連世友

學(xué)生要對數(shù)學(xué)知識全面理解與把握，就需要通過親身經(jīng)歷來實(shí)現(xiàn)，并且還伴隨著一系列的分析、綜合的方法，努力經(jīng)過體驗(yàn)、探究、驗(yàn)證的過程，充分理解數(shù)學(xué)知識“是什么”“與什么有關(guān)聯(lián)”“有什么用、怎樣用”，也就是從最初的模糊朦朧、未分化的理解逐漸過渡到明確清晰、分化的理解。這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才是最有效的學(xué)習(xí)，這也就是我校數(shù)學(xué)課題組進(jìn)行“小學(xué)數(shù)學(xué)各學(xué)段教學(xué)有效銜接的研究”課題研究的目的所在。只有全面把握數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，才能有效促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的全面理解。

一、把握數(shù)學(xué)知識生成點(diǎn)，內(nèi)化數(shù)學(xué)理解

數(shù)學(xué)知識具有抽象性和連續(xù)性。學(xué)生在學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)知識時，是先認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的外部特征，構(gòu)建相應(yīng)的心理表象，然后在建立新舊知識聯(lián)系的動態(tài)體驗(yàn)、探究的過程中，抽取并全面理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)特征及規(guī)律，從而達(dá)到掌握并應(yīng)用新知的最終目標(biāo)。因而，教師在教授新知時應(yīng)充分引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)知新舊知識間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，把握好數(shù)學(xué)知識的生成點(diǎn)，即“是什么”和“為什么”，從而內(nèi)化為學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)性的理解。

例如，“異分母分?jǐn)?shù)加、減法”的教學(xué)。當(dāng)教師通過對同分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法復(fù)習(xí)之后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究：①“■+■”為何不能直接相加減？②如何轉(zhuǎn)化為已學(xué)的知識解決？③我們可以有哪些方法解決這個問題？討論后，得到以下幾種解決方法：①化小數(shù)計(jì)算；②畫圖推導(dǎo)計(jì)算；③通分計(jì)算。再讓學(xué)生進(jìn)行比較，認(rèn)識其共同點(diǎn)：都是把新知轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的知識和方法加以解決。同時，教師引導(dǎo)學(xué)生通過討論比較得到最優(yōu)方法——通分計(jì)算。讓學(xué)生尋找“同分母分?jǐn)?shù)加減法”和“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的本質(zhì)聯(lián)系——只有分?jǐn)?shù)單位相同才能直接相加減。

對于“為什么只有分?jǐn)?shù)單位相同才能直接相加減”這一結(jié)論，此時學(xué)生還無法真正理解其本質(zhì)屬性，教師與學(xué)生需要作進(jìn)一步深入探究。此時，教師可將“整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)”加減法的計(jì)算法則通過課件予以展示，讓學(xué)生通過比較內(nèi)化：整數(shù)加減法是相同數(shù)位對齊；小數(shù)加減法是小數(shù)點(diǎn)對齊；分?jǐn)?shù)加減法是分母相同才能直接相加減。這三者實(shí)際上都體現(xiàn)了加、減法運(yùn)算法則的本質(zhì)特征：只有相同計(jì)數(shù)單位才能相加減。學(xué)生只有明白了數(shù)學(xué)知識的生成點(diǎn)在哪兒，才能真正內(nèi)化為自己對數(shù)學(xué)的深刻理解。

二、找準(zhǔn)數(shù)學(xué)知識發(fā)展點(diǎn)，優(yōu)化數(shù)學(xué)理解

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本在于理解。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》提出了“通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題的能力”的總目標(biāo)。學(xué)生只有理解一個熟悉的問題是怎樣被提出來的，一個數(shù)學(xué)概念是怎樣形成的，一個數(shù)學(xué)公式或法則是怎樣獲得和應(yīng)用的，才能讓已經(jīng)存在于學(xué)生頭腦中的那些不成熟的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)體驗(yàn)上升并發(fā)展到全新的科學(xué)結(jié)論，從而找準(zhǔn)數(shù)學(xué)知識的銜接點(diǎn)與發(fā)展點(diǎn)——數(shù)學(xué)模型的建立，讓學(xué)生進(jìn)一步優(yōu)化對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)屬性的豐富理解。

例如，人教版四上“常見的數(shù)量關(guān)系”中“單價、數(shù)量、總價”一課。教材以“你知道單價、數(shù)量與總價之間的關(guān)系嗎？”為問題，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)，自主探索、總結(jié)出數(shù)量關(guān)系——單價×數(shù)量=總價。其實(shí)學(xué)生從二年級就開始學(xué)習(xí)了乘法和除法，為了體會數(shù)學(xué)知識具有延續(xù)性和發(fā)展性，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系起來想一想：為什么“單價×數(shù)量=總價”要用乘法？而“總價÷單價=數(shù)量”“總價÷數(shù)量=單價”又是用除法呢？先分析一下：單價是單一數(shù)量下的價格，相當(dāng)于每份是多少；數(shù)量相當(dāng)于幾份；總價就是求“幾個幾是多少”。

