王 果，周 末，常文寰

（蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院，甘肅 蘭州 730070）

0 引言

隨著我國高速鐵路建設步伐的加快，對電力行業(yè)產(chǎn)生的影響越來越大。由于高速鐵路采用的交-直-交牽引傳動系統(tǒng)以及其運行的隨機性、波動性和不對稱性，引起的高次諧波、負序問題影響公共電網(wǎng)的電能質量［1］。需要注意的是，高速鐵路的諧波含量雖然符合國家標準，但是其所含的高次諧波易與系統(tǒng)產(chǎn)生高次諧振，影響系統(tǒng)的正常運作。因此在高速鐵路中，有效地消除高次諧波和負序是目前學者的主要工作［2］。有源電力濾波器APF（Active Power Filter）憑借其優(yōu)越和穩(wěn)定的補償性能，擁有較高的學術研究價值和性價比，得到了專家學術界的關注，并逐步被應用于對牽引變電所的綜合補償中。

現(xiàn)有的APF多為三相六開關結構，該結構需要三相橋臂的功率開關管，模塊體積較大，開關損耗較高，因此器件成本和散熱設計成本較高。本文采用的三相四開關并聯(lián)型APF拓撲結構，與六開關逆變器相比減少了一對功率開關器件，電路設計將更加簡單，功率器件總體功耗也會有所減少，控制策略也相對簡單，適合于中大功率場合的應用［3-5］。

常用于電氣化鐵路的APF電流控制方法多為三角載波調制法、PI控制和滯環(huán)控制等。因為高速鐵路中的諧波中含有高頻成分，PI控制法的帶寬有限，當需要跟蹤高次諧波時，不能實現(xiàn)無靜差的快速跟蹤，導致系統(tǒng)的補償效果變差；三角波法會向系統(tǒng)中引入三角載波頻率，這種高次頻率可能與系統(tǒng)產(chǎn)生諧振，而且在高速鐵路中，高次諧波也是治理目標，因此三角載波調制法不適用；滯環(huán)控制的缺陷是控制精度不高，其開關頻率變化，導致系統(tǒng)損耗變大，而且其中某些頻率可能會與系統(tǒng)發(fā)生諧振?；趦饶Ｔ淼闹貜涂刂颇苡行Ц櫠喾N頻率疊加的諧波信號，在APF中得到了廣泛應用［6-7］。本文采用重復控制策略，這種控制方法可以根據(jù)應用對象靈活設計系統(tǒng)頻率，現(xiàn)有的重復控制設計一般僅要求跟蹤20次左右頻率的諧波，而在高速鐵路中需要跟蹤的諧波頻率高達150次，因此需針對這種負載特性設計控制器參數(shù)。

本文首先分析三相四開關并聯(lián)型APF系統(tǒng)模型，并將重復控制應用于高速鐵路的有源補償中，利用重復控制可以無靜差地跟蹤周期性干擾的特點提高APF的補償性能，同時重復控制引入快速通道，保證系統(tǒng)良好的動態(tài)性能。針對高速鐵路負載特性，建立MATLAB仿真模型。仿真結果證明了所提模型及控制策略的有效性。

1 三相四開關并聯(lián)型APF系統(tǒng)

1.1 三相四開關并聯(lián)型APF系統(tǒng)的拓撲結構

本文采用的并聯(lián)型APF系統(tǒng)拓撲結構如圖1所示。針對我國高速鐵路系統(tǒng)情況，本文采用V/v牽引變壓器對機車進行牽引。APF的A、B兩相由IGBT和續(xù)流二極管組成，C相接于直流側電容C1和C2的中點，三相經(jīng)輸出電感L與供電臂相連接。由于減少了1對功率開關器件，與六開關逆變器相比，驅動電路設計將更加簡單，功率器件總體功耗也會有所減少，適合于中大功率場合的應用。由于這種結構僅需控制AB兩相橋臂，因此只需針對這兩臂設計控制器即可實現(xiàn)對變流器的控制。

圖1 電氣化鐵路三相四開關APF拓撲結構Fig.1 Topological structure of three-phase four-switch APF for electrified railway

1.2 三相四開關并聯(lián)型APF原理分析

圖2為由圖1簡化的三相四開關APF拓撲結構。以電感電流和電容電壓為狀態(tài)變量，列寫APF中三相四開關逆變器的數(shù)學模型。

圖2 簡化的三相四開關APF拓撲結構Fig.2 Simplified topological structure of three-phase four-switch APF

Usa、Usb、Usc分別為耦合變壓器低壓側等效電源；UAN、UBN、UCN為輸出電壓；UAn、UBn、UCn為輸出線電壓；n為直流母線中點；N為等效電源中性點；UnN為n、N間電壓。由基爾霍夫電壓定律可得：

