鄭 浩 ，趙晉泉 ，楊乘勝 ，陳 剛

（1.河海大學(xué) 教育部可再生能源發(fā)電技術(shù)研究中心，江蘇 南京 210098；2.河海大學(xué) 能源與電氣學(xué)院，江蘇 南京 210098；3.國電南京自動化股份有限公司，江蘇 南京 211100）

0 引言

潮流計算作為電力系統(tǒng)分析必不可少的工具，已得到廣泛的研究與應(yīng)用［1-2］。潮流計算中必須充分計及系統(tǒng)元件特性以獲得更加合理可行的潮流結(jié)果［3-6］。電力系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)等無功源設(shè)備具有系統(tǒng)電壓維持能力，當(dāng)其無功越限時便難以維持設(shè)定電壓。此類節(jié)點無功和電壓之間呈現(xiàn)互補(bǔ)約束關(guān)系。常規(guī)潮流計算方法中通過PV-PQ節(jié)點類型轉(zhuǎn)換邏輯［7］處理此類問題，需啟發(fā)式判斷校正無功越限情況，在大規(guī)模系統(tǒng)中邏輯實施時機(jī)對潮流收斂性有重要影響，經(jīng)驗性較強(qiáng)而穩(wěn)定性欠佳。

互補(bǔ)約束能夠描述不可微關(guān)系［8-9］。潮流計算中，節(jié)點類型轉(zhuǎn)換解點即為典型的連續(xù)不可微點，可通過互補(bǔ)約束加以描述。相關(guān)文獻(xiàn)中處理此類問題的方法可歸結(jié)為2類。第1類為非線性規(guī)劃方法。此類方法通過非線性規(guī)劃（特殊最優(yōu)潮流）處理互補(bǔ)約束潮流問題。文獻(xiàn)［10］基于互補(bǔ)理論構(gòu)建潮流計算的混合互補(bǔ)非線性規(guī)劃模型，采用現(xiàn)代內(nèi)點算法加以求解，通過互補(bǔ)松弛解決臨界互補(bǔ)時海森矩陣的奇異問題。文獻(xiàn)［11］將潮流計算構(gòu)造為混合互補(bǔ)優(yōu)化問題，從技術(shù)層面指出牛頓潮流迭代計算等價于其廣義簡約梯度法的求解步驟。此類方法能夠提高病態(tài)情形下計算可靠性，但一般需形成二階海森矩陣，計算量和迭代次數(shù)較常規(guī)潮流均大幅增加，不適于大型電網(wǎng)工程應(yīng)用。第2類為光滑化牛頓法。該類方法旨在牛頓法潮流計算基礎(chǔ)上通過非線性互補(bǔ)方程描述無功電壓約束特性，求解時需計及互補(bǔ)方程的非光滑性，此外節(jié)點無功上下限約束的表達(dá)形式也直接影響互補(bǔ)潮流模型的復(fù)雜程度。文獻(xiàn)［12］采用雙曲線函數(shù)或Sigmoid函數(shù)描述壓控節(jié)點無功電壓調(diào)控特性，以保證潮流方程的可微性，其本質(zhì)在于采用光滑逼近函數(shù)描述無功電壓互補(bǔ)約束關(guān)系。文獻(xiàn)［13］探討節(jié)點類型轉(zhuǎn)換邏輯的互補(bǔ)約束描述形式，并將其光滑化處理引入潮流方程模型中加以求解。由于單個節(jié)點上下限互補(bǔ)約束的存在，需增加3個變量和方程，導(dǎo)致其互補(bǔ)潮流模型復(fù)雜性提高，亦不便于在現(xiàn)有潮流算法上拓展應(yīng)用。文獻(xiàn)［14］通過單一復(fù)合FB（Fischer-Burmeister）函數(shù)整合無功上下限互補(bǔ)約束，使其互補(bǔ)潮流模型能夠保持常規(guī)潮流整體計算結(jié)構(gòu)。但其忽視FB函數(shù)的非光滑性，仍沿用啟發(fā)式判斷校正結(jié)構(gòu)。

