許少華

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1. 若集合A={x | x2-x+6<0}，集合B={x∈N | y=}，則A∩B=（ ）

A. {3} B. {1， 3} C. {1， 2} D. {1， 2， 3}

2. 若z =1-2i，則復(fù)數(shù)z+在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 如圖1，ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，若DE=EC且F為BC中點(diǎn)，則· =（ ）

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

4. 某單位春節(jié)聯(lián)歡會(huì)中有一個(gè)抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，其中100名獲獎(jiǎng)?wù)呒捌洫?jiǎng)品價(jià)值的頻率分布直方圖如圖2所示，則直方圖中a的的值為（ ）

A. 0.003 B. 0.005

C. 0.05 D. 0.004

5. 若數(shù)列{ an }是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1<0，a2015+a2016>0，a2015 Sn <0使前n項(xiàng)和的最大自然數(shù)n是（ ）

A. 2016 B. 2015 C. 4028 D. 4029

6. 若f（x+1）+1為R上奇函數(shù)，則f（4）-f（0）的值為（ ）

A. 0 B. 2016 C. 2015 D. 1

7. 過雙曲線-=1（a>0， b>0） 的右焦點(diǎn)F2作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B， C.若=，則雙曲線的離心率是（ ）

A. B. C. D.

8. 如圖3程序框圖輸出的值是（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

9. 正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心與正面體一邊的一個(gè)截面如圖4，且圖中三角形（正四面體的截面）的面積為，則球的體積是（ ）

A. ？仔 B. 2？仔

C. 2？仔 D. 2？仔

10. 若函數(shù)y=sin？棕x 在某個(gè)長(zhǎng)度為1的閉區(qū)間上至少兩次獲得最大值1，且在區(qū)間[-，]上為增函數(shù)，則正整數(shù)？棕的值為（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

11. 一幾何體的三視圖如圖5所示則該幾何體的體積為

（ ）

A. B. C. D.

12. 若存在x∈（0， +∞）使不等式 ex（x2-x+1）（ax+3a-1）<1成立，則實(shí)數(shù)a的范圍為（ ）

A. 0二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13. 若cos（-x）=，則cos（+2x）= .

14. 設(shè)x，y滿足不等式組y≤2x，2x+y≤2，x-y≤1，則z=3x+2y的最大值為 .

15. 已知點(diǎn)A是拋物線y2=2px上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，若以F為圓心，以 | FA| 為半徑的圓交準(zhǔn)線于B、 C且？駐FBC為正三角形，當(dāng)？駐ABC的面積為時(shí)，拋物線的方程為 .

16.若數(shù)列{ an }中a1=1，且a1， a3，…， a2n-1是遞增的數(shù)列，a2， a4，…， a2n是遞減的數(shù)列，a1>a2，| an+1-an | =2n，則{ an }的前n 項(xiàng)和Sn= .

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本題滿分12分）

？駐ABC的三邊長(zhǎng)a， b， c和面積S滿足S =[c2-（a-b）2]，

（1）求cosC；

（2）若c=2，且2sinAcosC=sinB，求b邊長(zhǎng).

18.（本題滿分12分）

在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2.

（1）求證：CE∥平面PAB；

（2）若F為PC的中點(diǎn)，求F到平面AEC的距離.

19.（本題滿分12分）

在某紅綠燈路口進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)正在等綠燈的有10人，另有8人直接闖紅燈，等綠燈的10人，其年齡的莖葉圖如下：

（1）求等綠燈人年齡的中位與方差

（2）若從40歲以上的等綠燈人中，隨機(jī)抽取2人，求其中一定含有50歲以上的路人的概率.

（3）若闖紅燈的8人中有2人40以上，其余均40以下，完成下列列聯(lián)表：

根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認(rèn)為“40歲以下與闖紅燈有關(guān)”.

附：K2 =.

20.（本題滿分12分）

已知+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上、下頂點(diǎn)分別是B1，B2，C是B1F2的中點(diǎn)，若·=2，且⊥.

（1）求橢圓的方程；

（2）點(diǎn)M，N是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M，N兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn)P，若·=0時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程；

（3）點(diǎn)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，A1， A2分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線QA1， QA2與直線x=分別交于E， F兩點(diǎn)，試證：以EF為直徑的圓交x于定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

21.（本題滿分12分）

設(shè)函數(shù)f（x）=x3-（a-1）x2-2bx+1，其中a∈R，

（1）若f（x）的減區(qū)間為（-1， 2）， 求f（x）在區(qū)間[-3， 3]上的最大值與最小值；

（2）對(duì)小于1的任意a∈R，函數(shù)f（x）都有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2（x1≠x2），是否存在b使x1 3 + x2 3=1成立，若存在，求出b的值或范圍；否則，說明理由.

