胡麗麗

【摘 要】高中數(shù)學(xué)在新課標(biāo)理科增加了空間向量，自向量引入到高中教材，人們逐步發(fā)現(xiàn)它在越來(lái)越多的地方發(fā)揮著巨大的作用。它使幾何問(wèn)題代數(shù)化，避免了添加輔助線作二面角的平面角的麻煩，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，事實(shí)上向量在解決立體幾何求二面角問(wèn)題時(shí)有它獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。

【關(guān)鍵詞】二面角；向量；法向量；方向向量；空間直角坐標(biāo)系；立體幾何；平面角

二面角是人教A版高中數(shù)學(xué)必修2第二章2.3.2小結(jié)的內(nèi)容，概念的本身“從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角”很容易理解，但二面角的大小用它的平面角來(lái)度量，去求解二面角的平面角卻并不容易，用立體幾何方法求二面角是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，如果用傳統(tǒng)的方法去做題，需要按“做-證-求”三步來(lái)完成，需要借助輔助線而且不容易做不出二面角，更不用說(shuō)求解，所以這時(shí)我們想到了向量，用向量的方法求解二面角讓問(wèn)題簡(jiǎn)化。那么利用向量求二面角大小的方法如下：

方法規(guī)律：主要是建系、設(shè)點(diǎn)、計(jì)算向量的坐標(biāo)、利用數(shù)量積的夾角公式計(jì)算.但在處理二面角問(wèn)題時(shí)會(huì)遇到如何判斷二面角的平面角與兩個(gè)法向量夾角的關(guān)系問(wèn)題，要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。

思想方法：

1.合理建立空間直角坐標(biāo)系

（1）使用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一就是建立空間直角坐標(biāo)系，建系方法的不同可能導(dǎo)致解題的簡(jiǎn)繁程度不同.

（2）一般來(lái)說(shuō)，如果已知的空間幾何體中含有兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線時(shí)，就以這三條直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系；如果不存在這樣的三條直線，則應(yīng)盡可能找兩條垂直相交的直線，以其為兩條坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，即坐標(biāo)系建立時(shí)以其中的垂直相交直線為基本出發(fā)點(diǎn).

（3）建系的基本思想是尋找其中的線線垂直關(guān)系，在沒(méi)有垂直關(guān)系時(shí)要通過(guò)其他已知條件得到垂直關(guān)系，在此基礎(chǔ)上選擇一個(gè)合理的位置建立空間直角坐標(biāo)系.

2.易錯(cuò)防范

二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面α，β的法向量，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量，的夾角是相等，還是互補(bǔ).

總之，遇到求解空間二面角的問(wèn)題可以結(jié)合向量法應(yīng)用，同時(shí)以二面角為模型載體，鞏固向量法，進(jìn)一步體驗(yàn)其優(yōu)越性及方法的獨(dú)特魅力。

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