劉慶丹 李久華 楊會杰

摘 要：熵估計在生理時間序列上被廣泛應(yīng)用，例如近似熵與樣本熵。將熵估計方法應(yīng)用于匯率時間序列中，用于識別匯率市場在不同時間的波動狀態(tài)并加以分析。在不同維度下討論了近似熵與樣本熵反映匯率時間序列波動的情況，并對同一維度下近似熵與樣本熵效果進行了比較，發(fā)現(xiàn)樣本熵比近似熵可以更好地反映匯率的波動性，并且更加靈敏。得出樣本熵算法在匯率市場中良好地反映了大事件的發(fā)生與延續(xù)，解決了近似熵算法對微小的復(fù)雜性變化不靈敏的缺陷，并且顯著提高了熵估計在短時間序列上的可用性和精確度。

關(guān)鍵詞：匯率；波動性；近似熵；樣本熵

中圖分類號：F 822 文獻標識碼：A 文章編號：1672-7312（2016）04-0438-04

0 引 言

近年來，金融時間序列分析已經(jīng)越來越受到人們的關(guān)注[1-2]。中國匯率市場作為一個發(fā)展中市場，其規(guī)則、效率、結(jié)構(gòu)等方面還不夠規(guī)范、有效、成熟。因此，實證研究匯率等金融時間序列的波動情況，對分析金融時間序列的內(nèi)涵具有重大意義[3]，并對我國經(jīng)濟產(chǎn)生了很多積極影響，例如，對貿(mào)易伙伴的合作關(guān)系可以進行有效的緩解作用，還可以促進我國加快調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)；當然也有不少人提出了由于人民幣兌美元的數(shù)值上升而導(dǎo)致的抑制外來資產(chǎn)以及外匯儲備大幅縮水等消極影響[4]。

1865年，德國物理學(xué)家R.E.Clausius在提出熱力學(xué)第二定律后的第15年，第一次引入了熵的概念，并且利用熵增加原理來重新定量闡明了熱力學(xué)第二定律。此后的30多年，熵得到了非常廣泛的應(yīng)用和發(fā)展，先后出現(xiàn)了由Boltzmann提出的統(tǒng)計熵，由Shannon提出的信息熵，由Pincus提出的近似熵，由Richman提出的樣本熵[5]。從此熵估計就成為了物理學(xué)中的一個非常有意義的概念并逐漸滲透到某些社會科學(xué)、生命科學(xué)、信息論、甚至宇宙學(xué)中[6]。

金融時間序列是非平穩(wěn)、非線性的時間序列，具有序列長度比較短、價格的變化無序不平穩(wěn)、其他不可控干擾因素較多等特點[7]。近幾年來，近似熵（approximate entropy，下文簡記為ApEn）與樣本熵（sample entropy，下文簡記為SampEn）分析方法在解決由于上述序列而出現(xiàn)的問題時發(fā)揮了非常重要的作用。近似熵分析方法由 Pincus[8]在k-s熵改進得來的，k-s熵對序列長度有很大的依賴性，而近似熵改進了這一點，即對于有些短的時間序列，也可以得到有效可利用的結(jié)論，因而在實證研究金融時間序列特征中有非常多的應(yīng)用。ApEn（m，r，N）是對相似容限為r，時間序列長度為N的時間序列，在m點數(shù)據(jù)互相相似情況下m+1點數(shù)據(jù)互相相似的條件概率CP的負平均自然對數(shù)的近似值，因此近似熵是一種標度不變的方法。

從近似熵的算法可以看出，近似熵的定義中存在著對自身數(shù)據(jù)段的匹配，以至于它無法對對很小的復(fù)雜性變化進行有效的解讀。因此，需要改進此種方法來克服這種偏差產(chǎn)生的影響，即要消除自身匹配。

樣本熵分析方法是由Richman等在基于近似熵的基礎(chǔ)上改進來的，近幾年得到了越來越多的接受、關(guān)注與認識，被廣泛應(yīng)用于生物、臨床、金融、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域[9]。相對于近似熵而言，樣本熵不包括自身數(shù)據(jù)段的匹配，計算方法也不需要很長的數(shù)據(jù)長度，具有更好的相似性、一致性，由于數(shù)據(jù)丟失而產(chǎn)生的問題也不敏感。