請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多選，則按所做的第一題計(jì)分.

22.（本題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，⊙O的弦ED，CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A.

（1）若BD⊥AE，AB=4， BC=2， AD=3， 求CE的長(zhǎng).

（2）若=，=，求的值.

23.（本題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 已知直線與橢圓的極坐標(biāo)方程分別 為l：cos？茲+2sin？茲=0，C：ρ2=.

（1）求直線與橢圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）若P是l上的動(dòng)點(diǎn)，Q是C上的動(dòng)點(diǎn)，求| PQ| 的最小值.

24.（本題滿分10分）選修4-5：不等式選講

不等式 | 2x-1| - | x+1| < 2的解集為{ x| a < x < b}，

（1）求a ， b的值；

（2）已知x > y > z，求證：存在實(shí)數(shù)k使恒成立-+≥，并求k的最大值.

2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)卷

文科數(shù)學(xué)模擬試題參考答案

一、選擇題

1. C；由x2-x+6<0？圯（x - 3）（x + 2）<0，得-2< x <3，

則A={x | -2< x <3}.

又B={x∈N | y=}={x∈N | x≤3}={1， 2， 3， …}，

那么A∩B={1， 2}.

2. D；由z =1-2i，得1-2i+=1-2i+=-.

3. C；以AB， AD分別為x， y建立直角坐標(biāo)系，

則E（1，2），F(xiàn)（4，2）.

那么=（-1，-4），=（3，-2），于是·=-1×3+（-2）×（-4）=5.

4. B；由50（0.001+0.002+0.003+a+0.009）=1？圯a=0.005，

即直方圖中a的的值為a=0.005.

5. D；由a2015+a2016>0？圯a1+a4030>0？圯a4030>0.

又a1<0且a2015·a2016<0知數(shù)列{ an }的前2015項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，

那么a2015+a2015<0？圯a1+a4029<0？圯S4029<0，于是，最大自然數(shù)n=4029.

6. A；由f（-x+1）+1=-[f（x+1）+1]？圯f（x+1）+f（-x+1）=-2.

令x=-1及x=3，得f（0）+f（-2）=-2，f（-2）+f（4）=-2？圯f（4）-f（0）=0.

7. D；對(duì)于F2（c， 0），則直線方程為y=-x+c，直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B，C，由y=-x+c，y=x？圯x=，y=，即B（， ），因?yàn)镕2（c， 0）.

由 = 知B是F2C的中點(diǎn)，于是可得C （， ）.

由于在y=-x上，得=-·？圯b=3a？圯e=.

8. B；本題的程序框圖所揭示的內(nèi)容，其實(shí)是當(dāng)和大于64時(shí)，輸出最小的n值.

于是，由1+3+32+…+3n-1>64？圯（3n-1）>64，最小的n=5，

那么輸出的值是5.

9. B；如圖，由正四面體的特點(diǎn)及性質(zhì)可知，該截面即為等腰？駐ABC.

設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a，

由AC=BC==.

那么？駐ABC的面積為×a×=？圯a=2，

于是四面體的高h(yuǎn)==.

再設(shè)外接球的半徑為R，由（-R）2+（）2=R2？圯R=，

從而球的體積是V=？仔（）3=？仔.

10. B；由函數(shù)y=sin？棕x在某個(gè)長(zhǎng)度為1的閉區(qū)間上最多獲得一次最大值1，得≤1？圯？棕≥2？仔.

又在區(qū)間[-，]上為增函數(shù)，則-≤-，≤？圯？棕≤.

于是2？仔≤？棕≤，又？棕為正整數(shù)，因此，？棕=7.

11. B；本題三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體是以正方體的中截為底面的兩個(gè)同底面的四棱錐，如圖.

于是體積為V=×2×2×1×2=.

12. C；由ex（x2-x+1）（ax+3a-1）<1？圯ax+3a-1<.

（1）若a≤0，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，ax+3a-1）<0，而>0，此時(shí)結(jié)論成立.

（2）若a>0，由于f（x）=？圯f′（x）=<0，所以 f（x） 在（0，+∞）是減函數(shù)，則0 < f（x） <1，又f（x）與y軸的交點(diǎn)為（0，1）.

由于g（x）= ax+3a-1與y軸的交點(diǎn)為（0， 3a-1）.

那么，如果存在x∈（0，+∞）使不等式ex（x2-x+1）（ax+3a-1）<1成立，

則3a-1<1，a>0？圯0 < a <，

由（1）（2）得實(shí)數(shù)a的范圍為a <.

