李春燕，楊 強，魏 蔚，羅洪飛，張 謙

（重慶大學 輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術國家重點實驗室，重慶 400044）

0 引言

配電網(wǎng)通常具有閉環(huán)設計、開環(huán)運行的特點，其上配置了較多分段開關和聯(lián)絡開關等，通過改變這些開關的開、合狀態(tài)可以改變配電網(wǎng)結構。因此，配電網(wǎng)重構就是在滿足系統(tǒng)約束的條件下，通過改變開關的狀態(tài)來改變網(wǎng)絡拓撲結構，從而達到降低網(wǎng)絡損耗、平衡負荷和提高供電可靠性等目的［1］。

近年來，風力發(fā)電作為分布式發(fā)電DG（Distributed Generation）的一種重要形式，技術發(fā)展迅猛，風電機組 WTG（Wind Turbine Generator）接入傳統(tǒng)配電網(wǎng)是配電智能化的發(fā)展趨勢。但WTG出力的隨機性和間歇性，勢必會對配電網(wǎng)系統(tǒng)產(chǎn)生較大影響［2］。

國內(nèi)外已對含DG的配電網(wǎng)重構展開研究。文獻［3］基于概率模型描述風電隨機出力，根據(jù)風速與輸出功率間的關系，將不同功率輸出作為不同場景，通過選擇不同場景建立計及風電出力隨機影響的配電網(wǎng)重構場景模型。文獻［4-6］提出在重構過程中將分布式電源的輸出功率和負荷視為恒定，忽略了DG出力的隨機性特點。這些文獻均基于恒定負荷模型，且未計及風速與負荷相關性的影響。在含WTG的配電網(wǎng)中，風速和負荷受多種氣候因素影響而隨機變化，二者具有一定相關性，并非獨立隨機變量，且這種相關性對配電網(wǎng)潮流和重構的影響不能忽略。

國內(nèi)外已有一些關于風速與負荷相關性的研究。文獻［7］考慮與負荷相關的溫度變化對風速的影響，對風速進行自回歸滑動平均ARMA（Auto Regression Moving Average）預測，采用非參數(shù)估計的方法得到含溫度參量的時序風速。文獻［8］建立了時序風速-負荷模型，研究風電容量裕度時計及負荷變化的影響。文獻［9］假設風速、負荷均服從正態(tài)分布，通過二者的線性相關系數(shù)，建立了基于二元正態(tài)分布的風速與負荷相關性模型，研究了風速與負荷相關性對配電網(wǎng)可靠性的影響。上述文獻建立的模型精度較差，且鮮有文獻研究風速與負荷相關性對配電網(wǎng)重構的影響。文獻［10］應用Copula理論建立了風電場、光伏電站出力聯(lián)合概率分布模型，沒有分析風速與負荷間的相關性，但可以借鑒該文方法進行變量間相關性的研究。文獻［11］將Copula理論與蒙特卡洛仿真法相結合，提出了一種處理輸入隨機變量相關性的概率潮流計算方法，但沒有分析風速與負荷的相關性對配電網(wǎng)重構的影響。因此，如何在配電網(wǎng)重構中計及風速與負荷相關性的影響，用聯(lián)合分布描述二者的相關性，建立更精確的數(shù)學模型具有重要研究意義。

綜上，本文通過建立基于Copula理論的風速與負荷相關性模型，提出了一種計及二者相關性的配電網(wǎng)重構優(yōu)化方法。

1 基于Copula理論的風速與負荷相關性模型

1.1 Copula理論

傳統(tǒng)相關性模型在應用中存在一定不足：各隨機變量邊緣分布必須相同；只能解決一些特殊的多元分布；基于線性相關系數(shù)進行變換會改變原始樣本的相關結構等［9，12-13］。 而 Copula 函數(shù)理論因其具有很多優(yōu)良的特性，可以解決這一難題。Copula函數(shù)是一類將多元聯(lián)合分布函數(shù)與變量各自的邊緣分布連接在一起的函數(shù)，也稱作連接函數(shù)，它描述了變量間的相關性［14］。

Sklar 定理［15］：令 F（x1，x2，…，xN）為具有邊緣分布 F1（x1）、F2（x2）、…、FN（xN）的聯(lián)合分布函數(shù)，那么存在一個 Copula函數(shù) C（·，…，·），滿足式（1）：

其中，u1=F1（x1），u2=F2（x2），…，uN=FN（xN）。 若邊緣分布 F1（x1）、F2（x2）、…、FN（xN）連續(xù)，則 Copula 函數(shù) C唯一確定。

