石成效

與長度有關(guān)的幾何概型

例1 在區(qū)間[[-1，1]]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)[x]，[cosπx2]的值介于[0]到[12]之間的概率為 .

分析 在區(qū)間[[-1，1]]上隨機(jī)取任何一個(gè)數(shù)都是一個(gè)基本事件.所取的數(shù)是區(qū)間[[-1，1]]上的任意一個(gè)數(shù)，基本事件是無限多個(gè)，而且每一個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的. 因此，事件發(fā)生的概率只與自變量[x]的取值范圍的區(qū)間長度有關(guān)，符合幾何概型的條件.

解 在區(qū)間[[-1，1]]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)[x]，即[x∈[-1，1]].

要使[cosπx2]的值介于0到[12]之間，

只需[-π2≤πx2≤-π3]或[π3≤πx2≤π2].

∴[-1≤ x≤-23]或[23≤ x≤1]，區(qū)間長度為[23].

由幾何概型知，[cosπx2]的值介于0到[12]之間的概率為

[P=符合條件的區(qū)間長度所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)間長度=232=13].

點(diǎn)撥 從本題可以看出，我們將每個(gè)事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生，則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解.

與角度有關(guān)的幾何概型

例2 在[Rt△ABC]中，[∠A]=30°，過直角頂點(diǎn)[C]作射線[CM]交線段[AB]于[M]，求使[|AM|>|AC|]的概率.

分析 如圖所示， 因?yàn)檫^一點(diǎn)作射線是均勻的，所以應(yīng)該把在[∠ACB]內(nèi)作射線[CM]看作是等可能的. 基本事件是射線[CM]落在[∠ACB]內(nèi)任一處，使得[|AM|>|AC|]的概率只與[∠BCC′]的大小有關(guān)，這符合幾何概型的條件.

解 設(shè)事件[D]為“作射線[CM]，使[|AM|>|AC|]”.

在[AB]上取點(diǎn)[C′]使得[|AC′|=|AC|].

因?yàn)閇△ACC′]是等腰三角形，

所以[∠ACC=180°-30°2=75°，]

[μA=90°-75°=15°， μΩ=90°，]

[P（D）=15°90°=16.]

點(diǎn)撥 幾何概型的關(guān)鍵是選擇“測(cè)度”，如本題以角度為“測(cè)度”，其原因是射線[CM]落在[∠ACB]內(nèi)的任意位置是等可能的. 若以長度為“測(cè)度”，就是錯(cuò)誤的，因?yàn)閇M]在[AB]上的落點(diǎn)不是等可能的.

與面積有關(guān)的幾何概型

例3 在區(qū)域[x+y-2≤0，x-y+2≥0，y≥0]內(nèi)任取一點(diǎn)[P]，求點(diǎn)[P]落在單位圓[x2+y2=1]內(nèi)的概率.

分析 應(yīng)用幾何概型的概率計(jì)算公式[P（A）=][d的測(cè)度D的測(cè)度]，即可解決此類問題.

解 區(qū)域?yàn)閇△ABC]內(nèi)部（含邊界）.

則概率為[P=S半圓SΔABC=π212×22×2=π4.]

點(diǎn)撥 幾何概型的概率計(jì)算公式中的“測(cè)度”，既包含本題中的面積，也可以包含線段長度、體積等，而且這個(gè)“測(cè)度”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān).

與體積有關(guān)的幾何概型

例4 半徑為1的球在長、寬、高分別為10，8，6的封閉長方體盒內(nèi)隨意飄動(dòng)，則球遮住長方體的體對(duì)角線中點(diǎn)的概率為 .

分析 如圖，題中的基本事件為球，而每個(gè)球?qū)?yīng)一個(gè)球心，即每個(gè)基本事件對(duì)應(yīng)一個(gè)球心，這些球心形成長為8、寬為6、高為4的長方體. 而球需遮住長方體對(duì)角線中點(diǎn)的基本事件對(duì)應(yīng)點(diǎn)形成半徑為1的球體.

解 球心移動(dòng)的空間體積為

[VABCD-A′1B′1C′1D′1]=[（10-2）（8-2）（6-2）=8×6×4].

而球遮住長方體對(duì)角線中點(diǎn)的球心移動(dòng)的空間體積[V球=4π3].

所以球遮住長方體的體對(duì)角線中點(diǎn)的概率為

[P=V球VABCD-A′1B′1C′1D′1=4π38×6×4=π144].

點(diǎn)撥 一般來講，基本事件是線段要轉(zhuǎn)化為基本事件是線段端點(diǎn)或線段端點(diǎn)與角度組成的點(diǎn)；基本事件是圓要轉(zhuǎn)化為基本事件是圓心的點(diǎn)；基本事件為球要轉(zhuǎn)化為基本事件是球心的點(diǎn).

一般地，利用“比例法”解決幾何概型題的步驟如下：（1）分析基本事件是什么，是什么非質(zhì)點(diǎn)；（2）利用非質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，把基本事件為非質(zhì)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為基本事件為質(zhì)點(diǎn)問題，且轉(zhuǎn)化后的基本事件出現(xiàn)的可能性相等；（3）根據(jù)這一點(diǎn)形成的區(qū)域?yàn)殚L度（面積、體積）求概率.

[練習(xí)]

1. 已知函數(shù)[f（x）=x2-2ax+b2]，[a，b∈R].

（1）若[a]從集合{0，1，2，3}中任取一個(gè)元素，[b]從集合{0，1，2}中任取一個(gè)元素，求方程[f（x）=0]有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率；

（2）若[a]從區(qū)間[0，2]上任取一個(gè)數(shù)，[b]從區(qū)間[0，3]上任取一個(gè)數(shù)，求方程[f（x）=0]沒有實(shí)根的概率.

2. （布豐投針試驗(yàn)）平面上畫著一些平行線，它們之間的距離都等于[a]，向此平面任投一長度為[l]（[l]≤[a]）的針，試求此針與任一平行線相交的概率.

[參考答案]

1. （1）[P（A）=612=12]

（2）[P（B）=SMSΩ=46=23]

2. [2lπa]