二、填空題

13. -；由于cos（-x） = sin[-（-x）] = sin（+x）即sin（+x）=，而cos（+2x） =cos2（+x） =1-2sin 2 （+x） =-.

14. ；分別作出三直線y=2x，2x+y=2，x-y≤1，得如圖所示的可行域.

由z=3x+2y？圯y=-x+.

顯然，當(dāng)直線y=-x+經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，縱截距最大.

由y=2x，2x+y=2？圯x=，y=1.

此時(shí)，z=3x+2y=.

15. 由題意，如圖可得=cos30°及DF=2p？圯BF=，從而AF=，由拋物線的定義知點(diǎn)A.

到準(zhǔn)線的距離也為，因?yàn)椤鰽BC的面積為，即××=？圯P=4，故拋物線的方程為y2=8x.

16. ；由a1>a2，a2-a1=-2.

由于a3>a1又a1>a2？圯a3>a2？圯a3-a2=22，

類似地：a4-a3=-23，a5-a4=24，…，an-an-1=（-2）n-1.

那么an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）==.

從而Sn=++…+=+·=-=.

三、解答題

17.（1）由S=[c2-（a-b）2]=[-（a2+b2-c2）+2ab]

=-abcosC+ab……………3分

又S=absinC，于是absinC=-abcosC+ab即sinC=2（1-cosC）.

結(jié)合sin2C+cos2C=1得cosC=或cosC=1（舍去）.

故cosC=……………6分

（2）又由2sinAcosC=sinB，得2··=？圯a=c………9分

結(jié)合條件，可得a=c=2.

由c2=a2+b2-2abcosC，

得4=4+b2-4×b？圯b=……………12分

18.（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴BC=，AC=2.

取AD中點(diǎn)M，連EM，CM，則EM∥PA.

∵ EM ？埭平面PAB，PA？奐平面PAB，∴EM∥平面PAB.

在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，

∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°，∴MC∥AB.

∵M(jìn)C ？埭平面PAB，AB

？奐平面PAB，∴ MC∥平面PAB .

∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB.

∵EC？奐平面EMC，∴EC∥平面PAB.

（2）∵PA=CA，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，∴AF⊥PC .

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.

∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC.

又EF//CD，∴EF⊥平面PAC.即EF為三棱錐E-AFC的高.

因?yàn)镃D=2，得EF=.

從而VE-FAC=×（AC·AP）·EF=×（×2×2）×=.

在Rt△PAD中，AE=CE=PD=×2=.

于是S△ACE=AC·=2，設(shè)F到平面AEC的距離為h.

由VE-FAC=VF-AEC即×2h=？圯h=.

故F到平面AEC的距離為.

19.（1）由莖葉圖可得15個(gè)數(shù)據(jù)為：22，34，34，42，

43，45，45，51，52，52，顯然，路人年齡的中位數(shù)為（43+45）=44.

由于x==42……2分

那么s===.

即路人年齡的方差為……………4分

（2）設(shè)40歲以上，50歲以下的四人分別為A1，A2，A3，A4，50歲以上的三人分別為B1，B2，B3，那么從這七人中任取兩人的所有基本事件如下：

A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2B3，A3A4，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3共21個(gè).……………6分

其中含有50歲以上的路人的基本事件如下：A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3共15個(gè).……………7分

于是，從40歲以上的路人中，隨機(jī)抽取2人，其中一定含有50歲以上的路人的概率為P==……………8分

（3）若闖紅燈的8人中有2人40以上，其余均40以下，完成下列列聯(lián)表：

…

…………10分

由K2==2.5<3.841.

故沒有95%的把握認(rèn)為“40歲以下與闖紅燈有關(guān)”. ……………12分

20.（1）設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），B1（0，b），則C（，）.

由題意得·=2，⊥？圯（-c，-b）·（c，-b）=2，（-，-）·（c，-b）=0？圯b2-c2=2，b2=3c2？圯b2=3，c2=1，從而a2=4，

故所求橢圓方程為+=1 ………3分

（2）設(shè)P（x0，y0），

①當(dāng)PM⊥x軸或PM∥x軸時(shí)，對(duì)應(yīng)PN∥x軸或PN⊥x軸，

可知P（±2，±）………4分

②當(dāng)PM與x軸不垂直且不平行時(shí)， PM的斜率為k，則k≠0，PN的斜率為-，

PM的方程為y-y0=k（x-x0），與+=1聯(lián)立，

得y-y0=k（x-x0），+=1？圯（3+4k2）x2+8k（y0-kx0）x+4（y0-kx0）2-12=0）……5分

因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以△=0即4k2（y0-kx0）2-（3+4k2）[（y0-kx0）2-3]=0，

即（x20-4）2k2-2x0y0k+y20-3=0.