Sklar定理是Copula理論的應用基礎。Copula函數(shù)構造相關性模型的優(yōu)點在于不必要求各變量具有相同的邊緣分布，任意邊緣分布經(jīng)過Copula函數(shù)都可以構造成聯(lián)合分布，而且?guī)缀醪粫淖冊紭颖镜南嚓P結構，這與傳統(tǒng)矩陣變換法和正態(tài)變換法構造相關性模型相比更為精確。

1.2 Copula函數(shù)的選取

常用的 Copula函數(shù)有正態(tài) Copula函數(shù)、t-Copula函數(shù)以及阿基米德Copula函數(shù)等，由于阿基米德Copula函數(shù)具有構造簡單、計算方便等特點，因此本文采用阿基米德Copula函數(shù)來構造風速與負荷的相關性模型。

N元阿基米德Copula函數(shù)的表達式如下［16］：

其中，φ（·）為阿基米德 Copula函數(shù)的生成元（generator），φ-1（·）為生成元的逆函數(shù)。

阿基米德Copula函數(shù)形式由其生成元決定，常用的阿基米德Copula函數(shù)及生成元見表1，表中θ為相應參數(shù)。θ可采用極大似然估計法［17］進行估計。

表1 阿基米德Copula函數(shù)生成元Table1 Generator for three Archimedean Copula functions

要從給定的Copula函數(shù)中選擇出最優(yōu)的一個，需要根據(jù)一定的準則進行最優(yōu)選取，也即擬合優(yōu)度評價。有多種方法可以選擇最優(yōu)Copula函數(shù)，應用較多的是采用基于經(jīng)驗Copula函數(shù)的最短距離法［14］。經(jīng)驗Copula函數(shù)可表示為：

其中，I（·）為指示函數(shù)，若括號內(nèi)條件滿足，則I=1，反之 I=0；xki為順序統(tǒng)計量且 1≤i1≤M、1≤i2≤M，M為樣本容量。

經(jīng)驗與理論Copula函數(shù)之間的歐氏距離為：

依據(jù)上述公式的距離大小，選擇具有最短距離的Copula函數(shù)作為最優(yōu)Copula，用于描述風速與負荷隨機變量間的相關結構。

1.3 風速與負荷的相關性建模

1.3.1 風速與負荷邊緣分布

在以往的研究中，風速與負荷的邊緣分布模型主要采用參數(shù)分布，如威布爾分布、瑞利分布和正態(tài)分布等［18］。但是，這些參數(shù)分布模型很難與實際樣本分布精確擬合，因此本文采用經(jīng)驗分布［19］對樣本數(shù)據(jù)進行概率變換，較之參數(shù)分布模型更加精確。

經(jīng)驗分布函數(shù)的表達式為：

其中，M 為樣本容量；Xi為樣本點；I（Xi≤x0）表示樣本中小于或者等于x0的樣本點個數(shù)。

1.3.2 風力發(fā)電系統(tǒng)隨機模型

風力發(fā)電機的輸出有功功率隨風速的變化而變化，其輸出功率方程為：

1.3.3 風速與負荷相關性模型的仿真

（1）基于Copula函數(shù)的樣本產(chǎn)生。

對于N維相關隨機變量，隨機數(shù)的產(chǎn)生應該由多維隨機變量的聯(lián)合概率分布產(chǎn)生?；贑opula函數(shù)的樣本產(chǎn)生算法有多種［14，20］，本文采用一種基本的抽樣方法，步驟如下。

a.產(chǎn)生N個服從（0，1）均勻分布的獨立隨機數(shù)，即 Z=（z1，z2，z3，…，zN）。

b.根據(jù)以下公式生成服從N維Copula函數(shù)的隨機向量U=（u1，u2，u3，…，uN），即uk=C-1（u1，u2，…，uk-1）（zk）（k=1，2，…，N），其中：

其中，vci、vr和vco分別為風力發(fā)電機的切入風速、額定風速和切出風速；Pr為額定功率和k2=-k1vci為系數(shù)。

本文假設風力發(fā)電機能夠按恒定功率因數(shù)運行，因此其無功出力為：

其中，δ為功率因數(shù)角，一般對于并網(wǎng)風力發(fā)電機而言功率因數(shù)角δ位于第四象限，即tan δ為負值，因此并網(wǎng)風力發(fā)電機吸收配電網(wǎng)的無功功率。

c.將生成的隨機數(shù)向量U，根據(jù)各個隨機變量各自的邊緣分布Fk（xk）進行逆變換后，可得到滿足式（1）的模擬樣本數(shù)據(jù)。

（2）風速與負荷相關性模型的建立步驟如下：

a.由風速x1、負荷x2的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得到風速、負荷的邊緣分布 F（x1）、F（x2），其中 ui=Fi（xi）（i=1，2）為各自對應的累積分布函數(shù)值；