對于平衡的三相系統(tǒng)有：

將式（2）代入式（1）可得：

Sx為開關管狀態(tài)，x 取 1、2、3、4 時分別對應 VT1、VT2、VT3、VT4，Sx=1 為閉合狀態(tài)，Sx=0 為斷開狀態(tài)。

結合式（1）—（3）可得：

三相輸出電流由直流母線中點與電源中性點間電壓與交流側電壓作差后產(chǎn)生，因此有電壓回路方程：

其中，R為電感L的等效電阻。

由式（4）—（6）可知，控制 AB兩相橋臂的 4個開關管即可控制A、B相輸出電流的大小，并進一步控制C相電流。而且由式（6）可知，三相橋臂沒有耦合關系，因此無需解耦也可分別設計控制器實現(xiàn)對AB兩相的控制。

2 基于重復控制的電流跟蹤控制策略

2.1 重復控制基本原理

重復控制是20世紀80年代根據(jù)實際控制工程的需要提出的一種新型控制系統(tǒng)設計方法，當重復地進行相同的操作時，操作人員基于上次的操作結果適當?shù)卣{節(jié)當前的操作行為，逐漸地變得熟練，最終成為熟練技師，實現(xiàn)高精度的操作，東京工業(yè)大學中野道雄教授受到人類從事重復工作的啟發(fā)，提出基于人類學習過程的重復控制方法。不同于其他方法，重復控制系統(tǒng)中存在著基于以前的控制結果對當前的控制行為進行調節(jié)的過程，這個過程是該控制方法的關鍵［8］。

重復控制的控制思想基于內模原理?！皟饶！笔侵冈诜€(wěn)定的閉環(huán)控制系統(tǒng)中包含外部輸入信號的數(shù)學模型。“內模原理”表述為：對于一個控制系統(tǒng)，如果控制其的反饋來自被調節(jié)的信號，且在反饋回路中包含相同的被控外部信號動態(tài)模型，那么整個系統(tǒng)是結構穩(wěn)定的。內模原理的本質是把系統(tǒng)外部信號的動力學模型植入控制器以構成高精度的反饋控制系統(tǒng)。這樣的系統(tǒng)能夠無靜差地跟蹤輸入信號［9］。

2.2 重復控制的結構與功能

圖3為本文采用的重復控制結構，虛線部分為指令前饋通道，也稱“嵌入式結構”，用于改進系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤性。P（z）為被控對象，r為需要跟蹤的重復指令，即APF實際產(chǎn)生的補償電流重復控制器檢測指令r與實際輸出y之間的誤差e，由內模對誤差e進行逐周期積分，在誤差消失或變得很小的時候仍輸出與上一周期相同的控制量。濾波器Q（z）用于改進傳統(tǒng)重復控制器，在Z-N前插入1個帶限濾波器Q（z），使系統(tǒng)在單位圓上的極點發(fā)生偏移到單位圓內，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一般為略小于1的常數(shù)或低通濾波器。前向串聯(lián)通道上的周期延時環(huán)節(jié)Z-N，使控制動作延遲1個周期進行，即本周期檢測的誤差在下一周期影響控制量，也可以理解為系統(tǒng)在下一周期預知上個周期的誤差，具有超前性。補償器C（z）針對被控對象P（z）的幅頻特性進行設計，提供幅值和相位補償至滿足濾波器性能所要求的范圍內，使重復控制系統(tǒng)穩(wěn)定［10-12］。補償器C（z）一般采用以下形式：

其中，zk為超前環(huán)節(jié)，起相位補償作用；Kr為重復控制增益；S（z）為濾波器。 S（z）主要有以下作用：將被控對象中低頻段增益校正為1，方便后續(xù)設置Kr；抵消被控對象的諧振峰值；增強前向通道的高頻衰減特性，提高控制器的穩(wěn)定性和抗干擾性。

圖3 重復控制系統(tǒng)示意圖Fig.3 Schematic diagram of repetitive control system

利用控制理論中的小增益原理可以導出控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：

其中，T為采樣周期。

因此設計重復控制結構需要根據(jù)以上要求并驗證其穩(wěn)定性，才能精確并高效跟蹤指令電流。

2.3 改進重復控制器的設計

以主電路A相為例討論控制法的設計，A相等效電路如圖4所示。圖4中，ea為電網(wǎng)A相電壓；ua為主電路輸出的三相電壓；電感L起平波和濾波的作用；R為電感的等效電阻。設計參數(shù)如下：采樣頻率為10 kHz，濾波電感 L為1 mH，電感等效串聯(lián)電阻 R 為 0.5 Ω［13］。

