江蘇省丹陽市第五中學(xué)　(212300)　林偉民

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數(shù)學(xué)課堂動(dòng)態(tài)生成的應(yīng)對(duì)策略*

江蘇省丹陽市第五中學(xué)(212300)林偉民

數(shù)學(xué)課堂是一個(gè)充滿思考的課堂，課堂教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)生成的過程.由于學(xué)生在認(rèn)知、經(jīng)驗(yàn)、思維水平上的差異，使得數(shù)學(xué)課堂呈現(xiàn)出多變性、豐富性和復(fù)雜性，加之教師面對(duì)的是一個(gè)個(gè)具有獨(dú)立思維能力的學(xué)生，教學(xué)過程中隨時(shí)都會(huì)有“意外生成”.這些生成資源來自于學(xué)生學(xué)習(xí)的頓悟、靈感的萌發(fā)或者是瞬間的創(chuàng)造.教師應(yīng)對(duì)這些動(dòng)態(tài)生成的問題，需要有豐富的經(jīng)驗(yàn)、高度的智慧以及相應(yīng)的策略，處理得當(dāng)，可以使課堂在師生的互動(dòng)中變得更加精彩紛呈.下面結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剶?shù)學(xué)動(dòng)態(tài)生成課堂的幾種應(yīng)對(duì)策略.

一、順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)現(xiàn)美麗風(fēng)景

華東師范大學(xué)葉瀾教授指出：“課堂應(yīng)是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的風(fēng)景.”雖然教師在備課時(shí)做了充分的預(yù)設(shè)，但課堂上學(xué)生的奇思妙想和靈感還是會(huì)不期而至.對(duì)于預(yù)設(shè)之外的學(xué)生的想法和思路，教師應(yīng)充分運(yùn)用自身的經(jīng)驗(yàn)和智慧，迅速判斷出方法的可行性，順應(yīng)學(xué)生的思維繼續(xù)探究前行，師生共同在數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)美麗的風(fēng)景.

圖1

案例一如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓C：(x+1)2+y2=16，點(diǎn)F(1，0)，E是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，G是圓上的另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足EF⊥FG．記線段EG的中點(diǎn)為M，試判斷線段OM的長(zhǎng)度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

分析： 教師課前預(yù)設(shè)了兩種思路:

圖2

由于上面的方程組中有四個(gè)未知數(shù)x1、y1、x2、y2，三個(gè)方程不能把x1、y1、x2、y2四個(gè)未知數(shù)全部解出來，學(xué)生的思維受阻.

課堂上教師本可以對(duì)以上學(xué)生的思路擱置一旁，按課前預(yù)設(shè)的方法另辟蹊徑.但為了充分運(yùn)用課堂生成性動(dòng)態(tài)課程資源，消除學(xué)生的疑惑，教師應(yīng)該順應(yīng)學(xué)生的思維進(jìn)行深入的分析和探討,對(duì)學(xué)生的思路進(jìn)行可行性分析和價(jià)值判斷.

教師：以上的方程組雖然不能分別求出四個(gè)未知數(shù)x1、y1、x2、y2，但我們的目標(biāo)不是要去求出這四個(gè)量的值，我們只需判斷MO是否為定值，因此我們可以探究運(yùn)用未知的四個(gè)量x1、y1、x2、y2來表示MO2，再利用上面方程組中的三個(gè)等式，嘗試能否將未知量消除得到定值.

在教師的啟發(fā)下，學(xué)生有了以下的成功做法：

教師進(jìn)而進(jìn)一步總結(jié)：這種方法的實(shí)質(zhì)是運(yùn)用了解析幾何中常用的“設(shè)而不求”的方法，四個(gè)未知數(shù)x1、y1、、x2、y2雖然求不出來，但最終未知量得以消除而得到OM是個(gè)定值.

教師對(duì)預(yù)設(shè)之外的思路的進(jìn)一步探求，既肯定了學(xué)生思維的價(jià)值所在，保護(hù)了學(xué)生思考的積極性，也為學(xué)生指出了解題思路受阻的原因，體會(huì)到了解析幾何中的“設(shè)而不求”和整體思想的妙用.