b.選擇合適的Copula函數(shù)，本文選取正態(tài)Copula以及3種阿基米德Copula函數(shù)作為風速與負荷相關性模型的備選函數(shù)；

c.利用極大似然估計法，估計各備選Copula函數(shù)中的參數(shù)θ；

d.計算各備選Copula函數(shù)經(jīng)驗與理論分布的歐氏距離，由最短距離法，從備選Copula中選擇距離最小的Copula函數(shù)作為描述風速與負荷相關性的最優(yōu)函數(shù)；

e.由Copula函數(shù)的抽樣方法，對已經(jīng)確定的最優(yōu)Copula函數(shù)進行模擬抽樣，生成一定規(guī)模的隨機數(shù)向量 U=（u1，u2）；

f.將生成的隨機數(shù)向量U，根據(jù)風速與負荷各自的邊緣分布Fk（xk）進行逆變換后，可得到計及相關性的風速與負荷的模擬樣本數(shù)據(jù)。

2 計及風速與負荷相關性的配電網(wǎng)重構

2.1 配電網(wǎng)重構數(shù)學模型

配電網(wǎng)重構通常以降低網(wǎng)絡損耗，提高供電可靠性、電壓質(zhì)量和平衡負荷等為目標，或是綜合考慮上述多個指標為目標。本文以配電網(wǎng)的有功損耗期望值最小為目標函數(shù)，即：

其中，l為網(wǎng)絡支路數(shù)；ki表示支路i開合狀態(tài)，0表示打開，1表示閉合；ri為支路i電阻；Pi和Qi分別為流過支路i的有功和無功功率；Ui為支路i末端電壓。

另外，配電網(wǎng)重構模型還需滿足一定的約束條件，如潮流約束、輻射狀運行約束、節(jié)點電壓約束和支路容量約束等。

2.2 計及風速與負荷相關性的配電網(wǎng)隨機潮流算法

風力發(fā)電機的輸出功率主要由該時刻的風速決定，由于風速的不確定性，風力發(fā)電機的輸出功率具有隨機性，同時負荷大小在一定時間內(nèi)也具有波動性。為研究風速、負荷隨機性以及風速與負荷相關性對配電網(wǎng)潮流的影響，基于建立的風速與負荷相關性模型，在蒙特卡洛模擬［21］計算前隨機潮流的基礎上，提出了一種計及風速與負荷相關性的配電網(wǎng)隨機潮流算法，具體算法步驟如下。

a.由最優(yōu)的Copula函數(shù)，產(chǎn)生KN組具有相關性的模擬風速與負荷序列對，由風力發(fā)電出力隨機模型得到風機有功和無功功率。

b.輸入相關數(shù)據(jù)，根據(jù)蒙特卡洛模擬法計算K次確定性配電網(wǎng)潮流，K

c.判斷隨機潮流計算結果的方差系數(shù)η是否滿足蒙特卡洛模擬收斂條件。若滿足，則停止增加潮流計算樣本數(shù)，繼續(xù)步驟d；若不滿足，置K=K+1，返回步驟b。

d.由計及風速與負荷相關性的配電網(wǎng)潮流計算結果，得到有功損耗、節(jié)點電壓等概率分布情況。

2.3 計及風速與負荷相關性的配電網(wǎng)重構算法

由于配電網(wǎng)具有閉環(huán)設計、開環(huán)運行的特點，傳統(tǒng)的遺傳算法在配電網(wǎng)重構的遺傳操作過程中會產(chǎn)生大量非輻射狀的不可行解。本文采用基于基本回路的遺傳操作方案［22］對配電網(wǎng)進行重構。將配電網(wǎng)中的所有支路閉合，記為圖G，并找出圖G中的所有基本回路。配電網(wǎng)中的支路按圖G中的基本回路按基因塊編碼，不在基本回路內(nèi)的支路不用編碼。這種編碼方式既能縮短染色體長度，又可以在遺傳操作中避免不可行解的產(chǎn)生。具體算法步驟如下：

a.將配電網(wǎng)各基本回路按基因塊編碼，產(chǎn)生初始種群，使其滿足各基因塊內(nèi)有且僅有一個0，即各基因塊只有一條打開支路，置進化代數(shù)g=1；

b.由計及風速與負荷相關性的蒙特卡洛配電網(wǎng)隨機潮流算法，計算每個染色體所代表配電網(wǎng)的有功損耗期望值大小，并取其倒數(shù)為適應值函數(shù)，計算每個染色體的適應值；

c.通過輪盤賭選擇函數(shù)，對染色體進行選擇操作；

d.對染色體進行交叉操作，每次交叉操作只將對應基因塊進行交換；

e.對染色體進行變異操作，將某一基因塊中為0的基因位取反變成1，同時將基因塊中為1的某一基因位取反變成0；

f.判斷g是否達到最大進化代數(shù)gmax，若未達到，則置g=g+1，返回步驟b繼續(xù)迭代，直到達到最大進化代數(shù)為止。

具體流程圖如圖1所示。

圖1 計及風速與負荷相關性的配電網(wǎng)重構流程圖Fig.1 Flowchart of DNR considering correlation between wind-speed and load

