陳遠(yuǎn)生

【摘要】 本文應(yīng)用初等方法及解析方法對(duì)Smarandache中階乘數(shù)序列和n！的k次補(bǔ)數(shù)函數(shù)的均值問題分別進(jìn)行了研究，并給出了一些相關(guān)的漸近公式.

【關(guān)鍵詞】 Smarandache；階乘數(shù)序列n！的k次補(bǔ)數(shù)函數(shù)；均值；漸近公式

引 言

數(shù)論是一門研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)科，在數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，而數(shù)論問題中關(guān)于一些特殊序列及函數(shù)的均值性質(zhì)的研究一直備受數(shù)論工作者和學(xué)者的關(guān)注. 長期以來，數(shù)論被人們認(rèn)為是純數(shù)學(xué)理論，而沒有直接的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，隨著計(jì)算機(jī)的產(chǎn)生與發(fā)展給科學(xué)技術(shù)帶來新變革的同時(shí)，數(shù)論也有了非常廣泛的用途，成為一門最為有用的數(shù)學(xué)分支. 本文應(yīng)用初等方法及解析方法對(duì)數(shù)論的兩個(gè)均值問題進(jìn)行了研究，給出了一些相關(guān)的漸近公式.

一、關(guān)于Smarandache階乘數(shù)序列的均值

在文獻(xiàn)[1]中， F.Smarandache教授要求我們研究階乘部分的性質(zhì). 關(guān)于這樣的問題，似乎很少有人研究，本節(jié)中我們將使用初等方法去研究階乘部分的均值性質(zhì)，并給出了一個(gè)有趣的漸近公式，具體過程如下：

首先，對(duì)任意的x≥1及任意固定的正整數(shù)n > 2，令n！ ≤ x < （n + 1）！，我們對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得到

ln t ≤ ln x < ln t

我們?nèi)（t） = ln t，得到

n ln n - n + O（1） ≤ ln x ≤ n ln x - n + ln n + O（1）

可得ln x = n ln n - n + O（ln n）. （1.1）

根據(jù)（1.1）式，我們有n = + + O（1）. 兩邊再次取對(duì)數(shù)，我們就能得到ln n = ln ln x + O（ln ln ln x）.因此，我們可得（1.2）式

n = + O = + O

另外，對(duì)于任意正整數(shù)，令F（n）表示的n下階乘部分. 設(shè)x ≥ 1，{a（n）}表示F（n）所構(gòu)成的集合，

= = n = n（n + 1） =

+ O 2 + O （由（1.2）推得）

= + O

同理，用此方法還可以給出上階乘部分的結(jié)果，可知

當(dāng)x ≥ 1，{a（n）}表示F（n）所構(gòu)成的集合， 可得漸近公式：

= + O

二、關(guān)于n！的k次補(bǔ)數(shù)函數(shù)的均值

設(shè)k ≥ 2為任意的自然數(shù)且n為任意的正整數(shù)，若bk（n）是使得n·bk（n）為一完全次冪的最小正整數(shù)，則稱bk（n）為k次冪補(bǔ)數(shù)函數(shù). 在文獻(xiàn)[1]中， F.Smarandache教授建議我們研究k次冪補(bǔ)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，但目前，關(guān)于k次補(bǔ)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知之甚少. 本小節(jié)我們將利用初等方法來研究bk（n?。┑臐u近性質(zhì)，并獲得bk（n?。┮粋€(gè)有趣的漸近公式，具體過程如下：

文獻(xiàn)[2]已證明：如n！= p p …p 為n！的素?cái)?shù)冪分解式，則有下列計(jì)算式（2.1）：

bk（n！） = bk（p ）bk（p ）…bk（p ）

= p ·p …p （2.1）

其中ord（pi），定義為k - 1，ifαi = km + 1；k - 2，ifαi = km + 2；0，ifαi = k（m + 1）.

其中m = 0，1，2…

文獻(xiàn)[3]已證明： 對(duì)任意的實(shí)數(shù)x ≥ 2，A > 0是一個(gè)常數(shù)，且exp（y） = ey，則有漸近公式（2.2）

e（x） = ln p = x + Ox·exp （2.2）

根據(jù)（2.1），對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，我們有

ln bk（n?。?= ln（bk（p ）bk（p ）…bk（p ） ）

= ord（p）ln p

= （k - 1） ln p + （k - 2） ln p + … +

ln p + （k - 1） ln p + … +

ln p + … + O（1） （2.3）

令n為足夠大的正整數(shù)，若p的n！一個(gè)素因子時(shí)，則有

ord（pi） = 1 p∈ ，n2 p∈ ， 3 p∈ ，

根據(jù)（2.2）和（2.3），我們有

ln bk（n！） = （k - 1）θ（n） - θ +

（k - 2）θ - θ + … + θ - θ +

（k -1）θ - θ + … +

θ - θ + … + O（1） =

nk - 1 + + + … + +

k - + + … + + … +

On·exp .

= n - + On·exp

= nk - + On·exp

=nk - + On·exp .

即：對(duì)于任意的自然數(shù)k ≥ 2和任意的正整數(shù)n，且A > 0是一個(gè)常數(shù)，exp（y） = ey，我們有漸近公式

ln bk（n！） = nk - + On·exp .

【參考文獻(xiàn)】

[1]F.Smarandache，Only problems，Not solutions[M].Chicago：Xiquan Publishing House，1993.

[2]Russo Felice.An Introduction to the Smarandache Square Complements[J].Smarandache Notions Journal，2002，13：160-172

[3]潘承洞，潘承彪.解析數(shù)論基礎(chǔ)[M].北京：科學(xué)出版社，1999.