本文在文獻(xiàn)［14］基礎(chǔ)上采用光滑逼近非線性互補(bǔ)函數(shù)完備描述無功電壓互補(bǔ)規(guī)律，構(gòu)建節(jié)點約束統(tǒng)一的改進(jìn)互補(bǔ)潮流模型；不再采用啟發(fā)式判斷校正結(jié)構(gòu)，迭代過程中自動辨析無功越限狀況并相應(yīng)漸進(jìn)式校正無功電壓值；保持常規(guī)潮流計算整體結(jié)構(gòu)的同時，具有較好的數(shù)值收斂性，并通過節(jié)點統(tǒng)一的互補(bǔ)約束方程數(shù)值化表現(xiàn)潮流計算中識別性發(fā)散情形。此外，壓控節(jié)點無功電壓調(diào)節(jié)特性不僅影響連續(xù)潮流［15-16］計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，也與電壓穩(wěn)定分析中極限誘導(dǎo)分岔現(xiàn)象息息相關(guān)［17-19］。本文將該互補(bǔ)潮流方法應(yīng)用于連續(xù)潮流中，采用通用型臨界點數(shù)值識別方法可有效獲得靜態(tài)電壓穩(wěn)定臨界點信息。多個測試算例的計算驗證了本文方法的有效性。

1 節(jié)點約束統(tǒng)一的互補(bǔ)潮流模型

1.1 光滑逼近互補(bǔ)函數(shù)

互補(bǔ)約束旨在描述變量之間普遍存在的不可微邏輯轉(zhuǎn)換關(guān)系，電力系統(tǒng)中常將其用以處理發(fā)電機(jī)、變壓器等設(shè)備的調(diào)節(jié)特性。令是 Rn到Rn的映射，非線性互補(bǔ)問題（NCP）可記為：

其中，“⊥”表示 x 和 F（x）滿足以下關(guān)系：①x＞0，F(xiàn)（x）=0；②x=0，F(xiàn)（x）＞0；③x=0，F(xiàn)（x）=0。 若數(shù)值解x滿足關(guān)系③稱為臨界互補(bǔ)，滿足其余式則稱為嚴(yán)格互補(bǔ)。

求解非線性互補(bǔ)約束的重要思路在于構(gòu)造二元NCP函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為非線性方程的求解問題。常用FB函數(shù)表達(dá)式為：

式（2）具有如下性質(zhì)：φ（a，b）在任何點均滿足局部 Lipschitz連續(xù)，除（a，b）=（0，0）點外可微。 此半光滑函數(shù)無法采用牛頓法直接求解，對此本文引入FB函數(shù)的一種光滑逼近形式［20］：

其中，μ為松弛參數(shù)。函數(shù)φFB任意階連續(xù)可導(dǎo)。當(dāng)滿足時，式（3）與式（2）等價。 求解此逼近方程關(guān)鍵在于構(gòu)造滿足迭代規(guī)則的序列｛μk｝。

1.2 無功電壓互補(bǔ)約束統(tǒng)一描述

電力系統(tǒng)中類似發(fā)電機(jī)等無功注入設(shè)備具有局部電壓支撐能力，所接入節(jié)點常稱為壓控節(jié)點。其無功出力約束為：

其中分別為發(fā)電機(jī)i無功出力上、下限；為發(fā)電機(jī)i無功出力值。若無功出力滿足上式約束，則節(jié)點電壓能維持設(shè)定值：

無功出力達(dá)到上限后并維持此值，節(jié)點電壓將因無功欠量而低于設(shè)定值，可表示為：

同理當(dāng)無功出力達(dá)到并維持下限Qmini時，無功電壓關(guān)系為：

由于壓控節(jié)點無功上下限的存在，對于單一節(jié)點需滿足式（6）、（7）2個約束條件。相關(guān)文獻(xiàn)將約束方程光滑化表示并加入潮流方程［12-13］，潮流模型需額外增加方程和變量各3NPV個（NPV為系統(tǒng)PV節(jié)點數(shù)目），常規(guī)潮流計算結(jié)構(gòu)難以維持，模型復(fù)雜度提高。

本文在文獻(xiàn)［14］基礎(chǔ)上將兩者統(tǒng)一表示為：

其中，α為松弛系數(shù)，本文算例中取α=10。等式即可滿足壓控節(jié)點 i無功上下限 2個互補(bǔ)約束條件，在滿足可微性的同時整合節(jié)點互補(bǔ)約束方程以適應(yīng)潮流模型。

1.3 互補(bǔ)約束潮流模型

為確?；パa(bǔ)潮流模型可微性，采用互補(bǔ)約束逼近方程統(tǒng)一描述節(jié)點無功電壓無功約束，同時將松弛參數(shù)μ加入潮流模型進(jìn)行計算。迭代過程中，摒棄啟發(fā)式判斷校正的邏輯，改進(jìn)潮流模型自動驗證無功電壓互補(bǔ)約束關(guān)系，并相應(yīng)作數(shù)值調(diào)整。將上節(jié)互補(bǔ)約束逼近方程（8）引入潮流模型中，表示為：