3 算例分析

3.1 風速與負荷相關性模擬

風速數(shù)據(jù)采用加拿大薩斯喀徹溫地區(qū)一年統(tǒng)計風速［23］，負荷數(shù)據(jù)采用IEEE-RTS系統(tǒng)時序負荷曲線，分別如圖2和圖3所示（圖3中負荷為標幺值，后同）。設x、y分別表示風速與負荷樣本，則其線性相關系數(shù)ρ計算公式如下：

其中，cov（x，y）為風速與負荷樣本的協(xié)方差；D（x）與D（y）為其方差。

圖2 加拿大薩斯喀徹溫地區(qū)1997年時序風速曲線Fig.2 1997’s sequential wind-speed curve of Saskatchewan，Canada

圖3 IEEE-RTS系統(tǒng)時序負荷曲線Fig.3 Sequential load curve of IEEE-RTS system

經(jīng)計算風速與負荷樣本的線性相關系數(shù)ρ=0.2007，說明樣本風速與負荷存在弱的正相關性，為了定量刻畫樣本風速與負荷的相關變化情況，需要選擇恰當?shù)腃opula函數(shù)，本文采用以上介紹的3種阿基米德Copula函數(shù)作為備選。

用極大似然估計法對3種阿基米德Copula函數(shù)進行參數(shù)估計，并采用最短距離法進行最優(yōu)Copula函數(shù)的選取。理論分布和經(jīng)驗分布的歐氏距離見表2。由于Frank Copula的距離最小，因此Frank Copula是最優(yōu)的Copula函數(shù)，本文選擇Frank Copula來描述樣本風速與負荷的相關結構。

表2 參數(shù)估計和歐氏距離Table 2 Parameter estimation and Euclidean distance

3.2 模擬的驗證與對比

為定量和定性地評估采用Copula理論的風速與負荷相關性模型的準確性，分別采用Frank Copula函數(shù)理論與正態(tài)變換法［9］對該系統(tǒng)的風速和負荷進行數(shù)據(jù)模擬，模型對比結果如表3所示。可見，本文模型的相關系數(shù)為0.2006，其與原始樣本的相關系數(shù)非常接近；風速、負荷均值和標準差比正態(tài)變換法更好，說明采用本文模型進行模擬采樣后的數(shù)據(jù)分布特性與樣本數(shù)據(jù)的分布特性保持一致。

表3 模型驗證與對比Table 3 Model verification and comparison

圖4和圖5分別為Frank Copula函數(shù)方法和正態(tài)變換法的P-P圖，可以看出Frank Copula函數(shù)所建立的風速-負荷相關性模型與樣本風速-負荷具有相近的聯(lián)合概率分布特性，擬合曲線更加接近直線。由上述結果說明，采用Copula理論進行風速與負荷的相關性建模具有很高的精度。

圖4 Frank Copula函數(shù)理論的P-P圖Fig.4 P-P plot of Frank Copula function theory

圖5 正態(tài)變換理論的P-P圖Fig.5 P-P plot of normal transformation

3.3 計及相關性的配電網(wǎng)隨機潮流和重構結果

采用本文介紹的風速與負荷相關性模型，對美國PG&E69［22］配電網(wǎng)進行測試分析。 PG&E69節(jié)點配電網(wǎng)系統(tǒng)額定電壓為12.66 kV，總的負荷大小為3802.19 kW+2694.60 kvar，共有73條支路，其中有5個聯(lián)絡開關。取平衡節(jié)點電壓為1.05 p.u.，gmax=50，種群數(shù)為100，初始交叉率和變異率分別為0.9和0.1。假設在節(jié)點38和49處各并入額定功率為0.5 MW的風電機組，其切入風速、額定風速和切出風速分別為 3 m/s、13 m/s和 25 m/s，功率因數(shù)為 0.98。

