福建省漳州市第一中學(xué)　(363000)　劉開(kāi)富　林新建

?

“轉(zhuǎn)換”策略在課標(biāo)卷把關(guān)題中的應(yīng)用探析*

福建省漳州市第一中學(xué)(363000)劉開(kāi)富林新建

解題需要套路，看到一道題，你的第一反應(yīng)是什么？迅速生成常規(guī)方案，也即第一方案.

為什么要有套路？因?yàn)?0%的高考題是基本的、穩(wěn)定的，考查運(yùn)算的敏捷性.沒(méi)有套路，就沒(méi)有速度.比如，如何求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)的單調(diào)性；涉及參數(shù)問(wèn)題時(shí)，把參數(shù)分離出來(lái)，轉(zhuǎn)化為這個(gè)參數(shù)與一個(gè)式子的不等或者相等關(guān)系；數(shù)列問(wèn)題，設(shè)法轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列(等差數(shù)列或等比數(shù)列)模型；解析幾何問(wèn)題，根據(jù)條件特征選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ鹤鴺?biāo)、向量和運(yùn)用幾何性質(zhì)推演；概率計(jì)算，把一事件轉(zhuǎn)化為互斥事件的和或獨(dú)立事件的積，合理選用基本模型和分布；…等等.

問(wèn)題是，當(dāng)實(shí)施第一方案(套路)遇到障礙時(shí)，我們的策略是什么？

轉(zhuǎn)換視角，生成第二方案.轉(zhuǎn)換視角，轉(zhuǎn)換到哪里？轉(zhuǎn)換到知識(shí)豐富領(lǐng)域，也就是說(shuō)把問(wèn)題轉(zhuǎn)換到我們最熟悉的領(lǐng)域.

處理數(shù)學(xué)難題，從方法論的角度講就是轉(zhuǎn)換視角.常態(tài)方案不行，換一個(gè)方案行了；這種說(shuō)法與思路不通，換一個(gè)說(shuō)法通了；在一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)繁復(fù)的問(wèn)題，換一個(gè)領(lǐng)域簡(jiǎn)單了.

如若不是這樣，靠什么考查能力？又憑什么說(shuō)高考是一種選拔性考試呢？

所謂試題的創(chuàng)新，本質(zhì)上是視角的轉(zhuǎn)換，我們的解題就是要用創(chuàng)新應(yīng)對(duì)創(chuàng)新，用轉(zhuǎn)換適應(yīng)轉(zhuǎn)換.

1．條件轉(zhuǎn)換

對(duì)問(wèn)題的某個(gè)條件作轉(zhuǎn)換，如式的恒等變形，語(yǔ)意的等價(jià)轉(zhuǎn)換等，這種轉(zhuǎn)換的目的是使問(wèn)題簡(jiǎn)單化、熟悉化.

例1(2010年高考新課標(biāo)卷Ⅰ文科21題)

設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2.

(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析：第(Ⅰ)問(wèn)不難.

第(Ⅱ)問(wèn)，f(x)=x(ex-1-ax)，令g(x)=ex-1-ax，則g′(x)=ex-a.

若a≤1，則當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)為增函數(shù)，而g(0)=0，從而當(dāng)x≥0時(shí)g(x)≥0，即f(x)≥0.

若a>1，則當(dāng)x∈(0,lna)時(shí)，g′(x)<0，g(x)為減函數(shù)，而g(0)=0，從而當(dāng)x∈(0,lna)時(shí)g(x)<0，即f(x)<0.

綜合得a的取值范圍為(-∞,1].

評(píng)析：本題第(Ⅱ)問(wèn)直接求解很難，我們通過(guò)將f(x)=x(ex-1)-ax2化為f(x)=x(ex-1-ax)，因?yàn)閤≥0，所以條件“當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0”可轉(zhuǎn)換為“當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)=ex-1-ax≥0”.這樣一轉(zhuǎn)換，問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解，凸顯了“轉(zhuǎn)換策略”在求解數(shù)學(xué)難題中的重要作用.

例2(2007年高考全國(guó)卷Ⅱ理科22題)

已知函數(shù)f(x)=x3-x.

(Ⅰ)求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)M(t,f(t))處的切線(xiàn)方程；

(Ⅱ)設(shè)a>0，如果過(guò)點(diǎn)(a,b)可作曲線(xiàn)y=f(x)的三條切線(xiàn)，證明：-a

解析：第(Ⅰ)問(wèn)容易，求導(dǎo)得切線(xiàn)的斜率為k=3t2-1，進(jìn)而由點(diǎn)斜式即得切線(xiàn)方程為y=(3t2-1)x-2t3.