1 近似熵與樣本熵

近似熵是近些年來才發(fā)展起來的一種可以度量時間序列復(fù)雜性和統(tǒng)計量化的規(guī)則。它是在20世紀90年代初由Pincus為了克服在混沌系統(tǒng)中求解熵特別麻煩才提出的。

近似熵是對非線性時間序列復(fù)雜性的一種非負的定量描述，它對于相對較短的（大于100個數(shù)據(jù)點）、含噪聲的時間序列進行計算分析，使其顯示出潛在的應(yīng)用價值，這是由于產(chǎn)生近似熵的主要的技術(shù)思想是：它并不是試圖完全重新構(gòu)造吸引子，而是用一種簡單且有效的統(tǒng)計方式——邊緣概率分布的不同來區(qū)分各種不同的運動過程，其中吸引子是一個數(shù)學(xué)上的概念，用來描寫運動的收斂類型；邊緣概率在數(shù)學(xué)概念中是指當實驗所獲取的事例按不同的標準進行分類時，忽略掉某些分類標準而只考慮在某一種分類標準下某事件出現(xiàn)的概率。

參數(shù)m和r的選擇非常重要，如果m過大或者r過小，小于閾值r的匹配數(shù)會過少；同時，如果m過小r過大，所有的模版都匹配。Pincus建議當數(shù)據(jù)長度N為100到5 000時，m一般取1或者2，r取0.1到0.25倍的序列標準差。但是這個建議對不同的數(shù)據(jù)集并不總是能得到最優(yōu)的結(jié)果。下面結(jié)合matlab程序來說明近似熵的算法步驟。

樣本熵是由Richman提出的一種新的時間序列復(fù)雜性測度方法[10-11]。它是由近似熵改進而來的，用意于消除近似熵由于自身匹配而造成的計算偏差，彌補其對微小的復(fù)雜性變化不靈敏的缺陷，是一種比近似熵精度更好的方法。樣本熵的計算步驟如下

SampEn（m，r，N）=-lnBm+1（r）/Bm（r）」.

樣本熵的物理意義與熱力學(xué)熵相同，主要用來定量刻畫系統(tǒng)的復(fù)雜度或無序性。樣本熵值越低，序列自我相似性越高，產(chǎn)生新模式的概率越低，時間序列越簡單； 反之，樣本熵值越高，序列自我相似性越低，產(chǎn)生新模式的概率越高，時間序列越復(fù)雜。

2 實證分析

文章搜集了從1994年1月10日至2014年12月31日人民幣兌美元的匯率，共5 477個數(shù)據(jù)，由于每一年都會有一個近似熵值和樣本熵值，所以將每一年的數(shù)據(jù)修正成為同等長度的時間序列，即將在同等時間位置上存在缺失數(shù)據(jù)就將此時間點全部刪除，于是就得到了從1994年到2014年每年都有256個數(shù)據(jù)點；為了消除不同數(shù)據(jù)之間的量差，在數(shù)據(jù)分析過程中，所采用的數(shù)據(jù)為1994年1月10日至2014年12月8日共21年的人民幣兌美元的匯率一階差分數(shù)據(jù)，如圖1所示。通過近似熵與樣本熵方法，來分析中國匯率市場不同時間上的復(fù)雜性特點，并進行比較。

圖1 匯率一階差分數(shù)據(jù)利用matlab得出從1994年到2014年的近似熵，并畫出了m=1到m=4不同維度下匯率時間序列近似熵的變化趨勢，結(jié)果如圖2所示。我們從中可以看出近似熵值在1998年、2004年、2005年、2010年發(fā)生了驟降。但是2000年的美國新經(jīng)濟危機，2001年的“9·11”恐怖襲擊事件，2008年的環(huán)球金融危機從圖2的近似熵值并不能顯現(xiàn)出來，所以在很大程度上近似熵并不能很好地說明匯率的波動性；并且不同維數(shù)下近似熵值變化明顯，說明近似熵值與數(shù)據(jù)的個數(shù)有很大的關(guān)聯(lián)，數(shù)據(jù)量越大近似熵值越小，所以在數(shù)據(jù)量小于一定程度時，近似熵不能反映匯率時間序列真實的波動趨勢。