其中，ΩG、ΩD分別為由壓控節(jié)點和非壓控節(jié)點組成的集合；U、θ分別為節(jié)點電壓的幅值和相角向量；Pis、Qis分別為節(jié)點i給定的有功功率及無功功率。

改進(jìn)方法將松弛參數(shù)μ視為同等變量加以迭代，其中線性修正方程記為：

其中，H、N、M、L 為雅可比矩陣的子陣，N′、M′、L′、L″和L?求解類似N、M和L；S和K為對角線矩陣，w 為列向量，相關(guān)定義如式（12）—（14）所示。

本文模型較好地解決了互補(bǔ)潮流可微性和模型復(fù)雜性的問題。相比常規(guī)潮流模型只需增加NCP逼近方程的松弛參量，通過較少的修正計算即可保持整體計算結(jié)構(gòu)。其完備考慮無功電壓互補(bǔ)約束，迭代過程中不再顯式區(qū)分和轉(zhuǎn)換PV-PQ節(jié)點類型，無功越限狀況由NCP函數(shù)自動識別并漸進(jìn)式調(diào)整數(shù)值偏差。盡管迭代過程中可能存在無功電壓數(shù)值不合約束情形，但最終收斂結(jié)果仍然滿足互補(bǔ)約束。

潮流計算中對應(yīng)于系統(tǒng)靜態(tài)電壓失穩(wěn)類型存在2種發(fā)散情形：數(shù)值性發(fā)散和識別性發(fā)散［7］。節(jié)點類型轉(zhuǎn)換邏輯在識別性發(fā)散情形中表現(xiàn)為存在一個或多個壓控節(jié)點的類型頻繁轉(zhuǎn)換，方程失配量維持在小數(shù)值范圍振蕩。本文模型通過互補(bǔ)方程失配量刻畫壓控節(jié)點無功電壓約束狀況，在識別性發(fā)散情形中存在約束方程失配量小范圍振蕩現(xiàn)象。與節(jié)點類型轉(zhuǎn)換邏輯相對應(yīng)，其實質(zhì)為潮流計算識別性發(fā)散的數(shù)值表現(xiàn)形式。

2 互補(bǔ)約束連續(xù)潮流

計算電力系統(tǒng)功率傳輸極限是電壓穩(wěn)定性分析的重要內(nèi)容。連續(xù)潮流在潮流模型的基礎(chǔ)上通過增加連續(xù)變量靜態(tài)模擬電網(wǎng)運行狀況，其校正環(huán)節(jié)需正確計及無功電壓約束關(guān)系，否則可能得到錯誤的PV曲線和臨界點信息。極限誘導(dǎo)分岔（LIB）是由于無功源無功容量不足導(dǎo)致無法維持電壓，從而引起系統(tǒng)電壓崩潰。而其所對應(yīng)的無功電壓約束轉(zhuǎn)換點滿足：

在上文改進(jìn)互補(bǔ)潮流模型基礎(chǔ)上構(gòu)建互補(bǔ)約束連續(xù)潮流，其參數(shù)化方程簡記為：

其中，x=［θ，U，μ］T為上節(jié)互補(bǔ)潮流模型變量；λ 為可變參數(shù)。

由于數(shù)值誤差的存在，在連續(xù)潮流計算中精確辨析極限誘導(dǎo)分岔臨界點存在困難。文獻(xiàn)［19］通過檢索臨界點處PV節(jié)點變化情況識別分岔類型和關(guān)鍵發(fā)電機(jī)。本文提出一種通用型臨界點數(shù)值識別方法，能夠滿足快速有效識別極限誘導(dǎo)分岔的需要。

臨界點處采用二分法搜索直至步長滿足：

其中，ελ為搜索閾值；（xn，λn）、（xn+1，λn+1）為連續(xù) 2 個狀態(tài)解。 式（18）表明（xn，λn）位于曲線上半分支，（xn+1，λn+1）位于曲線下半分支，則臨界點（x*，λ*）位于兩點之間。此時遍歷所有發(fā)電機(jī)節(jié)點，若存在式（19）即可判定當(dāng)前點為極限誘導(dǎo)分岔點，節(jié)點i為引起分岔的關(guān)鍵發(fā)電機(jī)節(jié)點，否則即為鞍結(jié)分岔（SNB）點。

