姜　靜，曹　松，李宏達(dá)

(沈陽理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，沈陽 110159)

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重力補(bǔ)償?shù)臋C(jī)械臂軌跡跟蹤研究

姜靜，曹松，李宏達(dá)

(沈陽理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，沈陽 110159)

摘要：針對隧道掘進(jìn)工程中某噴涂機(jī)械臂的控制精度問題，研究了基于重力補(bǔ)償?shù)臋C(jī)械臂PD與PID的控制方法。分析了這兩種機(jī)械臂軌跡跟蹤算法的穩(wěn)定性與收斂性：基于重力補(bǔ)償?shù)腜D控制算法是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，而PID控制算法在某些條件下是半全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。計算機(jī)仿真結(jié)果表明，PD控制關(guān)節(jié)最大誤差為0.14rad，PID控制關(guān)節(jié)最大誤差為0.05rad，這兩種算法都能夠?qū)崿F(xiàn)機(jī)械臂運(yùn)動軌跡的準(zhǔn)確跟蹤，滿足機(jī)械臂的位置控制要求，表明控制方法的有效性。

關(guān)鍵詞：機(jī)械臂； PID控制；重力補(bǔ)償；軌跡跟蹤

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，機(jī)械臂在工業(yè)生產(chǎn)過程中發(fā)揮著越來越重要的作用。尤其是在面對復(fù)雜工況、惡劣的不可預(yù)測的工作環(huán)境、甚至是人類無法到達(dá)的危險地域執(zhí)行任務(wù)時，發(fā)揮著不可替代的作用。機(jī)械臂控制的目的是位置控制問題，即控制機(jī)械臂手端的位置和姿態(tài)(也可稱為期望軌跡或期望位置)。期望軌跡通常有兩種形式：一種是固定位置；另一種是一條隨時間連續(xù)變化的軌跡。本文研究軌跡跟蹤問題。機(jī)械臂的控制方法按照其控制器是否考慮動力學(xué)特性分為兩類：一類是完全不考慮機(jī)械臂的動力學(xué)特性，即所謂的運(yùn)動控制；另一類為根據(jù)動力學(xué)模型的性質(zhì)設(shè)計出非線性控制律，即所謂的動態(tài)控制。目前絕大多數(shù)工業(yè)機(jī)械臂采用PD和PID控制算法[1]，原理簡單，實用性較強(qiáng)?，F(xiàn)在，許多專家與學(xué)者應(yīng)用各種智能控制方法與傳統(tǒng)PID算法相結(jié)合[2-3]，對算法進(jìn)行改進(jìn)，研究分析其對機(jī)械臂的控制精度及軌跡跟蹤性能產(chǎn)生影響，期望能達(dá)到更好的控制效果。本文從不同的角度對這兩種算法的穩(wěn)定性進(jìn)行討論和研究，并在仿真實驗中比較分析了兩種算法的控制效果。

1PID控制原理

PID控制算法具有控制簡單，易于實現(xiàn)，無需建模等優(yōu)點，PID控制器由比例、積分、微分環(huán)節(jié)所組成，其控制原理如圖1所示[4]。PID控制器算式如下：

(1)

式中：e為被控量與設(shè)定值的偏差；u(t)為控制輸出量；KP、KI、KD分別為比例、積分、微分系數(shù)。

各個環(huán)節(jié)對系統(tǒng)性能的影響：

比例環(huán)節(jié)—成比例的反應(yīng)偏差信號，如果有偏差產(chǎn)生，控制器立即會發(fā)生作用。其主要特點是作用快，無法徹底消除誤差。

積分環(huán)節(jié)—只要有控制偏差存在，積分控制就會逐漸增強(qiáng)其作用，直至消除控制偏差。其主要特點是積分效果緩慢，能夠徹底消除誤差，但其穩(wěn)定性相比比例控制要差，在控制時間上表現(xiàn)為“過去效應(yīng)”。

微分環(huán)節(jié)——能夠反映控制偏差的變化趨勢，以此來調(diào)節(jié)控制器的輸出。其主要特點是調(diào)節(jié)十分迅速，但是對系統(tǒng)的干擾比較敏感，因此會降低系統(tǒng)的抗干擾能力，在控制時間上表現(xiàn)為“將來效應(yīng)”。

圖1　PID控制結(jié)構(gòu)原理圖

2軌跡跟蹤算法的分析

2.1PD控制

基于重力補(bǔ)償?shù)腜D控制律為[5]

(2)

取跟蹤誤差為e=qr-q，考慮一個N關(guān)節(jié)的機(jī)械臂，其動態(tài)性能可由二階非線性微分方程描述[6]：

(3)

(4)

整理為

(5)

取Lyapunnov(李雅普諾夫)函數(shù)為

(6)

則有

(7)

(8)

2.2PID控制

PID控制規(guī)律為[7]

(9)

考慮一個N關(guān)節(jié)的機(jī)械臂，其動態(tài)性能可由二階非線性微分方程描述：

(10)