二、借錯(cuò)誤資源揭示問題本質(zhì)

心理學(xué)家蓋耶認(rèn)為：“誰不愿意嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過最富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻.”當(dāng)一些關(guān)鍵的、隱蔽的錯(cuò)誤被教師及時(shí)利用成為全班學(xué)生新的學(xué)習(xí)材料時(shí)，學(xué)生的探究興趣將被大大激發(fā).

案例二7人排成一排，甲、乙、丙三人互不相鄰，有多少種排法？

教師：你解釋一下這個(gè)算式的意義.

這種方法比用插空法多出了720，我想知道這種解法錯(cuò)在哪里？(這個(gè)問題的出現(xiàn)，引起了同學(xué)們強(qiáng)烈的好奇心和探究欲.在此情此景下，回避不是上策，教師順勢(shì)將此疑問作為課堂的生成性資源加以利用，讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下做一番研究，看看到底錯(cuò)在哪里？)

教師：排列組合問題中，找到一個(gè)錯(cuò)誤解法的錯(cuò)因可能比給出一個(gè)正確的解法更難.既然大家都對(duì)此感興趣，我們就一起來研究一下，問題究竟出在哪里？(課堂上一陣無聲的思考后，仍沒有什么動(dòng)靜.憑借自己的解題經(jīng)驗(yàn)，筆者已經(jīng)覺察到其中的貓膩，但思路尚未完全清晰.于是決定帶領(lǐng)學(xué)生從具體情況入手用窮舉的方法尋找錯(cuò)因.)

教師：甲乙在一起的排列中，丙也靠在他們一起的排列有多少種？

教師：為了檢驗(yàn)它的正確性，我們不妨來排一排.先不考慮甲乙丙之外的4個(gè)人，就排出甲乙在一起時(shí)丙也靠在它們一起的排列，我們用(甲乙)表示甲乙相鄰，且甲乙不能分開(此限制非常非常的關(guān)鍵！).

學(xué)生很快排出：(甲乙)丙、(乙甲)丙、丙(甲乙)、丙(乙甲).

教師：甲乙丙三個(gè)元素在一起一共有多少種排法?。?/p>

學(xué)生：六種，具體為：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲.

教師：你看出了兩者的差異了嗎？(其實(shí)教師也是頓悟)

學(xué)生豁然開朗：甲乙在一起時(shí)丙是不能插入到甲乙之間而出現(xiàn)甲丙乙、乙丙甲這樣的排列！

本節(jié)課上教師引領(lǐng)學(xué)生通過窮舉，讓模糊的感覺變得具體而清晰，最終走出了思維困境，錯(cuò)解的原因得到揭示，教師的教學(xué)實(shí)踐智慧也得到了豐富.

在課堂教學(xué)中，教師利用“錯(cuò)誤”資源，因勢(shì)利導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生通過查錯(cuò)、思錯(cuò)、糾錯(cuò)活動(dòng)，使其充分暴露出錯(cuò)的過程，這樣不僅能幫助學(xué)生加深了對(duì)知識(shí)的理解，而且培養(yǎng)了他們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性，使課堂走入“柳暗花明又一村”的新境界.

三、品味思想方法 感受數(shù)學(xué)魅力

如果說數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)活動(dòng)是一種獨(dú)立的探索、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的數(shù)學(xué)活動(dòng), 那么, 數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)活動(dòng)更多的是在數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)和幫助下的一個(gè)模仿探索、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的數(shù)學(xué)活動(dòng).雖然數(shù)學(xué)活動(dòng)的目的更多地是為了“接受”已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的數(shù)學(xué)，但教師在激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的動(dòng)機(jī), 充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的內(nèi)在積極思維后，課堂上隨時(shí)會(huì)迸發(fā)智慧的火花，生成出精彩的數(shù)學(xué)方法.教師要抓住時(shí)機(jī)，讓學(xué)生真正領(lǐng)悟隱含于數(shù)學(xué)問題探索中的數(shù)學(xué)思想方法，感受數(shù)學(xué)的魅力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

案例三空間幾何體表面積的探求

這是筆者聽的一節(jié)《空間幾何體的表面積》公開課，在探究多面體的側(cè)面積公式時(shí)，教師放手讓學(xué)生自主探究如何求多面體的側(cè)面積.課堂觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生從兩個(gè)角度去探究，角度一：求出各個(gè)側(cè)面的面積然后相加；角度二：作出側(cè)面展開圖，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

四、辨析方法優(yōu)劣優(yōu)化數(shù)學(xué)思維

課堂上引導(dǎo)學(xué)生不滿足于一得之見，各顯神通探究解法，可以營(yíng)造出百花齊放的課堂氛圍.教師再組織學(xué)生辨析方法的優(yōu)劣，各抒己見，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維，既有效地提高了學(xué)生的解題能力，又對(duì)學(xué)生積極思維生成的各種解法做出了全面的回應(yīng).