其中，Ui（xn+1，λn+1）表示狀態(tài)（xn+1，λn+1）處節(jié)點 i電壓值；Qgeni（xn，λn）表示狀態(tài)（xn，λn）處發(fā)電機(jī) i無功出力；εp為設(shè)定的識別精度值。

3 算例分析

為驗證本文所提模型的有效性，基于C/C＋＋語言環(huán)境通過IEEE標(biāo)準(zhǔn)算例和某實際998節(jié)點省網(wǎng)系統(tǒng)為例進(jìn)行仿真計算。

3.1 潮流方法有效性分析

針對潮流計算中無功限值約束處理技術(shù)的不同，將本文方法與常規(guī)潮流方法、文獻(xiàn)［13］中互補(bǔ)潮流方法的計算收斂信息作對比，其中常規(guī)潮流方法采用節(jié)點類型雙向轉(zhuǎn)換邏輯［7］，文獻(xiàn)［13］方法中發(fā)電機(jī)無功出力初值取給定值。潮流計算中電壓和功率偏差均采用標(biāo)幺值，收斂精度統(tǒng)一為10-4，潮流初值采用平啟動策略，本文方法中初值μ0取10-3。表1給出測試算例的潮流計算迭代次數(shù)和收斂狀況。

表1 測試算例潮流計算方法收斂性能Table 1 Convergence performance of power flow calculation methods for test cases

由表1數(shù)據(jù)可知，常規(guī)潮流方法在處理大規(guī)模系統(tǒng)時收斂性并不理想，迭代過程初期較劇烈的數(shù)值振蕩易導(dǎo)致節(jié)點類型轉(zhuǎn)換邏輯錯誤識別壓控節(jié)點類型；文獻(xiàn)［13］方法隨著系統(tǒng)規(guī)模增大收斂性也不太理想；本文互補(bǔ)潮流方法相比具有更好的收斂性，通過互補(bǔ)方程可以有效約束無功電壓值的校正，具有更好的抗數(shù)值振蕩能力。

為進(jìn)一步對比分析三者潮流方法在處理無功電壓約束上的差異，詳細(xì)研究IEEE300算例迭代過程中發(fā)電機(jī)無功越限狀況。

常規(guī)潮流方法采用PV-PQ節(jié)點類型轉(zhuǎn)換邏輯處理發(fā)電機(jī)無功越限，迭代過程中存在多個節(jié)點類型頻繁轉(zhuǎn)換現(xiàn)象，其中1個節(jié)點無功鎖定下限，其余均為上限。但實際潮流結(jié)果顯示該越下限節(jié)點無功最終定于上限，該節(jié)點類型識別失敗。圖1和圖2給出對比方法中此節(jié)點無功、電壓迭代信息，圖2中電壓幅值為標(biāo)幺值。

圖1 不同方法下發(fā)電機(jī)無功出力迭代過程比較Fig.1 Comparison of reactive power iteration process among different methods

圖2 不同方法下發(fā)電機(jī)節(jié)點電壓迭代過程比較Fig.2 Comparison of bus voltage iteration process among different methods

可見，PV-PQ節(jié)點轉(zhuǎn)換邏輯通過啟發(fā)式判斷強(qiáng)制鎖定節(jié)點無功出力和電壓幅值，處理方法粗糙且易過校正。在數(shù)值振蕩劇烈時可能識別節(jié)點類型失敗，陷入類型頻繁轉(zhuǎn)換而導(dǎo)致潮流不收斂。相對而言，互補(bǔ)潮流方法通過約束方程漸進(jìn)式校正避免數(shù)值振蕩的影響，能夠在迭代過程中平滑準(zhǔn)確地判定發(fā)電機(jī)無功出力狀況。其中，文獻(xiàn)［13］方法迭代過程中節(jié)點電壓值振蕩劇烈，難以收斂至準(zhǔn)確值，本文方法則表現(xiàn)出更好的穩(wěn)定性。

工程實踐中為避免啟發(fā)式邏輯導(dǎo)致的收斂問題，常在牛頓迭代多次后引入節(jié)點類型轉(zhuǎn)換邏輯，該方法經(jīng)驗性較強(qiáng)而不穩(wěn)定。針對表1中發(fā)散算例采用如下求解策略：首先不考慮發(fā)電機(jī)無功限值約束求得潮流解，然后以此解為初值引入PV-PQ節(jié)點類型轉(zhuǎn)換邏輯重新計算潮流。表2列出對比模型潮流解的電壓幅值最大偏差（標(biāo)幺值）。其中，本文模型與常規(guī)模型的電壓幅值偏差在10-5數(shù)量級內(nèi)，準(zhǔn)確性得以驗證。

