浙江省衢州第二中學(xué)　(324000)　傅建紅

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一類“顯隱混搭型”分段函數(shù)的圖像及其應(yīng)用
——以零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題為例

浙江省衢州第二中學(xué)(324000)傅建紅

一、策略分析

我們知道，圖像法是解決函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題的重要手段，但本題中這類函數(shù)將如何作圖？讓我們從分析f(x)的構(gòu)成入手：因?yàn)楫?dāng)x∈D1時(shí)，f(x)=g(x)，即f(x)在D1上的圖像已定；但當(dāng)x∈D2時(shí)，f(x)=Af(ωx+φ)+k，故f(x)在D2上的圖像未能直接給定.然而，y=f(x)與y=Af(ωx+φ)+k的圖像之間有著“天然”的聯(lián)系，所以我們只要以f(x)在D1上的圖像為起點(diǎn)，一步一步的往上“攀”(拾級(jí)而上)，即可作出f(x)在D2上的圖像.為明晰圖像由來(lái)，先給出如下性質(zhì)：

性質(zhì)1(平移變換) 設(shè)f(x)=

證明：因?yàn)楫?dāng)x∈[a,b]時(shí)，有f(x)=g(x)，所以當(dāng)x-l∈[a,b]，即x∈(a+l,b+l]時(shí)，有f(x-l)=g(x-l)(迭代)，由于(a+l,b+l]?(b,+∞)，所以f(x)=f(x-l)+k=g(x-l)+k；再當(dāng)x-l∈[a+l,b+l]，即x∈(a+2l,b+2l]時(shí)，f(x-l)=g(x-2l)+k(再迭代)，因?yàn)?a+2l,b+2l]?(b,+∞)，所以f(x)=f(x-l)+k=[g(x-2l)+k]+k=； …；以此類推，故當(dāng)x∈(a+nl,b+nl](n∈N)時(shí)，f(x)=g(x-nl)+nk得證.

說(shuō)明：由性質(zhì)1的證明過(guò)程可知，此時(shí)分段函數(shù)f(x)可以寫成

性質(zhì)2(伸縮變換)設(shè)f(x)=

性質(zhì)3(對(duì)稱變換) (1)設(shè)f(x)=

(其中a

證明：(1)因?yàn)楫?dāng)x∈[a,b]時(shí)，有f(x)=g(x)，所以當(dāng)2b-x∈(a,b]，即x∈(b,2b-a]時(shí)，有f(2b-x)=g(2b-x)(迭代)，所以f(x)=f(2b-x)=g(2b-x).

(2)證明同(1)，略.

說(shuō)明：由性質(zhì)3知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(b,2b-a]上的圖像可由f(x)在[a,b]上的圖像關(guān)于直線x=b(點(diǎn)(b,c))對(duì)稱得到.

評(píng)注：(1)性質(zhì)1僅考慮了l>0且k>0時(shí)的平移變換，性質(zhì)2僅考慮了A>1且0<ω<1下的伸縮變換，而性質(zhì)3僅考慮了函數(shù)在連續(xù)區(qū)間上的對(duì)稱變換，其它情形下的變換性質(zhì)可由讀者自行推導(dǎo)；

二、應(yīng)用舉例

(1)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

例1設(shè)函數(shù)f(x)=

A.4B.5C.6D.7

圖1

變式1定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足：(1)f(2x)=2f(x)；(2)當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f(x)=1-|x-3|.則函數(shù)g(x)=f(x)-2在區(qū)間x∈[1,28]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(答案：4)

(2)零點(diǎn)之和問(wèn)題

A.3n2+3nB.3×2n+2+9

C.3n+2+6D.9×2n+1-3

圖2

變式2已知函數(shù)f(x)=

(3)參數(shù)范圍問(wèn)題

例3已知函數(shù)f(x)=

區(qū)間[-2,4]內(nèi)有3個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().

A.(-2,0)B.(-2,0]

C.(-2,0)∪(1,2)D. (-2,0)∪{1}

圖3

解:方程f(x)=x+a在區(qū)間[-2,4]內(nèi)有3個(gè)不同實(shí)根，即函數(shù)y=f(x)(x∈[-2,4])圖像與動(dòng)直線l:y=x+a在同一坐標(biāo)系下有3個(gè)不同的交點(diǎn).先作y=f(x)的圖像：作函數(shù)y=1-|x+1|(x∈[-2,0])的圖像→將所得圖像向右平移2個(gè)單位再縱向伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍→重復(fù)這兩個(gè)動(dòng)作，即得函數(shù)f(x)圖像(如圖3)；然后作直線y=x+a.觀察圖像易知：當(dāng)動(dòng)直線l平移至l1與l2之間以及在l3上時(shí)，兩圖像有3個(gè)交點(diǎn).易知a為直線l在y軸上的截距，所以a∈(-2,0)∪{1}，故選D.

變式3已知函數(shù)f(x)=

說(shuō)明:不難看出，上述三例的命題手法如出一轍(均以混搭函數(shù)為背景，考察函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題)，其解題思想也完全一致(數(shù)形結(jié)合)，因此，只要能作出函數(shù)(尤其是混搭函數(shù))的圖像，即可為后續(xù)解答鋪平道路.限于篇幅，本文變式只給出答案.

綜上，本文通過(guò)函數(shù)迭代，揭示了f(x)=

參考文獻(xiàn)

[1]應(yīng)立君,余雪贊.例說(shuō)函數(shù)圖像的變換[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2014,7.