張艷珠，王凡迪，朱嘯天

(沈陽理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，沈陽 110159)

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分?jǐn)?shù)階微分增強的腦部MRI圖像邊緣檢測

張艷珠，王凡迪，朱嘯天

(沈陽理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，沈陽 110159)

摘要：針對傳統(tǒng)邊緣檢測方法提取醫(yī)學(xué)圖像的邊緣不理想問題，利用分?jǐn)?shù)階微分掩模算子預(yù)先對圖像邊緣做增強處理，同時根據(jù)分形理論，將可調(diào)的分?jǐn)?shù)階微分階次與能夠反應(yīng)圖像自身特點的分形維數(shù)相結(jié)合，提出腦部MRI圖像的分?jǐn)?shù)階微分階次和分形維數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，從而在微分階次區(qū)間內(nèi)選出最佳微分階數(shù)，使得圖像更利于細(xì)節(jié)邊緣提取。通過仿真對比，由該方法檢測出的腦部MRI圖像邊緣比傳統(tǒng)整數(shù)階提取的更加細(xì)致，保留更多的紋理細(xì)節(jié)。

關(guān)鍵詞：邊緣檢測；腦部MRI；分?jǐn)?shù)階微分；分形理論

在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，圖像增強及邊緣檢測是最重要的圖像處理方法[1-2]。對于腦部MRI圖像的邊緣檢測，其邊緣細(xì)節(jié)的清晰度會影響后續(xù)圖像分割及分析研究。目前，在圖像邊緣檢測領(lǐng)域有諸如Prewitt算子等經(jīng)典的整數(shù)階算法，但其結(jié)果都會受到圖像自身紋理復(fù)雜度以及噪聲信號的影響而導(dǎo)致中低頻信號無法得到保留，造成相當(dāng)一部分的信息缺失。針對整數(shù)階微分算子檢測邊緣的缺點，蒲亦非等[3]將分?jǐn)?shù)階微分引入數(shù)字圖像處理，論述了對于紋理細(xì)節(jié)信息豐富的圖像而言，分?jǐn)?shù)階微分對灰度變化不大的平滑區(qū)域的增強明顯優(yōu)于整數(shù)階微分運算。

為了使分?jǐn)?shù)階微分掩模算子足夠增強圖像紋理，如何選取合適的微分階次來構(gòu)造微分掩模是關(guān)鍵。據(jù)此本文首先結(jié)合分形理論[4]，將分形維數(shù)應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階微分階次的選取上，構(gòu)造微分掩模來增強圖像紋理；再結(jié)合整數(shù)階邊緣檢測算法提取圖像邊緣。通過驗證，本文的分?jǐn)?shù)階微分掩模算子對圖像紋理信息具有極大的增強效果，更有利于邊緣檢測的細(xì)化。

1分?jǐn)?shù)階微分定義及算子掩模

1.1分?jǐn)?shù)階微分的定義

分?jǐn)?shù)階微分其實是整數(shù)階微分在實數(shù)范圍內(nèi)的一個擴展，將微分階次擴展到了分?jǐn)?shù)。然而關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分的定義，許多數(shù)學(xué)家從不同角度入手，給出了不同的定義。本文采用最原始的G-L定義，根據(jù)Hospital法則[4-6]，假設(shè)存在一個可導(dǎo)函數(shù)f(t)，利用法則就可以得到函數(shù)f(t)的一到三階導(dǎo)數(shù)。

(1)

(2)

(3)

利用數(shù)學(xué)歸納法，可導(dǎo)函數(shù)f(t)的n(n∈N)階導(dǎo)數(shù)為

(4)

為便于計算，引入Gamma函數(shù)[6]，并將微分階次從整數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)，假設(shè)函數(shù)f(t)在區(qū)間[a，t]上存在n+1階導(dǎo)數(shù)，那么對于任意的實數(shù)γ，利用微分的有限記憶功能，可推導(dǎo)出γ階微分定義：

(5)

從以上推導(dǎo)可知，分?jǐn)?shù)階微分是由整數(shù)階微分衍生而來，其運算結(jié)果與過去各點的距離都存在反比關(guān)系，而整數(shù)階微分的記憶功能只與最近的幾個點相關(guān)。這就是分?jǐn)?shù)階微分強大的記憶存儲功能，因此分?jǐn)?shù)階微分能夠保留更多圖像紋理信息。

1.2分?jǐn)?shù)階微分掩模

將分?jǐn)?shù)階微分定義的連續(xù)表達式改寫為差分表達式，并定義二維信號在x方向和y方向的分?jǐn)?shù)階微分的差分表達式[7]：

(6)

(7)

利用上述差分表達式進行掩模近似構(gòu)造。為盡量減小濾波誤差,選取分?jǐn)?shù)階微分差分表達式的前三項系數(shù)1、-v、(v2-v)/2構(gòu)造掩模[8-9]。圖1為傳統(tǒng)的8方向Titans[9]掩模算子，具有一定的運算精度，該模板中最外層有8個位置為“0”。

