(xué)科思維活動(dòng)。

3. 獲得數(shù)學(xué)理解的一個(gè)重要標(biāo)志是，學(xué)生能講述自己的“故事”，而這個(gè)“故事”恰恰能體現(xiàn)相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)科本質(zhì)特征。

三、幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)理解的教學(xué)實(shí)施路徑

正如弗賴登塔爾所言：“與其說學(xué)數(shù)學(xué)，倒不如說學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化?！睂W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)上就是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化，而幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)理解正是走向數(shù)學(xué)化的必經(jīng)之路。

在小學(xué)數(shù)學(xué)日常教學(xué)中，幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)理解，不僅需要課程教材的設(shè)計(jì)者精心設(shè)計(jì)課程內(nèi)容及其恰當(dāng)?shù)某尸F(xiàn)形式，更需要教師精心設(shè)計(jì)、組織小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程，充分喚醒學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生在輕松愉悅中主動(dòng)建構(gòu)自己對(duì)于新知的理解，進(jìn)而獲得理解性掌握。

1. 幫助學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的抽象過程、數(shù)學(xué)法則規(guī)律的概括過程，以及數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建歷程，是獲得數(shù)學(xué)理解必不可少的重要環(huán)節(jié)。

【教學(xué)案例】“破損的椅子”與角

在進(jìn)行“認(rèn)識(shí)角”的教學(xué)中，有教師采取這樣的情境導(dǎo)入。

用動(dòng)畫展示聰明貓做開車旅行前的準(zhǔn)備工作情境。聰明貓需要調(diào)試駕駛員的椅背（動(dòng)畫呈現(xiàn)椅背三種狀態(tài)：銳角、鈍角和直角），同時(shí)用畫外音表達(dá)“只有（直角的）這種狀態(tài)開車才方便”（而這一點(diǎn)恰恰是多數(shù)學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)所熟知的）。同時(shí)，課件設(shè)計(jì)時(shí)特意將駕駛室的椅背的旋鈕漏出來，突出一個(gè)頂點(diǎn)、兩條邊，即“一個(gè)地方是尖尖的，兩邊是直直的”。而后將聰明貓一路見到的生活中的各種形狀的“角”凸顯出來、抽象出來，初步認(rèn)識(shí)角的概念和本質(zhì)特征。教師對(duì)于聰明貓所見到各個(gè)相關(guān)圖片（其中都包含“角”）都進(jìn)行教學(xué)加工（比如，椅背的旋鈕露出來了，而生活中是看不見的），其目的在于幫助學(xué)生更好地從生活情境中抽象出數(shù)學(xué)中的角。

這種課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，其根本用意在于，喚醒學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，利用學(xué)生喜愛的聰明貓開車旅行的背景，將“角的概念與角的關(guān)鍵特征”融在有趣的情境之中，具有幫助學(xué)生自我建構(gòu)的明顯傾向，即從找角，到歸納角的特征（一個(gè)地方是尖尖，兩邊是直直的）。設(shè)計(jì)者堅(jiān)信：“學(xué)生學(xué)角不是為了記住角的概念，而是讓學(xué)生經(jīng)歷從生活中大量的素材抽象出數(shù)學(xué)中的角的過程?！弊寣W(xué)生經(jīng)歷這種抽象過程，對(duì)人的大腦確實(shí)是一次激發(fā)——不只是讓學(xué)生記住某個(gè)概念，而是在獲得數(shù)學(xué)理解過程之中，通過各種活動(dòng)將學(xué)生的潛質(zhì)激發(fā)出來，進(jìn)而獲得終生受用的智慧和素養(yǎng)。

2. 幫助學(xué)生自我建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)樂學(xué)、能學(xué)、會(huì)學(xué)，是數(shù)學(xué)理解教學(xué)的利器。

正是由于數(shù)學(xué)理解需要學(xué)習(xí)者有效利用已知，主動(dòng)構(gòu)建對(duì)于新知的理解，獲得數(shù)學(xué)理解、形成新知，從而樂學(xué)、能學(xué)、會(huì)學(xué)，所以成為數(shù)學(xué)理解教學(xué)的利器。