利用matlab得出從1994年到2014年的樣本熵，并畫出了m=1到m=4不同維度下匯率時間序列樣本熵的變化趨勢，結(jié)果如圖3所示。通過圖3，我們可以清楚地看出樣本熵值在1998年、2001年、2004年、2009年、2010年都發(fā)生了驟降。1996年我國實現(xiàn)人民幣經(jīng)常項目可兌換，外匯政策進行了重大調(diào)整，1997年的東南亞金融危機，2000年的美國新經(jīng)濟危機，2001年的“9·11”恐怖襲擊事件，2008年的環(huán)球金融危機。亞洲金融危機是由于泰國實行浮動匯率制而導(dǎo)致的，并迅速在整個亞洲蔓延，直至1998年年末才逐漸平息，對亞洲許多國家的金融市場造成了很嚴重的打擊，中國也因此而被連累，導(dǎo)致了匯率的不平穩(wěn)。2008年的環(huán)球金融危機是由于美國的次貸危機的發(fā)生，雷曼兄弟的破產(chǎn)也是導(dǎo)火索，繼而引發(fā)了嚴重的貨幣流動性危機，最終影響了全球經(jīng)濟的動蕩。從亞洲金融危機的經(jīng)驗教訓(xùn)看，許多國家貨幣大幅貶值，非但沒起到刺激當?shù)爻隹诘淖饔?，相反，不僅打擊了本國金融業(yè)，也造成通貨膨脹，資產(chǎn)縮水，資金外流，最后釀成全面經(jīng)濟危機[12]。而當時我國經(jīng)濟之所以“一枝獨秀”，與人民幣的穩(wěn)定是分不開的。最近，東南亞一些國家的貨幣再次貶值，結(jié)果出口下滑更快。如果此時人民幣貶值，則不可避免地會出現(xiàn)競相貶值的局面，釀成新的危機。

由此可以看出樣本熵在此時可以很好的反映匯率時間序列的波動情況；并且匯率時間序列的樣本熵值在不同維度下并沒有發(fā)生太大的變化，說明此時的數(shù)據(jù)量已經(jīng)做夠樣本熵算法進行精確的計算了。

為了更明顯的看出樣本熵值與近似熵值的不同，文章將m=2時的樣本熵值與近似熵值進行對比分析，如圖4所示。我們可以明顯的看出在2001年時，樣本熵值發(fā)生了驟降，而近似熵值卻仍然在上升，即此時的近似熵算法沒有反映出2000年的美國新經(jīng)濟危機、2001年的“9·11”恐怖襲擊事件和2008年的環(huán)球金融危機對中國匯率市場的影響；在2008年和2009年時，近似熵值雖然也上升了，但上升幅度很小，說明近似熵的靈敏程度不如樣本熵。并且近似熵數(shù)值相對于樣本熵數(shù)值較小，熵值越小代表時間序列越簡單，而事實上匯率市場數(shù)據(jù)變化幅度很大，所以樣本熵比近似熵能更好的反映匯率時間序列的波動情況。

3 結(jié) 語

文章將熵估計方法應(yīng)用于匯率時間序列中，用于識別匯率市場在不同時間的波動狀態(tài)并加以分析。在不同維度下討論了近似熵與樣本熵反映匯率時間序列波動的情況，并對同一維度下近似熵與樣本熵效果進行了比較，發(fā)現(xiàn)樣本熵比近似熵可以更好的反映匯率的波動性，并且更加靈敏。樣本熵算法在匯率市場中良好的反映了大事件的發(fā)生與延續(xù)，解決了近似熵算法對微小的復(fù)雜性變化不靈敏的缺陷，并且顯著提高了熵估計在短時間序列上的可用性和精確度，并且樣本熵算法可以應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、金融和多種時間序列數(shù)據(jù)中，它也可以應(yīng)用到更短的股票數(shù)據(jù)中。例如一周或一天不同節(jié)點的單只股票中，檢測它是否穩(wěn)定，如果熵值較高，序列變化無序，不宜進行投資；如果熵值較低，序列平穩(wěn)有序，可以結(jié)合統(tǒng)計上的預(yù)測方法，進行投資規(guī)劃。該算法的提出為短時間序列的檢測提供了新的思路。

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