(v2-v)/20(v2-v)/20(v2-v)/20-v-v-v0(v2-v)/2-v8-v(v2-v)/20-v-v-v0(v2-v)/20(v2-v)/20(v2-v)/2

圖1分?jǐn)?shù)階微分8方向掩模

為了進一步提高算法的運算精度，增強算法的抗旋轉(zhuǎn)性能。在Titans算子基礎(chǔ)上，利用向量合成法合成新數(shù)據(jù)，替換“0”值，這樣就會在原始基礎(chǔ)上新增8個運算方向，分別夾在每兩個原始方向之間，將經(jīng)典的Titans掩模擴展為16方向的微分掩模。將分?jǐn)?shù)階微分的差分表達式中第一項系數(shù)添加到掩模的中心位置，第三項系數(shù)(v2-v)/2取代傳統(tǒng)掩?！?”位置，第二項系數(shù)結(jié)合三角函數(shù)作向量分解計算。擴展后的16方向微分掩模[10]如圖2所示。觀察掩模模板，其參數(shù)變量只有一個，即分?jǐn)?shù)階微分階次v，掩模對圖像的處理效果隨v的變化而不同。一般v的值是通過人工試探性地選取，這種方式在精確度上沒有保證。為了提高選取v值的效率，本文后續(xù)將結(jié)合分形理論，通過能夠反映圖像自身特點的分形維數(shù)來選擇分?jǐn)?shù)階微分階次v的取值。

(v2—v)/2(v2—v)/2(v2—v)/2(v2—v)/2(v2—v)/2(v2—v)/2-2.0824v-2.0824v-2.0824v(v2—v)/2(v2—v)/2-2.0824v16-2.0824v(v2—v)/2(v2—v)/2-2.0824v-2.0824v-2.0824v(v2—v)/2(v2—v)/2(v2—v)/2(v2—v)/2(v2—v)/2(v2—v)/2

圖2擴展的分?jǐn)?shù)階微分掩模

2分?jǐn)?shù)階微分掩模參數(shù)的選定

2.1腦部MRI圖像分形維數(shù)算法

對于本文腦部MRI圖像，先將其轉(zhuǎn)化為二值圖像，轉(zhuǎn)化后的圖像灰度值只有0和1。采用像素點覆蓋的盒維數(shù)算法[11]來計算該圖像的分形維數(shù)。具體算法如下：

(1)將圖像二值化處理，得到一個數(shù)字矩陣，其行列數(shù)對應(yīng)二值圖的行列數(shù)；

(2)把得到的數(shù)字矩陣劃分成大小相等的若干子塊，使每一塊的行數(shù)與列數(shù)均為r，把所有包含1的子塊個數(shù)記作Nr，通常取r=1，2，4，…2i，即以1，2，…2i個像素點的尺寸為塊的邊長來劃分，從而得到盒子數(shù)N1，N2，…,N2i。

由于像素點的尺寸δ=圖像長度L/圖像一行中像素點的個數(shù)，所以行與列像素點個數(shù)均為r的塊的邊長應(yīng)為δr=rδ(r=1，2，4，…2i)。在雙對數(shù)坐標(biāo)平面內(nèi)，用最小二乘法直線擬合數(shù)據(jù)點(logδr，logNr)，(r=1，2，4，…2i)。所得到的直線斜率負(fù)值D就是圖像的理論分形維數(shù)。

利用Matlab 7.10.0(R2010a) 軟件進行仿真，操作界面如圖3a所示。本文選取的腦部MRI原始圖像如圖3b所示。

利用二維數(shù)字圖像像素點覆蓋的分形盒維數(shù)算法，計算腦部MRI圖像自身的分形維數(shù)。如圖3c所示的分形盒維數(shù)曲線，擬合曲線方程y=kx+b，其中斜率|k|近似等于分形維數(shù)D,即D=|k|，仿真結(jié)果如圖3a。其中包含像素值為“1”的盒子數(shù)為N=4653。擬合曲線y=2.2419x+19.279從而可知分形維數(shù)D=|k|=2.2419。

(a)Matlab(R2010a)操作界面

(b)原圖

(c)盒維數(shù)擬合曲線

2.2分形維數(shù)及分?jǐn)?shù)階微分階次的選擇

文獻[11-12]通過對紋理圖像的研究，證明了灰度圖像是具有相同分形特征的分形表面，一幅二維數(shù)字圖像三維空間坐標(biāo)為(x，y，f(x，y))，其中f(x，y)代表圖像中像素點(x，y)處的灰度值。一幅圖像的分形維數(shù)可以作為該圖像自身的特征。本文將圖像的維數(shù)特征映射到分?jǐn)?shù)階微分掩模參數(shù)上，找到一種合適的映射關(guān)系，可以自適應(yīng)選取分?jǐn)?shù)階微分階次，從而高效率地對圖像做分?jǐn)?shù)階微分處理。