(1)假設(shè)對一定條件下α，所有的q∈Rn滿足‖Γ(q)‖=‖In×n-M(q)-1M‖≤α<1。

(2)假設(shè)?Ν(0,0,t)/?t=0，從而φ(0,0,t)=M(0)-1?N(0,0,t)/?t=0，初始點是閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程的一個平衡點。模型誤差估計量初始值為w(0)=v(0)，模型誤差函數(shù)的初始值e(0)包含于集合中We?Rn中。

因此，存在εmax>0對所有的ε∈(0，εmax)滿足使式子右邊為負(fù)正定。

3仿真研究

本文的實驗研究對象為兩自由度的機(jī)械臂，為了便于比較分析，對PID控制中的摩擦力矩及能量損耗補(bǔ)償予以忽略，使其具有相同的描述動態(tài)性能的二階非線性微分方程。機(jī)械臂的動力學(xué)模型為

(11)

本文采用Matlab/Simulink建模與仿真[9]，仿真模型及結(jié)果如圖2～圖3所示。

圖2　PD控制仿真模型

圖3　PID控制仿真模型

PD控制仿真結(jié)果如圖4～圖7所示。從圖中可以看出，PD控制算法能夠?qū)崿F(xiàn)機(jī)械臂的軌跡跟蹤，跟蹤效果一般。軌跡跟蹤誤差較大，關(guān)節(jié)1的誤差最大達(dá)到0.14rad，關(guān)節(jié)2的誤差最大達(dá)到0.12rad，并且誤差波動比較大，響應(yīng)速度較慢。

圖4　PD控制軌跡跟蹤曲線圖

圖5　PD控制力矩輸入變化圖

圖6　PD控制軌跡跟蹤誤差圖

圖7　PD控制重力補(bǔ)償圖

PID控制仿真結(jié)果如圖8～圖11所示。從圖中可以看出，相比較PD控制算法，PID控制算法軌跡跟蹤效果較好。軌跡跟蹤誤差明顯減小，關(guān)節(jié)1的誤差最大達(dá)到0.05rad，關(guān)節(jié)2的誤差最大0.04rad，并且誤差波動比較小，響應(yīng)速度有所提高。

圖8　PID控制軌跡跟蹤曲線圖

圖9　PID控制力矩輸入變化圖

圖10　PID控制軌跡跟蹤誤差圖

通過對兩種算法的實驗結(jié)果對比分析，PD控制算法和PID控制算法的響應(yīng)速度都比較快，隨著軌跡的不斷變化，由于重力等因素的影響，PD控制算法的誤差明顯變大。PID控制算法由于積分環(huán)節(jié)的作用，其軌跡跟蹤的能力明顯強(qiáng)于PD控制算法。但在仿真實驗過程中，逐步增大KP，即：PID控制中的積分作用過大，容易造成控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定，所以要選擇合適的積分參數(shù)。由于忽略摩擦力矩及外界的不確定因素的干擾，具有一定的局限性，但其能夠滿足一般的控制精度要求。

圖11　PID控制重力補(bǔ)償圖

4結(jié)束語

在分析PD控制與PID控制算法穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，通過比較仿真分析可知，兩種控制算法都具有比較好的跟蹤軌跡控制性能，PD控制的誤差相對較大，這說明積分環(huán)節(jié)對控制效果的影響是明顯的。通過仿真驗證，兩種控制算法簡單有效，能夠滿足隧道掘進(jìn)后期維護(hù)中，噴涂機(jī)械臂的控制要求，也能夠適應(yīng)其它一些環(huán)境下機(jī)械臂的工作。

參考文獻(xiàn)：

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(責(zé)任編輯：馬金發(fā))

Research of Manipulator Trajectory Tracking Based on Gravity Compensation

JIANG Jing，CAO Song，LI Hongda

(Shenyang Ligong University,Shenyang 110159,China)

Abstract：Aiming at the problem of accuracy control of spraying manipulator in the tunnel engineering,the control method of the mechanical arm PD and PID is studied by gravity compensation.Two kinds of manipulator trajectory tracking algorithm stability and convergence are analyzed:PD control algorithm based on gravity compensation is the global asymptotic stability，but PID control algorithm is semi globally asymptotically stable under some conditions.Computer simulation results show that,the maximum error of PD was 0.14rad,and the maximum error of PID was 0.05rad.These two algorithms can achieve accurate tracking of the trajectory of mechanical arm,which meets the requirement of the position control of mechanical arm and show the effectiveness of the control method.

Key words：the mechanical arm;PID control;gravity compensation;trajectory tracking

中圖分類號：TP29

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1003-1251(2016)02-0005-05

作者簡介：姜靜(1973—)，女，副教授，博士，研究方向：復(fù)雜系統(tǒng)的建模、優(yōu)化、控制及仿真。

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(51207096)；爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點實驗室 (北京理工大學(xué))開放基金資助項目(KFJJ13-6M);沈陽理工大學(xué)重點學(xué)科開放基金資助項目

收稿日期：2015-05-18