表4所示為7種不同情形下的配電網(wǎng)結構和有功損耗期望值，其中，情形1為無風力發(fā)電，情形2為含風力發(fā)電、忽略風速-負荷相關性，情形3為含風力發(fā)電、風速-負荷部分相關（相關系數(shù)為0.2），情形4為含風力發(fā)電、風速-負荷完全相關（相關系數(shù)為1），情形5為含風力發(fā)電、忽略風速-負荷相關性的網(wǎng)絡重構后，情形6為含風力發(fā)電、風速-負荷部分相關的網(wǎng)絡重構后，情形7為含風力發(fā)電、風速-負荷完全相關的網(wǎng)絡重構后。表5為重構前后的有功損耗期望值對比結果。首先，對比情形1知，風力發(fā)電接入配電網(wǎng)后會降低配電網(wǎng)的有功損耗，有效改善潮流分布，使系統(tǒng)能更經(jīng)濟地運行；其次，對比情形2—4知，隨著風速與負荷相關性的增強，配電網(wǎng)的有功損耗期望值逐漸降低；情形3與情形2相比，有功損耗期望值降低了1.18 kW（1.11%）；情形4與情形2相比，有功損耗期望值降低了5.60 kW（5.29%）?？梢婏L速與負荷相關性的強弱對配電網(wǎng)有功損耗影響較大，特別是二者相關性較強時，對配電網(wǎng)隨機潮流的影響不能忽略。圖6為情形2—4的配電網(wǎng)有功損耗概率密度曲線，可見風速與負荷相關性的強弱對配電網(wǎng)有功損耗概率分布也有較大影響，當二者相關性增強時，概率分布波動范圍變窄，更加密集。

表4 配電網(wǎng)結構和網(wǎng)絡損耗Table 4 Distribution network structure and power loss

表5 重構前后有功損耗期望值對比Table 5 Comparison between expectation of active power loss before reconfiguration and that after reconfiguration

圖6 情形2—4配電網(wǎng)有功損耗概率密度曲線Fig.6 Probability density curve of active power loss of distribution network in case 2-4

對比重構前的情形2—4與重構后的情形5—7，結果表明配電網(wǎng)重構后其有功損耗期望值較重構前初始網(wǎng)絡有了明顯的降低；由情形5—7可知，風速與負荷的相關性強弱不僅對配電網(wǎng)有功損耗期望值大小有影響，而且當二者相關性較強時也會使配電網(wǎng)重構方案發(fā)生一定變化，情形5、6的聯(lián)絡開關集合為｛10-65，12-19，13-14，44-45，49-50｝，而當風速與負荷完全相關的情形7的聯(lián)絡開關集合為｛10-65，12-19，11-12，44-45，49-50｝。 因此，在對含風力發(fā)電的配電網(wǎng)進行配電網(wǎng)重構時，不能忽略風速-負荷相關性所帶來的結果影響。

圖7、8為風力發(fā)電機接入節(jié)點38的電壓（幅值和相角）概率密度曲線（圖中電壓幅值和相角均為標幺值），表6為其電壓均值和標準差（均為標幺值）?？梢?，風速與負荷相關性的強弱也會對配電網(wǎng)電壓概率分布產(chǎn)生較大影響。情形3與情形2相比，節(jié)點38電壓幅值與相角的均值相同而電壓幅值與相角的標準差分別相差了7.14%與9.52%；情形4與情形2相比，節(jié)點38電壓幅值與相角的均值分別相差了0.01%與33.33%，而其電壓幅值與相角的標準差分別相差了35.71%與38.10%。因此，當風速與負荷相關性較強時，不能忽略對配電網(wǎng)隨機潮流計算所帶來的誤差。

圖7 情形2—4節(jié)點38電壓幅值概率密度曲線Fig.7 Voltage amplitude probability density curve of node 38 in case 2-4

圖8 情形2—4節(jié)點38電壓相角概率密度曲線Fig.8 Voltage phase probability density curve of node 38 in case 2-4

4 結論

Copula函數(shù)描述了隨機變量間的相關結構，是構造多元相關隨機變量聯(lián)合分布的有力工具。本文通過建立基于Copula理論的風速與負荷相關性模型，并選擇最優(yōu)的Frank Copula來描述樣本風速與負荷的相關結構，實驗證明該函數(shù)能夠較好地解決風速與負荷相關性問題。

采用基于基本回路的遺傳操作方案對算例配電網(wǎng)進行重構優(yōu)化，結果表明風速與負荷相關性強弱對配電網(wǎng)隨機潮流和重構方案都有一定的影響。忽略二者相關性的影響，會對配電網(wǎng)隨機潮流計算和重構優(yōu)化方案帶來一定誤差，從而降低對配電網(wǎng)優(yōu)化運行與規(guī)劃的參考價值。

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