陶漢新
摘要:在本文中,筆者意在通過賞析近十年平面向量與解三角形交匯試題,揭示出這類試題的一般特點及命題規(guī)律,為廣大師生備戰(zhàn)高考提供了參考和借鑒。
關鍵詞:高考;試題;賞析
中圖分類號:G633.6 文獻標識碼:A 文章編號:1992-7711(2016)03-0094
新課改以后,高考數(shù)學在平面向量與解三角形交匯處命題已成常態(tài)。本文意在通過賞析近十年平面向量與解三角形交匯試題,揭示出這類試題的一般特點及命題規(guī)律,為廣大師生備戰(zhàn)高考提供參考和借鑒。
一、運用平面向量計算三角形的邊長
【例1】(2012湖南)在△ABC中,AB=2,AC=3, =1,則BC=( )
A. B. C. 2 D.
【解析】由于 = = =
所以, cosB=
又因為cosB= = =
解方程 = 得BC= ,故選擇A。
【點評】本題主要考查了平面向量數(shù)量積與余弦定理等知識,著重考查了數(shù)學運算能力,同時還考查了等價轉化思想。屬中等難度題。
二、運用平面向量計算三角形的內(nèi)角
【例2】(2006遼寧)△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c設向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,則角C的大小為( )
A. B. C. D.
【解析】由 得,(a+c,c-a)=b(b-a)
即b2+a2-c2=ab
從而cosC= =
于是C= ,選擇B.
【點評】本題主要考查了平面向量平行的坐標表示、余弦定理和已知三角函數(shù)值求角等知識,著重考查數(shù)學運算能力。屬中等難度題。
三、運用平面向量計算三角形的面積
【例3】(2010遼寧)平面上O、A、B三點不共線,設 , ,則△OAB的面積等于( )
A. B.
C. D.
【解析】
故選擇C。
【點評】本題主要考查了三角形面積公式、平面向量的數(shù)量積及其幾何意義、同角三角函數(shù)基本關系等知識,著重考查了數(shù)學運算能力。屬中等難度題。
四、運用平面向量判斷三角形的形狀
【例4】(2006陜西)已知非零向量 與 滿足
且 ,則△ABC為( )
A. 三邊均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等邊三角形 D. 等邊三角形
【解析】非零向量 與 滿足 即角A的平分線垂直于BC,所以AB=AC,
又 cosA= ,A= 故△ABC為等邊三角形,選擇D。
【點評】本題主要考查了平面向量數(shù)量積及其幾何意義、已知三角函數(shù)值求角等知識,著重考查了數(shù)學運算能力,同時考查了數(shù)形結合思想。屬中等難度題。
五、運用平面向量判定三角形的五心
【例5】(2009寧夏海南)已知O、N、P在△ABC所在平面內(nèi),且分別滿足條件, = = , + + =0, · = · =
· ,則點O、N、P依次是△ABC的( )
A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 內(nèi)心
C. 外心 重心 垂心 D. 外心 重心 內(nèi)心
【解析】由 = = 可知,點O到△ABC各頂點的距離相等,為其外心。又由 易知,點N為其重心。再由
所以點P是△ABC三條高線的交點,為其垂心。故選擇C。
【點評】(1)本題主要考查了平面向量的模、平面向量的數(shù)量積、兩向量垂直的充要條件、三角形的外心、重心、垂心概念等知識,著重考查了數(shù)學邏輯推理能力和運算能力,同時還考查了數(shù)形結合思想、等價轉換思想。屬中等難度題。
(2)對于三角形的各種心,教師可在復習平面向量時,做適當補充:
①點P是△ABC外心的充要條件是 ;
②點P是△ABC重心的充要條件是 + +P = ;
③點P是△ABC垂心的充要條件是 · = · = · ;
④點P為△ABC內(nèi)心的充要條件是a +b +c = ;
⑤點P為△ABC角A旁心的充要條件是a =b +c .
六、運用平面向量解答三角形綜合題
【例6】(2014四川)已知F是拋物線的焦點,點A、B在該拋物線上且位于x軸的兩側, =2(其中O為坐標原點),則△ABO與△AFO面積之和的最小值是( )
A. 2 B. 3 C. D.
【解析】依題意可得焦點F( ,0),設A(x1,y1)(y1> 0),B(x2,y2)(y2 <0),故x1=y21,x2=y22,則y21y22+y1y2=2,因為A、B位于x軸兩側,故y1y2=-2,從而S△ABO+S△AFO= |x1y2-x2y1|+ × |y1|= + y1≥3故選B。
【點評】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積、拋物線、基本不等式、解三角形等知識,著重考查了數(shù)學邏輯推理能力和運算能力,屬中等難度題。
【例7】(2013浙江)設△ABC,P0是邊AB上一定點,滿足P0B= AB,且對于邊AB上任一點P,恒有 · ≥ · ,則( )
A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=90°
C. AB=AC D. AC=BC
【解析】以AB的中點O為原點建系,設A(-c,0),B(c,0),C(a,b),則P0( ,0),那么 · =(c-x,0)·(a-x,b)=x2-(a+c)x+ac
于是當x= 時, · 最小,而已知 · 最小,所以 = 即a=0時,故AC=BC,選擇(D)。
【點評】本題主要考查了平面向量數(shù)量積及其坐標表示、二次函數(shù)等知識,著重考查了數(shù)學推理及運算能力,同時還考查了數(shù)形結合思想、化歸思想等數(shù)學思想。屬于難題。
七、結束語
從以上列舉的高考平面向量與解三角形交匯考題來看,這類試題要求考生對相關數(shù)學概念要非常清楚,要具有較強數(shù)學推理及運算能力,同時還要掌握基本的數(shù)學思想方法。此類試題多屬中等難度題。因此,筆者建議在備戰(zhàn)高考的復習中,教師一定要引導學生重視教材,認真落實對基礎知識、基本能力和基本數(shù)學思想方法的訓練。這不僅是高考考綱的明確要求,更是《數(shù)學課程標準》的要求。
作者簡介:費諫章,陜西省中學數(shù)學特級教師,陜西省中小學教學名師工作室主持人。先后主持并完成了三個省級基礎教育規(guī)劃課題,在省級教育期刊上公開發(fā)表了十余篇高質(zhì)量的教研論文。
(作者單位:陜西省安康市石泉中學 725200)