（1）樂學(xué)的中心工作在于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，充分利用數(shù)學(xué)有趣、數(shù)學(xué)好玩，喚醒學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的原動(dòng)力，解決學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)問題。為此，激發(fā)學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，喚醒學(xué)生享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)快樂的主動(dòng)意識(shí)，是教師解決學(xué)生樂學(xué)所必備的工作。

（2）能學(xué)包含學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)毅力兩個(gè)方面，前者包括具備學(xué)習(xí)的能力，包括閱讀能力、理解能力、語言對(duì)話交流能力、正確的書寫能力，以及獲取新知的基本能力。后者特指具備數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的毅力。其實(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須具備一定的毅力，要能夠堅(jiān)持下來。畢竟數(shù)學(xué)是思維科學(xué)，既需要大膽的猜測猜想，也需要謹(jǐn)慎的分析論證（包括縝密的計(jì)算、推理過程）。

（3）會(huì)學(xué)是指掌握小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本策略方法。諸如，如何閱讀數(shù)學(xué)教科書，如何思考數(shù)學(xué)問題，如何動(dòng)手動(dòng)腦在做中學(xué)數(shù)學(xué)，如何主動(dòng)參與課堂教學(xué)，如何總結(jié)每節(jié)課的要點(diǎn)、每周的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要點(diǎn)、每單元的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要點(diǎn)，如何避免“丟三落四”、毛毛糙糙等不良現(xiàn)象。

3. 抽象和類化，都是獲得數(shù)學(xué)理解不可缺少的教學(xué)渠道。

正如前文提及的，數(shù)學(xué)理解的一個(gè)重要特征就是具有數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)涵，而抽象、推理、模型恰恰是數(shù)學(xué)的基本思想，構(gòu)成義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)的核心思想。對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)而言，抽象及其逆向過程（即類化）占據(jù)更大的比例成分，畢竟小學(xué)數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)科學(xué)的起始和基礎(chǔ)，為數(shù)甚多的小學(xué)數(shù)學(xué)概念其實(shí)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多分支的原始概念或起始概念。

例如，以“圓”的概念為例，在認(rèn)識(shí)到圓在現(xiàn)實(shí)生活中的普遍存在性后，教師設(shè)計(jì)“如何用一張紙撕出一個(gè)近似的圓紙片”活動(dòng)，幫助學(xué)生先思考再動(dòng)手做，在撕出一個(gè)近似的圓紙片后再重演“撕的過程”，分析對(duì)折的目的及其效果，才能幫助學(xué)生一邊做一邊感悟圓的概念，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“圓”概念的抽象過程。只有幫助學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的抽象過程，才能幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)理解，理解抽象思想，形成初步的數(shù)學(xué)抽象能力。

4. 恰當(dāng)?shù)乩脦缀沃庇^、學(xué)生的操作活動(dòng)與合作分享等，可以有效增加學(xué)生對(duì)新知的理解程度。

對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，幾何直觀必不可少。例如，對(duì)于理解“數(shù)位”的概念，最有效的途徑就是利用現(xiàn)實(shí)素材。以“27+4”的教學(xué)為例，教師呈現(xiàn)“準(zhǔn)備請(qǐng)客人到家吃飯的情境”——老師計(jì)劃用“西紅柿炒雞蛋”招待客人，而家里的冰箱里僅有4個(gè)雞蛋，老師從超市里剛剛買來1箱雞蛋（共3層，每層都有用紙漿做成的10個(gè)窩，每個(gè)窩放1個(gè)雞蛋，一共30個(gè)），打開后發(fā)現(xiàn)破損了3個(gè)，僅僅剩下27個(gè)（教師將雞蛋帶到課堂教學(xué)現(xiàn)場，只不過將雞蛋做了特殊處理，用針管將蛋清蛋黃抽出來，僅剩下了蛋殼）。教師馬上提出：“現(xiàn)在的雞蛋數(shù)量一共多少個(gè)？”

