利用向量不等式[a?b≥a?b]解題

例1 設(shè)[a，b>0，a+b=5]，則[a+1+b+3]的最大值為 .

解析 [p=（a+1，b+3）]，[q=（1，1）]，

則[p=（a+1）+（b+3）=]3.

[a+1+b+3][=1×a+1+1×b+3]

[=p?q][≤p?q=32].

例2 設(shè)[x，y，z∈R]，且滿足： [x2+y2+z2=1]，[x+2y][+3z=14]，則[x+y+z=] .

解析 設(shè)[a=（x，y，z）]，[b=（1，2，3）]，

則[b=14]，[a?b=x+2y+3z=14].

由[x2+y2+z2=1]得，[a=1].

因?yàn)閇a?b=x+2y+3z=14]，故[a?b=a?b].

從而[a//b]且同向，則[y=2x，z=3x].

代入[x2+y2+z2=1]得，[x=1414].

所以[x+y+z=（1+2+3）1414=3714].

點(diǎn)撥 利用向量不等式[a?b≥a?b]解決最值問題，往往需要所構(gòu)造的向量的模為定值或所構(gòu)造的兩個(gè)向量的數(shù)量積為定值. [n]維向量不等式[a?b≥a?b]的代數(shù)形式實(shí)質(zhì)就是“柯西不等式”[（a12+a22+…+an2）][（b12+b22+…+bn2）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2]，當(dāng)且僅當(dāng)[a1b1=a2b2=…=anbn]或[ai=bi=0]時(shí)，等號(hào)成立.

利用向量不等式[a+b≥a±b]解題

例3 已知[0

證明 設(shè)[a=（x，y）]，[b=（x，1-y）]，[c=（1-x，y）]，[d=][（1-x，1-y）]，[a+b+c+d=（2，2）]，

因?yàn)閇a+b+c+d≥a+b+c+d]，

所以[（1-x）2+（1-y）2+x2+（1-y）2+（1-x）2+y2]

[+][x2+y2][≥22].

當(dāng)且僅當(dāng)[a//b//c//d]且[a，b，c，d]同向時(shí)，等號(hào)成立，

即當(dāng)[x（1-y）-yx=0]，[xy-y（1-x）=0]，[x（1-y）-y（1-x）][=0]時(shí)，等號(hào)成立.

經(jīng)檢驗(yàn)知，[x=y=12].

故取等號(hào)的條件是[x=y=12].

點(diǎn)撥 [a1+a2+…+an≥][a1+a2+…+an]是[a+][b][≥a±b]的推廣，而本題求解依據(jù)是[n=4]的特殊情況.

利用向量不等式[a-b≤a±b]解題

例4 已知函數(shù)[f（x）=1+x2（x∈R）]，當(dāng)[a≠b]時(shí)，比較[f（a）-f（b）]與[a-b]的大小.

解析 設(shè)[p=（1，a），q=（1，b）]，

由[p-q≤p-q]知，[1+a2-1+b2≤a-b].

又由于[a≠b]，所以上述等號(hào)不成立.

所以[1+a2-1+b2

即[f（a）-f（b）<][a-b].

點(diǎn)撥 不等式[a-b≤a±b]的實(shí)質(zhì)是“三角不等式”的幾何表現(xiàn)形式，與[a+b≥a±b]一樣，其現(xiàn)實(shí)意義是：三角形任意兩邊之和（差）大于（小于）第三邊.

解決不等式恒成立問題

例5 已知當(dāng)[0≤a≤4]時(shí)，不等式[x2+ax>][4x-3][+a]恒成立，求實(shí)數(shù)[x]的取值范圍.

解析 當(dāng)[0≤a≤4]時(shí)，[x2+ax>4x-3+a]恒成立.

即當(dāng)[0≤a≤4]時(shí)，[（x-1）（x-3）+a（x-1）>0]恒成立.

令[a=（x-1，x-1）]，[b=（x-3，a）]，

亦即[0≤a≤4]時(shí)，[a?b>0]恒成立.

也就是向量[a，b]夾角恒為銳角或零角.

由于[a=（x-1，x-1）]在第一象限（當(dāng)[x≥1]時(shí)）的平分線上或第三象限（當(dāng)[x<1]時(shí)）的平分線上，

而[b]在上半平面含[x]軸上（如圖），

結(jié)合圖形可得，[x>3和x<-1].

點(diǎn)撥 不等式[a?b>0]恒成立[?][]恒為銳角或零角.

向量不僅僅是知識(shí)，更是有力工具，與其說(shuō)我們學(xué)習(xí)向量知識(shí)，不如說(shuō)我們學(xué)習(xí)向量方法. 在處理有關(guān)不等式問題時(shí)，特別是含有乘積之和或乘方之和的不等式，通過(guò)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)南蛄?，往往可以起到化繁為?jiǎn)、化難為易的效果.

[練習(xí)]

1. 已知[a>0， b>0， c>0]，函數(shù)[f（x）=|x+a|+|x-b|][+c]的最小值為4.

（1）求[a+b+c]的值；

（2）求[14a2+19b2+c2]的最小值.

2. 設(shè)[x，y，z∈R]，

求證：[x2+y2+y2+z2+z2+x2≥2（x+y+z）].

[參考答案]

1. （1）[a+b+c=4] （2）[87]

2. 簡(jiǎn)證：設(shè)[a=（x，y），b=（y，z），c=（z，x）]，

因?yàn)閇a+b+c≥a+b+c]，

所以[x2+y2+y2+z2+z2+x2]

[≥2x+y+z≥2（x+y+z）].