圖4 主電路A相的等效電路Fig.4 Equivalent circuit of main circuit for Phase-A

2.3.1 被控對象P（z）

電壓型逆變器發(fā)出的電壓經(jīng)過濾波電感L轉換為電流信號注入電網(wǎng)，為此本系統(tǒng)的控制對象為RL模型，可以求得其傳遞函數(shù)為：

對上式進行零階保持離散化得到其在離散域中的模型：

其中，零階保持器的傳遞函數(shù)為 Gh0（s）=（1-e-Ts）/s。

分析受控對象的數(shù)學模型P（z）可知，該控制對象為一個典型的一階慣性環(huán)節(jié)，Bode圖如圖5所示?？梢钥闯觯刂茖ο蟛淮嬖谥C振，但幅值從100 Hz開始衰減，隨著頻率的增加，衰減程度越大，從相位特性可以看出，系統(tǒng)相位從低頻段就開始變化，從0°到滯后90°，始終存在相位差，導致不能及時跟蹤指令電流，嚴重影響APF的補償性能。

圖5 P（z）的 Bode 圖Fig.5 Bode diagram of P（z）

從上述分析可知，未經(jīng)校正的逆變器不存在諧振，因此不需要設計抵消諧振峰的濾波器。低頻段有大約6 dB的增益放大，且截止頻率約為138 Hz，即僅能及時跟蹤138 Hz的諧波，相頻特性上存在相位滯后，因此需設計S（z）使中低頻段增益為1，并引入超前環(huán)節(jié)彌補幅值誤差。由于運用在電氣化鐵路中，因此要求校正后控制器的帶寬較大，至少能實現(xiàn)100次諧波的跟蹤，因此要求校正后的截止頻率至少為5000 Hz。另外若使逆變器有較好的跟蹤性能，校正后的逆變器頻率特性應為0 dB，相位特性也為 0°。

2.3.2 補償器C（z）

補償器C（z）的設計目的是在頻率范圍內，把控制對象幅值校正到0 dB，相位校正到0°，以實現(xiàn)系統(tǒng)良好的穩(wěn)態(tài)精度和穩(wěn)定性。

相位誤差引入超前環(huán)節(jié)來校正，目的是彌補被控對象在中低頻段的相位滯后。根據(jù)控制理論中超前校正的知識，設計一個超前環(huán)節(jié)對被控對象進行校正。令：

再引入一個比例環(huán)節(jié)將被控對象的中低段增益校正為1：

即校正環(huán)節(jié)在z域的傳遞函數(shù)為：

式（10）、（13）相乘得：

圖6繪出了S（z）對控制對象的校正，包括被控對象的幅頻特性、校正環(huán)節(jié)的幅頻特性以及校正后的幅頻特性。可以看出，經(jīng)過校正環(huán)節(jié)補償以后，被控對象的中低頻段增益被校正為1 dB，接近要求的0 dB，同時這部分的相位滯后也得到了補償，符合設計要求。關鍵是系統(tǒng)的帶寬比校正前增寬，截止頻率被提升到4000 Hz，即可以無靜差跟蹤80次諧波，滿足高速鐵路諧波抑制的要求。

圖6 經(jīng)S（z）校正前后被控系統(tǒng)的Bode圖Fig.6 Bode diagram of controlled system，with and without correction by S（z）

從圖6可以看出，系統(tǒng)在高頻段的幅值衰減非常緩慢，缺乏對高頻段的抗干擾能力，因此還需設計一個低通濾波器加快高頻段的衰減。本文采用二階濾波器。觀察圖6知，在9 kHz處幅值增益降為0，因此低通濾波器的轉折頻率設為8.5 kHz，阻尼系數(shù)ζ=0.707，二階低通濾波器在s域及經(jīng)tustin法離散后z域的傳遞函數(shù)分別為：

式（14）—（17）相乘得：

其Bode圖如圖7所示。

圖7 二階LPF Bode圖Fig.7 Bode diagram of 2nd-order LPF

補償后的系統(tǒng)Bode圖如圖8所示，可看出采用二階低通濾波器后，系統(tǒng)的高頻衰減特性增強，穩(wěn)定性和高頻干擾能力增強。

圖8 經(jīng)LPF補償前后的系統(tǒng)Bode圖Fig.8 Bode diagram of system，with and without compensation by LPF

在4 kHz補償帶寬內，幅值已經(jīng)基本滿足要求，但相位角明顯存在滯后，相移的存在意味著系統(tǒng)產(chǎn)生延時，嚴重影響有源濾波器的補償效果，所以需要對相位進行校正。圖9為系統(tǒng)與滯后環(huán)節(jié)1/z、1/z2、1 /z3、1/z4的比較效果，采用超前環(huán)節(jié) z2對系統(tǒng)的相位進行校正。