難在第(Ⅱ)問(wèn)，“過(guò)點(diǎn)(a,b)可作曲線(xiàn)y=f(x)的三條切線(xiàn)”，什么意思？如何下手？

如果我們把第(Ⅱ)問(wèn)的條件換個(gè)說(shuō)法，變?yōu)榍€(xiàn)y=f(x)的三條切線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)(a,b)，也就是說(shuō)存在三個(gè)t，使得直線(xiàn)y=(3t2-1)x-2t3過(guò)點(diǎn)(a,b)，或者說(shuō)，關(guān)于t的三次方程b=(3t2-1)a-2t3有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.

這么一轉(zhuǎn)換，問(wèn)題可輕松獲解.令g(t)=2t3-3at2+a+b，則問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為曲線(xiàn)y=g(t)的圖像與t軸有三個(gè)交點(diǎn).注意到三次函數(shù)只有兩種形態(tài)：一是沒(méi)有極值點(diǎn)，一是有兩個(gè)極值點(diǎn).于是，這個(gè)三次函數(shù)的圖像應(yīng)該是：先單調(diào)上升經(jīng)過(guò)t軸達(dá)到極大值，再單調(diào)下降經(jīng)過(guò)t軸達(dá)到極小值，而后單調(diào)上升第三次經(jīng)過(guò)t軸.

這樣問(wèn)題就歸結(jié)為[g(t)]極大>0，[g(t)]極小<0，進(jìn)而由極大值g(0)=a+b>0，極小值g(a)=-a3+a+b=b-f(a)<0，問(wèn)題得證.

評(píng)析：本題第(Ⅱ)問(wèn)獲解的關(guān)鍵也是條件轉(zhuǎn)換，將“過(guò)點(diǎn)(a,b)可作曲線(xiàn)y=f(x)的三條切線(xiàn)”轉(zhuǎn)換為“曲線(xiàn)y=f(x)的三條切線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)(a,b)”，使得問(wèn)題變得清晰熟悉，易于求解.

2．結(jié)論轉(zhuǎn)換

對(duì)問(wèn)題的結(jié)論作轉(zhuǎn)換，如恒等變形、等價(jià)轉(zhuǎn)化等，這種轉(zhuǎn)換的目的是使問(wèn)題簡(jiǎn)單化、明朗化.

例3(2014年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科21題)

(Ⅰ)求a，b；(Ⅱ)證明： f(x)>1.

3．命題轉(zhuǎn)換

根據(jù)命題的等價(jià)性進(jìn)行轉(zhuǎn)換等，這種“不同說(shuō)法”之間的轉(zhuǎn)換常?？梢允鼓切袄聿磺濉被颉罢f(shuō)不清”的問(wèn)題變得容易判斷、理解.

例4(2010年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科21題)

設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析：第(Ⅰ)問(wèn)較易.

第(Ⅱ)問(wèn)，自然的想法是分離參數(shù).

當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，即ex-1-x-ax2≥0，ax2≤ex-1-x(x≥0).

但我們發(fā)現(xiàn)，沿著這個(gè)思路，是不能繼續(xù)下去的.

再構(gòu)造函數(shù)，令h(x)=ex(x-2)+x+2(x>0)，則h′(x)=(x-1)ex+1.

由于(h′(x))′=xex>0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立，所以h′(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，又h′(0)=0，所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，h′(x)>0，從而知h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).因?yàn)閔(0)=0，所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，h(x)>0，從而當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)為(0,+∞)上的增函數(shù)，所以g(x)>g(0)，a≤g(0).

問(wèn)題似乎解決了，可是g(0)無(wú)意義，忙碌了半天，徒勞而無(wú)功.

問(wèn)題陷入了僵局，怎么辦？

我們將問(wèn)題作個(gè)轉(zhuǎn)換，將“當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0”換個(gè)說(shuō)法，變?yōu)椤癴(x)在[0,+∞)上的值非負(fù)”.

如此一來(lái)，不難就此猜想出a的取值范圍.

至此，我們可將待證命題轉(zhuǎn)換為如下命題予以證明：

因?yàn)檗D(zhuǎn)換，我們將高考把關(guān)題進(jìn)行得如此簡(jiǎn)單！沒(méi)有轉(zhuǎn)換，我們做什么？

參考文獻(xiàn)

[1]吳建山,林新建.自主招生考試數(shù)學(xué)解題四意識(shí)[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2014，1-2,14-16.

[2]林新建.數(shù)學(xué)高考解題的“三化四策八關(guān)注”[M].廈門(mén)：廈門(mén)大學(xué)出版社.

*本文是“2015年漳州市基礎(chǔ)教育課程與教學(xué)研究課題”《國(guó)家命題背景下數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)教學(xué)的因應(yīng)策略研究》的研究成果.