所以k是方程（x20-4）2k2-2x0y0k+y20-3=0的一個(gè)根，

同理-是方程（x20-4）2k2-2x0y0k+y20-3=0的另一個(gè)根，………6分

k·（-）=？圯x20+y20=7，其中x0≠±2，

所以點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=7（x≠±2）.

因?yàn)镻（±2，±）滿足上式，綜上知：點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=7………7分

（3）由（1）得A1（-2，0），A2（2，0），

設(shè)Q（x0，y0），則直線QA1的方程為y=（x+2），與直線x=的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（，（+2））………8分

則直線QA2的方程為y=（x-2），與直線x=的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（，（-2））………9分

再設(shè)以EF為直徑的圓交x于點(diǎn)H（m，0），則HE⊥HF，從而kHE·kHF=-1，即·=-1？圯=-（-m）2 ………11分

由+=1得y20=，∴ m=±1.故以EF為直徑的圓交x于定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（+1，0）或（-1，0）………12分

21. 由f ′（x）=3x2-2（a-1）x-2b………1分

（1）由題意知f ′（x）<0的解集為（-1，2），即不等式3x2-2（a-1）x-2b<0的解集為（-1，2），于是，方程3x2-2（a-1）x-2b=0的兩根分別為-1與2.

由-1+2=，-1×2=-？圯a=，b=3，此時(shí)，f （x）=x3-x2-6x+1………3分

由f ′（x）=3x2-3x-6=3（x+1）（x-2），

易得x∈[-3，-1）時(shí)，f ′（x）>0，此時(shí)函數(shù)遞增；x∈（-1，2）時(shí)，f ′（x）<0，此時(shí)函數(shù)遞減；x∈（2，3]時(shí)，f ′（x）>0，此時(shí)函數(shù)遞增.

于是，fmax（x）=max{f（-1），f（3）}=max{，}=，

fmin（x）=min{f（-3），f（2）}=max{-，-9}=-.

故f （x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值與最小值分別為與-………6分

（2）對(duì)任意的a∈R，函數(shù)f （x）都有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，即為對(duì)任意的a方程f ′（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1，x2，即方程3x2-2（a-1）x-2b=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1，x2，于是[2（a-1）]2-4×3×（-2b）>0對(duì)任意的a∈R恒成立，即6b>-（a-1）2對(duì)任意的a∈R恒成立，從而b>0………………①………7分

若存在b使x31+x32=1成立，由于x1+x2=，x1·x2=-.

那么x31+x32=（x1+x2）[（x1+x2）2-3x1·x2]={[]2-3×（-）}=1.

得b=-=………10分

由b′=-，令b′=0即-=0？圯a=1-.

當(dāng)a<1-時(shí)，b′>0，此時(shí)，關(guān)于a的函數(shù)遞增；當(dāng)1-那么，當(dāng)a=1-時(shí)，b有最大值，其值為b=<0.

由①知不存在b使x31+x32=1成立………12分

22.（1）由圓的割線定理知AB·AC=AD·AE，

∴ AE=8，DE=5.連接EB，∵∠EDB=90°，

∴ EB為直徑，∴∠ECB=90°.

由勾股定理，得EB2=DB2+ED2=AB2-AD2+ED2=16-9+25=32.

在直角△ECB中，EB2=BC2+EC2=4+EC2，

EC2=28？圯EC=2.

（2）因?yàn)樗倪呅蜤CBD是圓O的內(nèi)接四邊形，

所以∠ADB=∠C，∠ABD=∠E，所以△ADB∽△ACE.

于是==.

因?yàn)?，=，所以（）2=·=·=.

從而=.

23.（1）由cos？茲+2sin？茲=0？圯？籽cos？茲+2？籽sin？茲=0？圯x+2y=0，

即直線l的直角坐標(biāo)方程為x+2y=0.

又由？籽2=？圯？籽2cos2？茲+4？籽2sin2？茲=4？圯x2+4y2=4.

即橢圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+4y2=4.

（2）因?yàn)闄E圓+y2=1的參數(shù)方程為x=2cos？茲，y=sin？茲，

由題意可設(shè)Q（2cos？茲，sin？茲），

因此點(diǎn)Q到直線l的距離是d==.

所以當(dāng)？茲=k？仔+，k∈Z時(shí)，d取得最大值.

24.（1）（i）當(dāng)x<-1時(shí)，不等式可轉(zhuǎn)化為-（2x-1）-[-（x+1）]<2，得x>0，此時(shí)無解.

（ii）當(dāng)-1≤x≤時(shí)，不等式可轉(zhuǎn)化為-（2x-1）-（x+1）<2，得x>-，此時(shí)，不等式的解為-