表2 測試算例最大電壓偏差Table 2 Maximum voltage deviation for test cases

3.2 潮流節(jié)點類型識別性發(fā)散算例

對IEEE 118標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)做數(shù)值修改，將節(jié)點59負(fù)荷增加為1055.66+j502.33 MV·A構(gòu)建條件算例。常規(guī)潮流方法的計算結(jié)果及分析參見文獻(xiàn)［7］，屬于節(jié)點類型識別性發(fā)散情形。本文互補(bǔ)潮流方法在此條件下同樣出現(xiàn)發(fā)散，模型方程失配量小范圍數(shù)值振蕩，多個壓控節(jié)點無法滿足其互補(bǔ)約束方程。圖3給出本文潮流模型方程和66號發(fā)電機(jī)互補(bǔ)約束方程失配量之間的對比，圖中方程失配量絕對值為標(biāo)幺值。可見關(guān)鍵發(fā)電機(jī)節(jié)點互補(bǔ)約束的滿足情況制約了潮流的收斂，對應(yīng)于啟發(fā)式邏輯中節(jié)點類型頻繁轉(zhuǎn)換現(xiàn)象，本文潮流模型則通過相對應(yīng)的互補(bǔ)約束方程數(shù)值化表現(xiàn)節(jié)點類型識別性發(fā)散現(xiàn)象。

圖3 識別性發(fā)散情形下迭代過程Fig.3 Iteration process during divergence of identification

3.3 互補(bǔ)約束連續(xù)潮流有效性分析

綜合比較本文互補(bǔ)約束連續(xù)潮流與常規(guī)連續(xù)潮流的計算差別，其中常規(guī)連續(xù)潮流中采用文獻(xiàn)［19］中靜態(tài)穩(wěn)定臨界點的識別方法。連續(xù)潮流計算中采用局部參數(shù)化技術(shù)和定步長控制策略，全網(wǎng)負(fù)荷和發(fā)電等比例增長，潮流收斂精度取10-5，本文方法中相關(guān)設(shè)定精度值為ελ=εp=10-5，對比結(jié)果如表3所示。從表中可見，IEEE300與SYS998在2種方法下穩(wěn)定裕度偏差分別為0.3 MW、5.0 MW。

表3 臨界點信息對比結(jié)果Table 3 Comparison of critical point information

從表3可知，本文互補(bǔ)約束連續(xù)潮流能夠準(zhǔn)確識別臨界點分岔類型和關(guān)鍵約束轉(zhuǎn)換點。大規(guī)模系統(tǒng)中與常規(guī)連續(xù)潮流方法所得穩(wěn)定裕度值偏差近似0.1%，靜態(tài)穩(wěn)定臨界點計算結(jié)果可信。

4 結(jié)論

本文提出一種節(jié)點互補(bǔ)約束統(tǒng)一的改進(jìn)潮流計算模型。區(qū)別于常規(guī)啟發(fā)式節(jié)點類型轉(zhuǎn)換邏輯，迭代過程中自動漸進(jìn)式校正無功電壓值，避免由于采用錯誤的PV-PQ轉(zhuǎn)換邏輯或引入該邏輯時機(jī)不當(dāng)導(dǎo)致潮流計算失敗或收斂于錯誤解。其具有以下特點：

a.采用非線性互補(bǔ)光滑逼近函數(shù)統(tǒng)一描述壓控節(jié)點無功電壓特性，保證了互補(bǔ)潮流模型的可微性；

b.整合統(tǒng)一壓控節(jié)點無功上下限互補(bǔ)約束方程，通過較少修正計算即可保持牛頓法潮流整體結(jié)構(gòu)，便于現(xiàn)今工業(yè)界算法的進(jìn)一步拓展；

c.對應(yīng)于啟發(fā)式邏輯節(jié)點類型頻繁轉(zhuǎn)換現(xiàn)象，能夠提供潮流節(jié)點類型識別性發(fā)散的數(shù)值化表現(xiàn)形式。

在此基礎(chǔ)上構(gòu)建互補(bǔ)約束連續(xù)潮流，采用通用型臨界點數(shù)值識別方法可有效辨別靜態(tài)穩(wěn)定分岔類型和關(guān)鍵約束，靜態(tài)穩(wěn)定裕度準(zhǔn)確可信。多個算例的綜合分析表明本文潮流模型的準(zhǔn)確性和有效性。

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