對分?jǐn)?shù)階微分掩膜算子的參數(shù)進行選定時，首先計算出圖像的分形維數(shù)D，通常二維數(shù)字圖像分形維數(shù)區(qū)間D∈(2，3)，而由分?jǐn)?shù)階微分G-L定義可知分?jǐn)?shù)階微分的階次v∈(0，1)，所以需要把區(qū)間(2，3)映射到區(qū)間(0，1)上，據(jù)此，映射途徑有兩種：(1)v=D-2；(2)v=3-D。根據(jù)本文選取的腦部MRI圖像來說，當(dāng)分別選擇這兩種途徑時，提取的圖像輪廓線分別如圖4a、圖4b所示。

圖4　圖像輪廓線

通過對比圖4a、4b可知，當(dāng)取v=3-D時，能保留更多細(xì)節(jié)信息。因此本文所采用的映射關(guān)系為：v=3-D，其中，D代表圖像分形維數(shù)，v代表分?jǐn)?shù)階微分階數(shù)。分?jǐn)?shù)階微分掩模參數(shù)選定流程如圖5所示。

圖5　分?jǐn)?shù)階微分掩模參數(shù)選定流程圖

3腦部MRI圖像邊緣檢測分析

首先采用傳統(tǒng)的整數(shù)階微分邊緣檢測方法檢測腦部MRI圖像邊緣，其次根據(jù)本文采用的映射關(guān)系v=3-D(由前文計算得到D=2.2419)，選擇對應(yīng)的分?jǐn)?shù)階微分階次：v=3-D=0.7581，該微分階次包含在理論區(qū)間范圍v∈(0，1)，因此取值合理。

依據(jù)選定的分?jǐn)?shù)階微分階次構(gòu)造微分掩模，對圖像做卷積處理，使圖像得到增強，卷積處理后的圖像如圖6所示。

圖6　分?jǐn)?shù)階微分后的圖像

最后，結(jié)合傳統(tǒng)整數(shù)階邊緣檢測算法提取圖像邊緣。將兩種檢測結(jié)果相對比，如圖 7所示。

(a)sobel邊緣檢測

(b)微分后的sobel邊緣

(c)prewitt邊緣檢測

(d)微分后的prewitt邊緣

(e)canny邊緣檢測

(f)微分后的canny邊緣

圖7a、7c、7e分別為整數(shù)階Sobel算子、Prewitt算子及Canny算子對腦部MRI圖像進行邊緣檢測的結(jié)果；圖7b、7d、7f分別表示經(jīng)過分?jǐn)?shù)階微分算子增強之后再對腦部MRI圖像進行邊緣提取的結(jié)果。

Haralick等人及國內(nèi)學(xué)者[13-14]從理論上論證了熵值能體現(xiàn)圖像紋理特征。熵值越大，信息量越大，紋理越豐富。表1中記錄了通過分?jǐn)?shù)階掩模增強前后邊緣圖像的信息熵值。

表1　圖像熵值對比

對比可知，經(jīng)過分?jǐn)?shù)階微分掩模算子增強后的圖像熵值有所增大，表明利用分形維數(shù)選取的分?jǐn)?shù)階微分掩模算子對圖像有很好的增強作用，保留了原圖像中更多的紋理信息。提高了邊緣細(xì)節(jié)的清晰度，有利于腦部結(jié)構(gòu)分析，同時也為腦部結(jié)構(gòu)的分割工作做準(zhǔn)備。

4結(jié)束語

將分形理論融合進掩模參數(shù)選定過程中，根據(jù)圖像自身的分形維數(shù)，找到維數(shù)與分?jǐn)?shù)階微分階次的映射關(guān)系，從而縮短微分階次的選定時間。實驗結(jié)果證明，結(jié)合分形理論來取得的分?jǐn)?shù)階微分階次可以提高圖像處理效率，符合人眼視覺需求，提取出的圖像邊緣更加豐富和清晰。研究只針對腦部MRI圖像，其分形維數(shù)與微分階次的對應(yīng)關(guān)系有一定局限性，未來有待更深入地研究。

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(責(zé)任編輯：馬金發(fā))

Brain MRI Image Edge Detection Based on Fractional Differentiation

ZHANG Yanzhu，WANG Fandi，ZHU Xiaotian

(Shenyang Ligong University，Shenyang 110159，China)

Abstract：Traditional edge detection method in medical image edge is not ideal,fractional differential mask operator is proposed firstly to enhance the image,which combines the adjustable.Fractional differential order with fractal dimension reflects characteristics of images and an corresponding relationship is found out between them according is to the fractal theory,thus the best differential order is efficiently chosen,which is more conductive to detect image edge.The simulation results show that the proposed method can extract more meticulously and retain more texture details than traditional integer order in detecting the edge of brain MRI image.

Key words：edge detection；brain MRI；fractional differential；fractal theory

中圖分類號：TP391

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1003-1251(2016)02-0030-05

作者簡介：張艷珠( 1971—) ，女，副教授，博士，研究方向：目標(biāo)識別，分?jǐn)?shù)階控制，智能算法。

收稿日期：2015-04-03