課堂教學(xué)中的學(xué)生親自操作表明，學(xué)生很自然地將4個(gè)雞蛋中的3個(gè)補(bǔ)到3個(gè)空缺中，湊成完整的三層，而剩下1個(gè)雞蛋，一共31個(gè)。幾乎所有的學(xué)生憑著自然的感覺認(rèn)為，必須湊成整屜整屜的，也就是說“10個(gè)雞蛋一屜”是現(xiàn)實(shí)生活中真實(shí)存在的，更是學(xué)生所認(rèn)同的，用它來作為實(shí)物直觀實(shí)施十進(jìn)制的教學(xué)是智慧的、成功的。

5. 在教學(xué)過程中，教師創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，搭建學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展域，將新知融于學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)組成的情境素材中，進(jìn)而進(jìn)行抽象、推理、建模，這是獲得數(shù)學(xué)理解不可缺少的重要的教學(xué)環(huán)節(jié)。

例如，“感受可能性”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，即使是小學(xué)數(shù)學(xué)教師，有時(shí)也會(huì)遭遇困難。在教學(xué)中，搭建學(xué)生的認(rèn)知腳手架，可采用如下方式。

教師首先出示一枚硬幣，提出“你覺得連續(xù)擲10次，會(huì)出現(xiàn)幾次正面”問題，供全班學(xué)生猜想。而后，教師現(xiàn)場操作，一般不會(huì)一定出現(xiàn)5次。此時(shí)，教師提出：“如果你來操作，結(jié)果會(huì)怎樣呢？”將全班同學(xué)分為每兩位一組，分組擲硬幣，每組5分鐘。而后將全班每組的數(shù)據(jù)現(xiàn)場統(tǒng)計(jì)在黑板上，隨著統(tǒng)計(jì)的一組組數(shù)據(jù)的出現(xiàn)，教師引導(dǎo)學(xué)生分析這些數(shù)據(jù)，感受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。一旦將全班各組的數(shù)據(jù)疊加在一起（相當(dāng)于連續(xù)擲200次以上），那么，正面、反面出現(xiàn)的可能性就相差無幾，亦即，出現(xiàn)正面的可能性非常接近0？郾5。由此可以推斷，這個(gè)硬幣是均勻的。

這種設(shè)計(jì)，其用意一方面在于學(xué)生親身操作、全班合作完成數(shù)據(jù)的收集過程，另一方面在于，幫助學(xué)生獲得直接的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)據(jù)的由來，親身獲得數(shù)據(jù)隨機(jī)的直接體驗(yàn)。同時(shí)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析意識(shí)，建立歸納思維。而從統(tǒng)計(jì)學(xué)的學(xué)科屬性而言，這種設(shè)計(jì)的本質(zhì)在于，利用頻率刻畫概率必須保證頻數(shù)足夠大，否則達(dá)不到效果。

6. 學(xué)生之間的交流分享是促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的加速器。

理解的一個(gè)重要標(biāo)志就是準(zhǔn)確表達(dá)。而學(xué)生之間的交流分享，既可以誘發(fā)學(xué)生積極表達(dá)交流，并在其中主動(dòng)反思自己理解的漏洞，又可以增進(jìn)學(xué)生自我身份的強(qiáng)化和集體認(rèn)同，有助于構(gòu)建良好的朋輩關(guān)系，實(shí)現(xiàn)個(gè)人的社會(huì)化。

正如蘇聯(lián)教育家贊可夫所言：“當(dāng)教師把每一位學(xué)生都理解為他是一個(gè)具有個(gè)人特點(diǎn)的、具有自己的志向、自己的智慧和性格結(jié)構(gòu)的人的時(shí)候，這樣的理解才能有助于教師去熱愛兒童和尊重兒童?！逼溽槍?duì)性雖然是“教育”，但其核心其實(shí)已經(jīng)觸及“理解”的本質(zhì)。

（作者單位：東北師范大學(xué)）