胥朋飛

（貴州師范大學數(shù)學與計算機科學學院，貴州 貴陽 550001）

二次根式的學習早就進入了中學數(shù)學課本，但從學生平時的練習和考試情況來看，很多學生在這些知識點上存在概念不清、計算出錯等問題。

1 不同版本大綱和課標對二次根式學習的要求

在教育部審定的北師大2013 版教材中，二次根式的學習主要開始于八年級上冊第二章第7 小節(jié)，對于二次根式內(nèi)容的學習，不同版本大綱和課程標準給出了不同的目標和要求，分別如下：

1992年教育部頒布的《九年義務(wù)教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱（試用版）》中指出：（1）了解二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的概念，會辨別最簡二次根式和同類二次根式；（2）掌握二次根式的性質(zhì)，如：（a≥0，b＞0），會根據(jù)二次根式的性質(zhì)熟練地化簡二次根式（如無特別說明，根號內(nèi)所有的字母都表示正數(shù)，并且不需要討論）；（3）掌握二次根式的加、減、乘、除的運算法則，會用它們進行運算；（4）會將分母中含有一個或兩個二次根式的式子進行分母有理化。[1]

2000年教育部頒布的《九年義務(wù)教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱（試用修訂版）》中指出：（1）了解二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的概念，會辨別最簡二次根式和同類二次根式；（2）掌握積與商的方根的運算性質(zhì)，如：（a≥0，b＞0），會根據(jù)這兩個性質(zhì)熟練地化簡二次根式（如無特別說明，根號內(nèi)所有的字母都表示正數(shù)，并且不需要討論）；（3）掌握二次根式（不含雙重根號）的加、減、乘、除的運算法則，會用它們進行運算；（4）會將分母中含有一個二次根式的式子進行分母有理化；（5）掌握二次根式的性質(zhì)，會利用它化簡二次根式。[2]其中，最后一條被列為選修部分。

2001年教育部頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》（簡稱標準）在第三學段的內(nèi)容標準中提出：了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關(guān)實數(shù)的簡單四則運算（不要求分母有理化）。[3]

2011年版《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》（簡稱《新標準》）也提出：了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關(guān)的簡單四則運算。[4]

2 不同版本大綱、課標之間二次根式學習內(nèi)容的比較

2.1 不同大綱二次根式學習內(nèi)容的異同點

通過比較，大綱都要求學生了解一些相關(guān)的定義和概念，如二次根式、最簡二次根式等，重點是讓學生在運用之前把基礎(chǔ)知識打牢。在運算性質(zhì)中，修訂版的大綱中取消了這一條，明確指出“會根據(jù)這兩個性質(zhì)（積和商）熟練地化簡二次根式”。而在1992年的試用版大綱中，沒有確切的提出“兩個性質(zhì)”，這樣，學生在做題時所接觸的知識點就會有所減少，難度也會有所下降，給學生減輕了負擔。對比兩個版本大綱，在掌握二次根式性質(zhì)中，大綱中都附有一個括號，以此特別要求學生在計算過程中，要清楚知道根號下面的字母必須是正數(shù)，才可以進行化簡計算，這也是大部分學生的一個易錯點。對于運算法則，修訂版的大綱明確提出二次根式的計算中不能有雙重根號，在進行分母有理化時也只是要求學生會將分母中含有一個二次根式的式子進行分母有理化，難度降低。

2.2 不同課標二次根式學習內(nèi)容的異同點

概念掌握對學生后續(xù)學習是非常重要的，因此在新舊標準中，它們都明確要求學生必須了解二次根式的概念。在新標準中，加入了要讓學生了解“最簡二次根式的概念”。在加、減、乘、除運算法則中，新課標特意指出在計算中“根號下僅限于數(shù)”，就把根號下有字母的運算給取消了。同時，新舊標準都要求學生會進行簡單四則運算，不同的是，標準中指出“不要求分母有理化”，而新標準中卻沒有提到這一條。

對比標準和新標準，在概念方面，新標準加入了一個知識點“了解最簡二次根式的概念”，拓寬了學生的知識面，對二次根式有更進一步的要求和理解。在運算法則方面，取消了字母運算，回歸學生熟悉的數(shù)字運算，難度大大降低，減輕學生的學習負擔，但也加入了一個難點“分母有理化”,這對學生來說是一個大的挑戰(zhàn)，成為大部分學生在二次根式學習中所遇到的一個困難。綜合來看，新標準對學生提出了更高的要求。

2.3 不同版本大綱與課標之間二次根式學習內(nèi)容的異同點

在數(shù)學知識學習中，一些基本的概念是學生所必須掌握的。因此，無論是大綱還是標準，對此都作了嚴格的規(guī)定，要求學生必須了解。只是在兩版的大綱和標準中，只有標準是沒有明確指出要學生“了解最簡二次根式的概念”的。在數(shù)學計算中，總是離不開性質(zhì)和法則，大綱和標準都有所規(guī)定，而最大的不同就是在分母有理化這一知識點的要求上，標準中沒有要求分母有理化，新標準和兩版的大綱都有所要求，但在1992年的試用版大綱中，要求學生“會將分母中含有一個或兩個二次根式的式子進行分母有理化”，這是學生在學習中難度最大的。