而后，引導(dǎo)學(xué)生回顧二年級下冊教材中“一乘二除”的圖示（圖1），寫出相應(yīng)的算式。

思考：每道題寫出的算式中，哪個數(shù)相當(dāng)于“單價”？哪個數(shù)相當(dāng)于“數(shù)量”？哪個數(shù)又相當(dāng)于“總價”？從而讓學(xué)生理解“單價、數(shù)量和總價”之間的關(guān)系，就是乘除法之間的關(guān)系的一種具體表現(xiàn)，即將眾多的“一乘二除”問題歸之于乘法，這就生動詮釋了“乘法是一個筐，許多東西都可以往里面裝”的形象。為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)“路程、速度、時間”與“乘除法意義和各部分間的關(guān)系”奠定了良好的基礎(chǔ)，為數(shù)學(xué)知識的進(jìn)一步發(fā)展構(gòu)建了“關(guān)系”模型，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解達(dá)到最優(yōu)化。

三、注重數(shù)學(xué)知識延伸點(diǎn)，深化數(shù)學(xué)理解

我們知道，小學(xué)數(shù)學(xué)知識是依據(jù)兒童年齡特征發(fā)展和不同階段的認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平，以螺旋上升的方式呈現(xiàn)出來的。不論是相同模塊的同一知識，或是不同模塊的不同知識，它們之間都存在著或多或少的關(guān)聯(lián)。這種關(guān)聯(lián)的產(chǎn)生，是因?yàn)槊總€數(shù)學(xué)知識點(diǎn)都有著其本身的內(nèi)涵和外延，因而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有找準(zhǔn)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，注重知識的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每節(jié)課的知識點(diǎn)都置于整體知識的體系中，處理好單一知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受知識的整體性，體會對于單一數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解，才能夯實(shí)學(xué)生的“四基”，增強(qiáng)學(xué)生的“四能”。

例如，人教版“觀察物體”的教學(xué)。人教版教材將“圖形與幾何”模塊中的“觀察物體”內(nèi)容，分三個階段在不同年級進(jìn)行教學(xué)。首先是二年級上冊第五單元“觀察物體（一）”。該單元的設(shè)計(jì)內(nèi)容和目標(biāo)是建立在二年級學(xué)生認(rèn)知能力還很薄弱、空間想象力還不夠完善，因而以“知道從不同位置觀察到的物體形狀可能是不同的，能辨認(rèn)從不同位置看到的簡單物體的形狀，能辨認(rèn)從不同位置看到的簡單幾何形體的形狀”為教學(xué)目標(biāo)，逐步讓學(xué)生感受物體局部與整體的關(guān)系，初步形成全面看待事物的意識，為第二階段學(xué)習(xí)“觀察物體”提供了智力支持和學(xué)習(xí)延伸點(diǎn)，即位置不同，觀察到的物體輪廓就可能不同。

其次是四下第二單元“觀察物體（二）”。該單元知識是建立在二年級學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上。這一階段，學(xué)生的空間想象力得到有效提升，空間方向感有了明顯增強(qiáng)，空間推理能力有了一定基礎(chǔ)，因而以“能辨認(rèn)從不同位置觀察一個用正方體搭成的幾何組合體的形狀，并認(rèn)識到從同一位置觀察不同物體，看到的形狀可能相同也可能不同”為教學(xué)目標(biāo)，逐步培養(yǎng)學(xué)生從單一物體觀察到多樣物體組合觀察的空間想象力和推理能力。此時學(xué)生對所觀察的物體表象特征有了更明確的判斷推理能力，經(jīng)歷了由二維圖形延伸到三維圖形的過程，為五年級“反推”能力的培養(yǎng)奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

最后是五年級下冊第一單元“觀察物體（三）”。本單元內(nèi)容是在前面學(xué)習(xí)了從不同角度觀察實(shí)物與單個實(shí)體圖形，以及幾何組合體的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，主要是讓學(xué)生“根據(jù)給出的從一個方向或三個方向看到的形狀圖，用給定數(shù)量或是不確定數(shù)量的小正方體擺出相應(yīng)的幾何組合體，體會不同擺法和有些擺法的確定性”。這是前面兩個階段學(xué)習(xí)的延伸與提升，學(xué)生在不斷經(jīng)歷觀察、操作、想象、猜測、分析和推理的過程中，逐步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，為第三學(xué)段的全立體、全方位學(xué)習(xí)三維空間圖形奠定了良好的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)理解是多維度的、復(fù)雜的。學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解并不是一蹴而就的事情，需要教師整體把握教材，找準(zhǔn)各學(xué)段相關(guān)知識的有效銜接點(diǎn)，并給學(xué)生提供有效的學(xué)習(xí)資源和素材，給學(xué)生充足的時間和空間進(jìn)行探究活動，積累豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：福建省福州市西園中心小學(xué)）