案例四已知直線l:2mx+(1-m2)y-4m-4=0，若對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線l與一定圓相切，求該定圓的方程.

由題設(shè)條件：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線l都與所設(shè)圓相切，故上式是一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)m的恒等式，m各次項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)均應(yīng)為0，解得x0=2,y0=2,r=2，故定圓方程為(x-2)2+(y-2)2=4(圖3).

學(xué)生方法二：m取幾個(gè)特殊的值，得到特殊的幾條直線，求出這些直線的內(nèi)切圓，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

學(xué)生方法三：將直線l的方程整理成關(guān)于m的一元二次方程ym2-2(x-2)m+4-y=0，令判別式為0，得4(x-2)2-4y(4-y)=0，整理得(x-2)2+(y-2)2=4.

課堂上學(xué)生在辨析方法優(yōu)劣時(shí)認(rèn)為：第一種方法思維脈絡(luò)清晰，但是整理方程的計(jì)算量比較大，對(duì)運(yùn)算和變形能力要求較高；第二種方法運(yùn)用特殊的幾條直線先求出定圓方程再檢驗(yàn)一般情況，可操作性比較強(qiáng)，計(jì)算量也不大.第三種方法表面上雖然一步就能得到圓方程，但是就連用此方法的學(xué)生自己也說是歪打正著，不知道其所以然.但也有學(xué)生認(rèn)為，既然可以得出定圓方程，可能不是巧合，必有其隱含的內(nèi)在道理.因此有必要對(duì)它進(jìn)行深入的研究，解題的依據(jù)如下：

關(guān)于x，y的二元一次方程2mx+(1-m2)y-4m-4=0表示的無數(shù)條直線與一個(gè)定圓相切，那么這無數(shù)條直線就是這個(gè)定圓(圓心為(2,2)半徑為2的圓)的包絡(luò)線.給定一個(gè)m，對(duì)應(yīng)著包絡(luò)線中的一條.反過來，給定一個(gè)點(diǎn)(x,y)，過點(diǎn)(x,y)的包絡(luò)線可能有兩條(關(guān)于m的方程兩解)，可能有一條(關(guān)于m的方程一解)，也可能沒有(關(guān)于m的方程無解).令判別式為0，實(shí)際上就是要求過點(diǎn)(x,y)的圓的包絡(luò)線只有一條，這時(shí)點(diǎn)(x,y)就是包絡(luò)線與定圓的切點(diǎn)，且都分布在定圓上，判別式為0得到的

關(guān)于x,y的二元二次方程就是所求的定圓的方程.對(duì)圓的包絡(luò)線的理解可以借助幾何畫板進(jìn)行直觀的演示(圖4)：

圖3 圖4

對(duì)第三種思路，教師如能在課堂上直接對(duì)學(xué)生作出科學(xué)合理的解釋，可以使學(xué)生茅塞頓開，但對(duì)教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力要求較高.也可以把它作為研究性學(xué)習(xí)的素材，在教師的指導(dǎo)下讓學(xué)生進(jìn)行合作探究.

動(dòng)態(tài)生成是數(shù)學(xué)課堂的一種常態(tài)，數(shù)學(xué)又是“思維的體操”，要能夠靈活處置課堂“突發(fā)事件”，充分運(yùn)用動(dòng)態(tài)生成型課程資源，教師除了要在課堂實(shí)踐中逐步積累經(jīng)驗(yàn)，平時(shí)還要注意深入研究數(shù)學(xué)問題，閱讀數(shù)學(xué)書刊，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以厚實(shí)的數(shù)學(xué)功底和靈活的應(yīng)變能力創(chuàng)造出充滿智慧的數(shù)學(xué)課堂.

*本文是2011年江蘇省教學(xué)研究第九期重點(diǎn)課題“基于問題生成的數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)課堂的教學(xué)策略研究”(課題批號(hào)2011JK9-Z061)研究成果.