圖9 被控系統(tǒng)和滯后環(huán)節(jié)的Bode圖Fig.9 Bode diagram of controlled system and delay components

式（18）與超前環(huán)節(jié)z2相乘得：

圖10 被控系統(tǒng)的最終補償效果Fig.10 Final compensation effect of controlled system

系統(tǒng)最終的補償效果如圖10所示。由圖10可見，在0～1 kHz頻段，幅值基本為0，相位也基本為0°，滿足控制系統(tǒng)的要求，可以跟蹤至少20次諧波。在大于1 kHz頻段，相頻特性有很小的相移，且遠小于90°相移，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下仍可以對指令信號進行高精度跟蹤，因此系統(tǒng)至少可以穩(wěn)定跟蹤50 kHz的指令信號。

2.3.3 穩(wěn)定性分析

根據(jù)式（8）驗證系統(tǒng)穩(wěn)定性。 當 Q（z）取0.95時，畫出以（0.95，0）為圓心的單位圓和 C（z）P（z）的Nyquist圖如圖11 所示。 從圖中可以看出，C（z）P（z）的軌跡在單位圓內，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖11 校正后被控系統(tǒng)的Nyquist圖Fig.11 Nyquist diagram of controlled system after correction

至此，針對APF電流控制的重復控制器設計完成，各部分匯總如表1所示，依據(jù)此參數(shù)進行后續(xù)仿真。

表1 控制器參數(shù)Table 1 Parameters of controller

3 仿真結果及分析

為了驗證提出的三相四開關并聯(lián)型APF結構的正確性及重復控制的正確性，構建MATLAB/Simulink仿真電路。電源額定電壓和頻率分別為110 kV、50 Hz；采用V/v型牽引變壓器，輸出電感為1mH，等效電阻為0.5Ω；APF直流側電壓為67500V。根據(jù)以上設計參數(shù)進行系統(tǒng)仿真。

3.1 負載模型

機車負載模型在0 s投入300 A單相負載，0.4 s疊加投入100 A，根據(jù)實際高速鐵路中電能質量情況設計詳細參數(shù)如表2所示。

3.2 重復控制仿真

圖12給出重復控制器的跟蹤效果，波形由上至下分別為電流跟蹤指令、控制器跟蹤電流以及兩者誤差，可見兩者誤差較小，重復控制器可以穩(wěn)定跟蹤電流指令實現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤。

表2 負載參數(shù)Table 2 Parameters of load

圖12 采用重復控制器時的電流跟蹤效果Fig.12 Current tracking effect of repetitive controller

圖13為采用重復控制器時，負載由300 A增至400 A的動態(tài)響應，上下波形分別為負載電流與重復控制器跟蹤電流，負載變化時，由于重復控制中加入了前向通道，系統(tǒng)能迅速調節(jié)補償?shù)闹C波，動態(tài)響應快。

圖13 采用重復控制器時的動態(tài)響應Fig.13 Dynamic response of repetitive controller

3.3 三相四開關并聯(lián)型APF補償性能

圖14 負載基波電流、負載諧波電流、補償后電網(wǎng)電流及補償電流誤差Fig.14 Load fundamental current，load harmonic current，compensated grid-side current and compensating current error

圖14為三相四開關APF補償性能，波形由上至下分別為負載基波電流、負載諧波電流、補償后電網(wǎng)電流及補償電流誤差?？梢娧a償后的電網(wǎng)電流基本僅包含基波電流，誤差大約為5 A。

圖15為補償后的諧波含量，總諧波畸變率減少到1.48%，而且50次、100次附近的諧波基本消除。

圖15 補償后的電網(wǎng)電流諧波含量Fig.15 Harmonic contents of compensated grid-side current

4 結論

本文將三相四開關型APF結構運用于電氣化鐵路中，并以高速鐵路為例進行詳細研究，將重復控制應用于三相四開關APF的輸出電流跟蹤控制，并以高速鐵路中的高次諧波為對象給出了其重復控制器的設計和穩(wěn)定性分析的方法。相對于傳統(tǒng)的電流控制方法，本文采用的重復控制具有動態(tài)響應速度快、誤差收斂時間短、高精度跟蹤多種疊加高次諧波的優(yōu)點。

仿真結果表明，重復控制器能夠實現(xiàn)對至少103次諧波的高精度跟蹤，從而提高APF的諧波補償性能，電力機車向電網(wǎng)中注入的高次諧波幾乎完全被三相四開關APF補償，同時控制器的前向通道可以保證其動態(tài)性能。因此基于重復控制的三相四開關APF由于其較低的成本和較好的補償性能使其在高速電氣化鐵路有源補償中有較高的應用價值。

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