對比兩個版本大綱和標準，標準在內(nèi)容的學習上有所減少，但對學生所要學習二次根式的最基本要求沒有改變，難度有所降低，但要求學生掌握的計算過程和基本運算法則沒有改變。

3 典型案列分析

二次根式的運算是初中數(shù)學學習的一個重點和難點，是對所學概念、性質(zhì)和運算法則的終極運用點，更是已學的“數(shù)與式”內(nèi)容的延伸和綜合體現(xiàn)。[5]因此，在學習中還需要把已學過的知識融入其中，引導學生更好的去學習。

3.1 概念、性質(zhì)的運用

新課標要求學生要了解二次根式、最簡二次根式的概念，特別是最簡二次根式。在初中的數(shù)學教學中，所涉及到的題目也是最多的，因為它既是二次根式加減法運算的基礎(chǔ)，也是我們在做題時對運算結(jié)果的一種要求，為二次根式的運算指明了方向。對于最簡二次根式的概念，在教育部審定的北師大2013版教材中第42 頁提到：“一般地，被開方數(shù)不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式。一般地，被開方數(shù)不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式”。[6]，對于二次根式的化簡，我們必須要求學生首先掌握二次根式的兩個常用性質(zhì)：0，b＞0），這樣才能方便學生更好的解題，但由于許多學生對概念、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識掌握不牢，就經(jīng)常會出現(xiàn)許多錯誤，比如

例1：（2010年湛江） 下列二次根式是最簡二次根式的為（ ）

錯解 1：D 錯解 2：A

解析：根據(jù)最簡二次根式的定義：一般地，被開方數(shù)不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式。選項D 中學生認為不能繼續(xù)化簡出錯，選項A 中學生對最簡二次根式的定義不清晰出錯，被開方數(shù)不含分母。

例2：化簡

解析：以上都是學生經(jīng)常會出錯的幾種解法，解法一中學生對帶分數(shù)理解不清晰，直接想到用二次根式的乘法性質(zhì)而出錯；解法二中學生沒有認識到“被開方數(shù)中不含分母”而出現(xiàn)錯誤；第三種解法出錯幾率很高，大部分學生都會認為分子的不能再做化簡，而，因此正確答案應該為。

3.2 法則的運用

二次根式乘法法則和除法法則的運用主要在課本的第2 課時，是在第1 課時二次根式性質(zhì)的基礎(chǔ)上的直接運用，新標準要求會用二次根式的加、減、乘、除運算法則進行計算，在課本中給出了3 個例題，例3 的3 個小題是對二次根式乘法法則和除法法則的直接運用計算，相對來說比較簡單，而例4 和例5 中的幾個小題除了乘、除運算，還加入了加、減運算，題目的設(shè)計具有一定的梯度，例4 側(cè)重乘、除運算，同時也加入了學生很熟悉的有關(guān)運算定律和公式（如結(jié)合律、交換律、分配率、平方差公式和完全平方式等）的運用；而例5 主要為加、減運算，不同的是，算到最后結(jié)果有同類二次根式，可以進行合并。在對二次根式法則的運用中也常常會出現(xiàn)許多的錯誤，舉例如下：

解析：解法一中學生直接按照以前熟悉的整數(shù)運算進行分子分母約分，不清楚根號內(nèi)的因數(shù)不能和根號外的因數(shù)直接進行約分出錯；解法二中學生在進行到最后時忘記了帶運算，在進行合并同類二次根式時被開方數(shù)和根指數(shù)都不變，因此正確結(jié)果為

解析：解法一中學生沒有認識到和不是同類二次根式，所以不能合并，更不能違反運算法則直接把被開方數(shù)相加；解法二中是因為學生對以前學過的完全平方式記憶不清晰而運用出錯；解法三中學生把二次根式的乘法法則誤用到加法中而出現(xiàn)錯誤。正確的解答過程為

結(jié)果不是同類二次根式，不能再進行合并了。

通過對相關(guān)典型案例的分析可以看出，學生要能夠熟練掌握二次根式的概念、性質(zhì)和法則，同時應該把以前學過的知識點融入進去，否則在運用的過程中就會出現(xiàn)錯誤。二次根式在初中數(shù)學的學習中有著非常重要的位置，在后續(xù)的教學中也還會有進一步的加深運用，對大部分中學生來說比較困難，因此，在教學過程中，教師應該進行合理的講解，不要讓學生只是機械性的死記硬背，要讓學生在熟練中運用，在運用中熟練，找到適合的解題思路和過程，提高學生的思維能力和計算能力，避免出現(xiàn)一些基礎(chǔ)性的錯誤。